课时训练(二十三) 锐角三角函数(限时:30分钟)|夯实基础|1.下列式子错误的是( )A.cos40°=sin50°B.tan15°·tan75°=1C.sin225°+cos225°=1D.sin60°=2sin30°2.[2022·湖州]如图K23-1,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosB的值是( )图K23-1A.35B.45C.34D.433.[2022·宜昌]△ABC在网格中的位置如图K23-2所示(每个小正方形边长为1),AD⊥BC于D,下列选项中,错误的是( )图K23-2A.sinα=cosαB.tanC=2C.sinβ=cosβD.tanα=14.[2022·金华、丽水]如图K23-3,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度13\n之比为( )图K23-3A.tanαtanβB.sinβsinαC.sinαsinβD.cosαcosβ5.在△ABC中,若sinA-12+cosB-122=0,则∠C的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.90°6.如图K23-4所示,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为( )图K23-4A.2B.23C.33+1D.3+17.如图K23-5,直径为10的☉A经过点C(0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧☉A优弧上一点,则cos∠OBC的值为( )图K23-5A.12B.3213\nC.35D.458.如图K23-6,在直角三角形BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=12BD,连接AC,若tanB=53,则tan∠CAD的值为( )图K23-6A.33B.35C.13D.159.[2022·广州]如图K23-7,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=15,tanA=158,则AB= . 图K23-710.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:①sinA=32;②cosB=12;③tanA=33;④tanB=3.其中正确的结论是 .(只需填上正确结论的序号) 11.[2022·湖州]如图K23-8,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan∠BAC=13,AC=6,则BD的长是 . 图K23-812.如图K23-9所示,在☉O中,过直径AB延长线上的点C作☉O的一条切线,切点为D,若AC=7,AB=4,则sinC的值为 . 13\n图K23-913.[2022·无锡]在如图K23-10的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于O,则tan∠BOD的值等于 . 图K23-1014.如图K23-11所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1,B1C1交AC于点D,如果AD=22,则△ABC的周长等于 . 图K23-1115.如图K23-12,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过点D作AB的垂线交AC于点E,若BC=6,sinA=35,则DE= . 图K23-1213\n16.[2022·无锡]已知△ABC中,AB=10,AC=27,∠B=30°,则△ABC的面积等于 . 17.如图K23-13,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点D在边AC上,且AD=2CD,DE⊥AB,垂足为点E,连接CE,求:(1)线段BE的长;(2)∠ECB的正切值.图K23-13|拓展提升|18.[2022·南宁]如图K23-14,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=3,点P在BC上,将△CDP沿DP折叠,点C落在点E处,PE,DE分别交AB于点O,F,且OP=OF,则cos∠ADF的值为( )图K23-14A.1113B.1315C.1517D.171913\n19.[2022·苏州]如图K23-15,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=25,BC=5.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C',连接B'C,则sin∠ACB'= . 图K23-1520.如图K23-16所示,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连接EF与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG.(1)求证:EF∥AC;(2)求∠BEF的大小;(3)求证:AHGF=11+tan15°.图K23-1613\n参考答案1.D [解析]A选项,sin50°=sin(90°-40°)=cos40°,式子正确;B选项,构造Rt△ABC,∠C=90°,∠A=15°,∠B=75°,则tan15°·tan75°=BCAC·ACBC=1,式子正确;C选项,sin225°+cos225°=1,式子正确;13\nD选项,sin60°=32,sin30°=12,式子sin60°=2sin30°错误.故选D.2.A [解析]在Rt△ABC中,cosB=邻边斜边=BCAB=35.3.C [解析]sinα=cosα=222=12,tanC=21=2,sinβ=cos(90°-β),tanα=22=1,故选C.4.B [解析]由锐角三角函数的定义,得AB=ACsinα,AD=ACsinβ,∴AB与AD的长度之比为sinβsinα,故选B.5.D 6.D7.B [解析]设☉A与x轴的另一交点为点D,连接CD,则CD为☉A的一条直径,∠OBC=∠ODC,故cos∠OBC=cos∠ODC=102-5210=32.8.D [解析]过点D作DE∥AB交AC于点E.∵∠BAD=90°,DE∥AB.∴∠ADE=90°.∵tanB=53,∴设AD=5k,AB=3k.∵DE∥AB,∴DEBA=CDCB=13,DE=13AB=k.∴tan∠CAD=DEAD=k5k=15.故选D.9.17 [解析]∵tanA=BCAC,即158=15AC,∴AC=8.根据勾股定理,得AB=AC2+BC2=82+152=17.10.②③④ [解析]根据题意,因为∠C=90°,AB=2BC,所以该直角三角形是含30°角的直角三角形,则BC∶AB∶AC=1∶2∶3,令BC=1,AB=2,AC=3,作出图形,①sinA=BCAB=12,②cosB=BCAB=12,③tanA=BCAC=33,④tanB=ACBC=3,则正确结论为②③④.11.2 [解析]∵菱形的对角线互相垂直平分,∴AC⊥BD.∵tan∠BAC=13,∴BOAO=13.∵AC=6,∴AO=3.13\n∴BO=1.∴BD=2BO=2.故填2.12.2513.3 [解析]如图,利用网格添加辅助线,使EF∥CD,BG⊥EF于H,则tan∠BOD=tan∠BIH=3.14.6+23 [解析]依题意∠B1AD=45°,AD=22,∴AB1=AB=ADcos45°=22×22=2.∵∠ACB=30°,∴AC=2AB=2×2=4,∴BC=AC2-AB2=42-22=23,∴△ABC的周长等于2+4+23=6+23.15.154 [解析]在Rt△ABC中,先求出AB,AC,继而得出AD,再由△ADE∽△ACB,利用对应边成比例可求出DE.∵BC=6,sinA=35,∴AB=10,∴AC=102-62=8.∵D是AB的中点,∴AD=12AB=5.∵△ADE∽△ACB,∴DECB=ADAC,即DE6=58,解得DE=154.16.153或103 [解析]分两种情况求解:(1)如图所示,作AD⊥BC于点D,∵AB=10,∠B=30°,∴AD=12AB=12×10=5,BD=AB2-AD2=102-52=53.在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=5,AC=27,13\n∴CD=AC2-AD2=(27)2-52=3.∴BC=BD+CD=53+3=63,∴△ABC的面积为12BC·AD=12×63×5=153.(2)如图所示,作AD⊥BC交BC的延长线于点D,又∵AB=10,∠B=30°,∴AD=12AB=12×10=5,BD=AB2-AD2=102-52=53.在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=5,AC=27,∴CD=AC2-AD2=(27)2-52=3.∴BC=BD-CD=53-3=43,∴△ABC的面积为12BC·AD=12×43×5=103.综上所述,△ABC的面积等于153或103.17.解:(1)∵AD=2CD,AC=3,∴AD=2.∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,∴∠A=∠B=45°,AB=AC2+BC2=32+32=32.∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∠ADE=∠A=45°,∴AE=AD·cos45°=2×22=2,∴BE=AB-AE=32-2=22,13\n即线段BE的长为22.(2)过点E作EH⊥BC,垂足为点H,如图所示.∵在Rt△BEH中,∠EHB=90°,∠B=45°,∴EH=BH=BE·cos45°=22×22=2.∵BC=3,∴CH=1.在Rt△CHE中,tan∠ECB=EHCH=21=2.即∠ECB的正切值为2.18.C [解析]由题意得:Rt△DCP≌Rt△DEP,∴DC=DE=4,CP=EP,在Rt△OEF和Rt△OBP中,∠EOF=∠BOP,∠E=∠B,OF=OP,∴Rt△OEF≌Rt△OBP(AAS),∴OE=OB,EF=BP,设EF为x,则BP=x,DF=4-x,又∵BF=OF+OB=OP+OE=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,∴BF=3-x.∴AF=AB-BF=4-(3-x)=1+x,在Rt△DAF中,AF2+AD2=DF2,即(1+x)2+32=(4-x)2,解得x=35,∴EF=35,DF=4-35=175,∴在Rt△DAF中,cos∠ADF=ADDF=1517.19.45 [解析]过点B'作B'D⊥AC于D,由旋转可知:13\n∠B'AB=90°,AB'=AB=25,∴∠AB'D+∠B'AD=∠B'AD+∠CAB=90°,∴∠AB'D=∠CAB.∵AB=25,BC=5,∴AC=5,∴AD=AB'sin∠AB'D=AB'sin∠CAB=25×55=2,∴CD=5-2=3,B'D=(25)2-22=4,∴B'C=5,∴sin∠ACB'=B'DB'C=45.20.[解析]第(1)题利用平行四边形知识证明EF∥AC;第(2)题需要连接BG,证明△BEG是等边三角形;第(3)题,根据结论是比例式的形式,联想到需要寻找一对相似三角形进行证明.由于∠ABE=15°,所以AEAB=tan15°,容易找到△ABH∽△FBG.解:(1)证明:∵正方形ABCD,∴AD∥BC,即AE∥CF.∵AE=CF,∴四边形AEFC是平行四边形,∴EF∥AC.(2)如图,连接BG.∵正方形ABCD,∴∠BAC=∠ACB=45°.∵EF∥AC,∴∠ACB=∠F=45°.∵∠BCD=90°,∴∠CGF=45°.∴∠CGF=∠F,∴CG=CF.又∵AE=CF,∴CG=AE.∵AB=CB,∠BAE=∠BCG=90°,∴△ABE≌△CBG,∴BE=BG.13\n∵BE=EG,∴BE=BG=EG,∴△BEG是等边三角形,∴∠BEF=60°.(3)证明:由(2)得AE=CG,∴DE=DG,∴∠DEG=45°.∴∠AEB=75°,∴∠ABE=15°.由(2)得∠ABH=∠FBG,∠BAH=∠BFG=45°,∴△ABH∽△FBG.∴AHFG=ABFB,即AHFG=ABBC+CF=ABAB+AE=11+AEAB=11+tan15°,即AHGF=11+tan15°.13
