课时训练(二十八) 与圆有关的位置关系(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2022·常州]如图K28-1,AB是☉O的直径,MN是☉O的切线,切点为N,如果∠MNB=52°,则∠NOA的度数为( )图K28-1A.76°B.56°C.54°D.52°2.如图K28-2,AB是☉O的直径,C是☉O上的点,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,若∠A=30°,则sinE的值为( )图K28-2A.12B.22C.32D.333.[2022·吉林]如图K28-3,直线l是☉O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交☉O于点C,若AB=12,OA=5,则BC的长为( )图K28-3A.15B.6C.7D.813\n4.[2022·日照]如图K28-4,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,连接PO并延长交☉O于点C,连接AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是( )图K28-4A.53B.52C.5D.525.如图K28-5,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是( )图K28-5A.6B.213+1C.9D.3236.在周长为26π的☉O中,CD是☉O的一条弦,AB是☉O的切线,且AB∥CD,若AB和CD之间的距离为18,则弦CD的长为 . 7.如图K28-6,一圆内切于四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为 . 图K28-68.如图K28-7,给定一个半径长为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的13\n点的个数记为m.如d=0,l为经过圆心O的一条直线,此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点,即m=4,由此可知:(1)当d=3时,m= ; (2)当m=2时,d的取值范围是 . 图K28-79.如图K28-8,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,MN与☉O相切,切点为A.若∠MAB=30°,则∠B= °. 图K28-810.如图K28-9,AB为☉O的直径,延长AB至点D,使BD=OB,DC切☉O于点C,B是CF的中点,弦CF交AB于点E.若☉O的半径为2,则CF= . 图K28-911.如图K28-10所示,直线l与半径为4的☉O相切于点A,P是☉O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l,垂足为B,连接PA.设PA=x,PB=y,则x-y的最大值是 . 13\n图K28-1012.[2022·宿迁]如图K28-11,AB与☉O相切于点B,BC为☉O的弦,OC⊥OA,OA与BC相交于点P.(1)求证:AP=AB;(2)若OB=4,AB=3,求线段BP的长.图K28-1113\n13.[2022·苏州]如图K28-12,AB是☉O的直径,点C在☉O上,AD垂直于过点C的切线,垂足为D,CE垂直AB,垂足为E.延长DA交☉O于点F,连接FC,FC与AB相交于点G,连接OC.(1)求证:CD=CE;(2)若AE=GE,求证:△CEO是等腰直角三角形.图K28-12|拓展提升|14.[2022·泰州]如图K28-13,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=513,AC=12,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,P为线段A'B'上的动点,以点P为圆心,PA'长为半径作☉P,当☉P与△ABC的边相切时,☉P的半径为 . 图K28-1315.[2022·扬州]如图K28-14,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E,以点O为圆心,OE为半径作半圆,交AO于点F.13\n(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若点F是AO的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长.图K28-14参考答案1.A2.A [解析]连接OC.∵CE是☉O的切线,∴OC⊥CE,∵∠A=30°,∴∠BOC=2∠A=60°,∴∠E=90°-∠BOC=30°,∴sinE=sin30°=12.故选A.3.D [解析]由切线的性质得OA⊥AB,∵OA=5,AB=12,∴由勾股定理得BO=13,由圆的性质知OC=OA,∴BC=BO-OC=13-5=8.4.A [解析]过点O作OD⊥AC于点D,由已知条件和圆的性质易求OD的长,再根据勾股定理即可求出AD的长,进而可求出AC的长.过点O作OD⊥AC于点D,∵AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,∴AB⊥AP,∴∠BAP=90°,13\n∵∠P=30°,∴∠AOP=60°,∴∠AOC=120°,∵OA=OC,∴∠OAD=30°,∵AB=10,∴OA=5,∴OD=12AO=2.5,∴AD=AO2-OD2=532,∴AC=2AD=53,故选A.5.C [解析]如图,设半圆O与AC相切于点E,连接OE,作OP1⊥BC,垂足为P1,交半圆O于Q1,此时垂线段OP1最短,即此时PQ取得最小值,为P1Q1=OP1-OQ1,∵AB=10,AC=8,BC=6,∴AB2=AC2+BC2,∴∠C=90°,∵∠OP1B=90°,∠OEC=90°,∴OP1∥AC,OE∥BC.∵AO=OB,∴P1C=P1B,AE=EC,∴OP1=12AC=4,OE=12BC=3,∴P1Q1=OP1-OQ1=4-3=1.当Q2在AB边上,P2与B重合时,PQ取得最大值,为P2Q2=5+3=8,∴PQ长的最大值与最小值的和是9.故选C.6.24 [解析]如图,设AB与☉O相切于点F,连接OF,OD,延长FO交CD于点E.设☉O的半径为R,13\n∵2πR=26π,∴R=13,∴OF=OD=13,∵AB是☉O的切线,∴OF⊥AB,∵AB∥CD,∴EF⊥CD,即OE⊥CD,∴CE=ED,∵EF=18,OF=13,∴OE=5,在Rt△OED中,∵∠OED=90°,OD=13,OE=5,∴ED=OD2-OE2=132-52=12,∴CD=2ED=24.7.52 8.(1)1 (2)1<d<39.6010.23 [解析]如图,连接OC.∵DC切☉O于点C,∴∠OCD=90°.∵BD=OB,∴OB=12OD.∵OC=OB,∴OC=12OD,∴∠D=30°,∴∠COD=60°.∵AB为☉O的直径,B是CF的中点,∴CF⊥OB,CE=EF,∴CE=OC·sin60°=2×32=3,∴CF=23.11.2 [解析]如图,作☉O的直径AC,连接PC,所以∠APC=∠ABP=90°.因为直线l与☉O相切于点A,所以∠CAB=13\n90°,所以AC∥BP,所以∠CAP=∠BPA,所以△ABP∽△CPA,可得AP2=AC·BP,则有y=BP=x28,所以x-y=x-x28=-18(x-4)2+2,则当x=4时,x-y有最大值,最大值是2.12.解:(1)证明:∵AB与☉O相切,∴OB⊥AB,∠ABP+∠OBC=90°,∵CO⊥AO,∴∠C+∠CPO=90°,∵OB=OC,∴∠C=∠OBC,∴∠ABP=∠CPO=∠APB,∴AP=AB.(2)如图,过点A作AD⊥BP于D点,∴∠ADP=90°.由(1)得:AP=AB,∴PD=12BP,∵∠ABO=90°,OB=4,AB=3,∴OA=5,OP=OA-AP=2,∴CP=25,∵∠ADP=∠COP,∠APD=∠CPO,∴△ADP∽△COP,∴PDPO=APCP,即PD=355,∴PB=655.13.证明:(1)连接AC.∵CD为☉O的切线,∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴∠DCO=∠D=90°.∴AD∥OC,∴∠DAC=∠ACO.13\n又∵OC=OA,∴∠CAO=∠ACO,∴∠DAC=∠CAO.又∵CE⊥AB,∴∠CEA=90°.在△CDA和△CEA中,∵∠D=∠CEA,∠DAC=∠EAC,AC=AC,∴△CDA≌△CEA(AAS),∴CD=CE.(2)连接BC.∵△CDA≌△CEA,∴∠DCA=∠ECA.∵CE⊥AG,AE=EG,∴CA=CG.∴∠ECA=∠ECG.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又∵CE⊥AB,∴∠ACE=∠B.又∵∠B=∠F,∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG.又∵∠D=90°,∴∠DCF+∠F=90°,∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°.∴∠AOC=2∠F=45°.∴△CEO是等腰直角三角形.14.15625或10213 [解析]设☉P的半径为r,∵∠ACB=90°,∴BAB=sinA=513,BC2+AC2=AB2,∵AC=12,∴BC=5,AB=13,由旋转得∠A'CB'=∠ACB=90°,∠A'=∠A,A'C=AC=12,B'C=BC=5,A'B'=AB=13,13\n∴∠A'CB=180°,∴A',C,B三点共线,∵点P到直线BC的距离小于半径PA',∴☉P与直线BC始终相交.如图①,过点P作PD⊥AC于点D,则∠B'DP=∠B'CA'=90°,∵∠DB'P=∠CB'A',∴△B'DP∽△B'CA',∴PDA'C=PB'A'B',∴PD12=13-r13,∴PD=12(13-r)13=12-1213r,当☉P与AC边相切时,PD=PA',∴12-1213r=r,∴r=15625.如图②,延长A'B'交AB于点E,∵∠A+∠B=90°,∠A'=∠A,∴∠A'+∠B=90°,∴∠A'EB=90°,同上得A'E=1213A'B=20413,当☉P与AB边相切时,A'E=2PA',∴r=10213,13\n综上所述,☉P的半径为15625或10213.15.解:(1)证明:作OH⊥AC于H,如图.∵AB=AC,AO⊥BC于点O,∴AO平分∠BAC.∵OE⊥AB,OH⊥AC,∴OH=OE,∴AC是☉O的切线.(2)∵点F是AO的中点,∴AO=2OF=6,而OE=3,∠AEO=90°,∴∠OAE=30°,∠AOE=60°,∴AE=3OE=33.∴图中阴影部分的面积=S△AOE-S扇形EOF=12×3×33-60·π·32360=93-3π2.(3)3.提示:作点F关于BC的对称点F',连接EF'交BC于P,如图.∵PF=PF',∴PE+PF=PE+PF'=EF',此时EP+FP最小.∵OF'=OF=OE,∴∠F'=∠OEF',而∠AOE=∠F'+∠OEF'=60°,∴∠F'=30°,∴∠F'=∠EAF',∴EF'=EA=33,即PE+PF的最小值为33.13\n在Rt△OPF'中,OP=33OF'=3.在Rt△ABO中,OB=33OA=33×6=23.∴BP=23-3=3,即当PE+PF取最小值时,BP的长为3.13
