课时训练(二十六) 正方形及中点四边形|夯实基础|1.根据下列条件,能判定一个四边形是正方形的是( )A.对角线互相垂直且平分B.对角相等C.对角线互相垂直、平分且相等D.对角线相等2.[2022·滨州]下列命题,其中是真命题的为( )A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组邻边相等的矩形是正方形3.[2022·河北]关于▱ABCD的叙述,正确的是( )A.若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形B.若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形C.若AC=BD,则▱ABCD是矩形D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形4.[2022·广安]下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形;②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;③对角线相等的四边形一定是矩形;18\n④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的个数是( )A.4B.3C.2D.15.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是( )A.矩形B.菱形 C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形6.如图26-5,正方形ABCD的周长为28cm,点N在对角线BD上,则矩形MNGC的周长是( )图26-5A.24cmB.14cmC.18cmD.7cm7.如图26-6,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线l的距离分别为1和3,则正方形ABCD的边长是( )图26-6A.22B.3C.10D.48.[2022·天津]如图26-7,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是( )18\n图26-7A.ABB.DEC.BDD.AF9.[2022·枣庄]如图26-8,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为( )图26-8A.2B.3C.2D.110.[2022·泰安]如图26-9,在正方形ABCD中,M为BC上一点,ME⊥AM,ME交AD的延长线于点E.若AB=12,BM=5,则DE的长为( )图26-9A.18B.1095C.965D.25311.[2022·青岛]如图26-10,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,H为BF的中点,连接GH,则GH的长为 . 18\n图26-1012.[2022·德阳]如图26-11,将边长为3的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到正方形A'BC'D',那么图中阴影部分的面积为( )图26-11A.3B.3C.3-3D.3-3213.正方形的对角线长为2,则正方形的周长为 ,面积为 . 14.[2022·兰州]在平行四边形ABCD中,对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的是 (填序号). 15.[2022·无锡]如图26-12,已知矩形ABCD的对角线长为8cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH的周长等于 cm. 图26-1216.[2022·广安]如图26-13,已知E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6cm,∠ABC=60°,则四边形EFGH的面积为 cm2. 18\n图26-1317.[2022·宿迁]如图26-14,正方形ABCD的边长为3,点E在边AB上,且BE=1.若点P在对角线BD上移动,则PA+PE的最小值是 . 图26-1418.[2022·包头样题二]如图26-15,边长为6的大正方形中有两个小正方形,小正方形的顶点均在大正方形的边或对角线上.若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1与S2的和为 . 图26-1519.[2022·常德]如图26-16,正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上,若设AE=x,正方形EFGH的面积为y,则y与x之间的函数关系式为 (不必写出自变量的取值范围). 图26-1620.[2022·白银]如图26-17,已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证:△BGF≌△FHC;18\n(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.图26-1721.[2022·聊城]如图26-18,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BH⊥AE,垂足为H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF;(2)若正方形ABCD的边长是5,BE=2,求AF的长.图26-1818\n22.[2022·潍坊]如图26-19,M是正方形ABCD的边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE.(1)求证:AE=BF;(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值.图26-1923.[2022·眉山]如图26-20,E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,连接DE,过顶点B作BF⊥DE,垂足为F,BF交AC于点H,交DC于点G.(1)求证:BG=DE;(2)若G为CD的中点,求HGGF的值.18\n图26-20|拓展提升|24.[2022·包头样题一]如图26-21,已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,点E在线段DC上,点A,D,G在同一条直线上,且AD=3,DE=1,连接CG,AE,并延长AE交CG于点H,则EH的长为( )图26-2118\nA.105B.2105C.355D.5525.[2022·台州]如图26-22,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3,则△BCG的周长为 . 图26-2226.[2022·青山区一模]如图26-23,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC,DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论:①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若AEAB=23,则3S△EDH=13S△DHC,其中正确的结论是 (填序号). 图26-2327.[2022·青山区二模]如图26-24,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP,CP的延长线分别交AD于点E,F,连接BD,DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论:①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③△PFD∽△PDB;④DP2=PH·PC.其中正确的是 (填序号). 图26-2418\n18\n参考答案1.C2.D3.C4.C [解析]根据菱形的判定定理,四边相等的四边形一定是菱形,故①正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四条边相等,由此可判定所得四边形是菱形,故②错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故③错误;平行四边形是中心对称图形,根据中心对称图形的性质,经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形,面积当然相等,所以经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分,故④正确.综上所述,正确的说法有2个.故选C.5.D 6.B 7.C8.D [解析]如图,取CD的中点E',连接AE',PE'.由正方形轴对称的性质可知EP=E'P,AF=AE',∴AP+EP=AP+E'P.∵AP+E'P≥AE',∴AP+EP的最小值是AE'的长,即AP+EP的最小值是AF的长.故选D.9.B [解析]∵四边形ABCD为正方形,AB=2,M,N分别为BC,AD的中点,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,∴FB=AB=2,BM=1.在Rt△BMF中,FM=BF2-BM2=22-12=3,故选B.10.B [解析]在Rt△ABM中,根据勾股定理得AM=AB2+BM2=122+52=13,因为四边形ABCD为正方形,所以AD=AB=12.因为ME⊥AM,所以∠AME=90°,所以∠AME=∠MBA.因为AD∥BC,所以∠EAM=∠AMB,所以△ABM∽△EMA,所以BMAM=AMAE,即513=13AE,所以AE=1695,所以DE=AE-AD=1695-12=1095.18\n11.342 [解析]∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC=CD=5,∠BAD=∠D=∠C=90°.又∵AE=DF,∴△ABE≌△DAF,∴∠DAF=∠ABE,∴∠ABE+∠BAG=∠DAF+∠BAG=90°,即∠BGF=90°.在Rt△BCF中,CF=CD-DF=3,∴BF=52+32=34.在Rt△BGF中,∵H为BF的中点,∴GH=12BF=342.12.C [解析]如图,连接AM.由旋转的性质可知∠1=∠4=30°,∴∠2+∠3=60°.在Rt△ABM和Rt△C'BM中,∵AB=C'B,∴Rt△ABM≌Rt△C'BM,∴∠2=∠3=30°.在Rt△ABM中,∵AB=3,∠2=30°,∴AM=tan30°·AB=1.∴S△ABM=S△BMC'=32,∴S阴影=S正方形A'BC'D'-(S△ABM+S△BMC')=3-3.13.42 214.①③④ [解析]①有一个角是直角的平行四边形是矩形;有一组邻边相等的矩形是正方形,故①正确;②BD为平行四边形的对角线,AB为平行四边形的其中一条边,所以AB=BD时,平行四边形不可能是正方形,故②错误;③由OB=OC,得AC=BD,由OB⊥OC得AC⊥BD,∴▱ABCD为正方形,故③正确;④由AB=AD,得▱ABCD为菱形.又∵AC=BD,∴四边形ABCD为正方形,故④正确.18\n15.16 16.9317.10 [解析]连接PC.根据正方形的对称性知PA=PC,所以当点C,P,E在同一条直线上时,PA+PE=PC+PE=CE最小,根据勾股定理求得CE=BC2+BE2=32+12=10.18.1719.y=2x2-4x+4 [解析]由题中条件可知,图中的四个直角三角形是全等三角形,AE=x,则AF=2-x.在Rt△EAF中,由勾股定理可得EF2=(2-x)2+x2=2x2-4x+4,即正方形EFGH的面积y=2x2-4x+4.20.解:(1)证明:∵F是BC边的中点,∴BF=FC.∵F,G,H分别是BC,BE,CE的中点,∴GF,FH是△BEC的中位线,∴GF=HC,FH=BG.在△BGF和△FHC中,BF=FC,BG=FH,GF=HC,∴△BGF≌△FHC(SSS).(2)当四边形EGFH是正方形时,∠BEC=90°,GF=GE=EH=FH.∵GF,FH是△BEC的中位线,∴BE=CE,∴△BEC是等腰直角三角形.连接EF,则EF⊥BC,EF=12BC=12AD=12a,∴S矩形ABCD=AD·EF=a·12a=12a2.21.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,18\n∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°.∵BH⊥AE,垂足为H,∴∠BAE+∠ABH=90°.∵∠CBF+∠ABH=90°,∴∠BAE=∠CBF.在△ABE和△BCF中,∠ABE=∠C=90°,AB=BC,∠BAE=∠CBF,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.(2)∵△ABE≌△BCF,∴CF=BE=2.∵正方形的边长为5,∴AD=CD=5,∴DF=CD-CF=5-2=3.在Rt△ADF中,AF=AD2+DF2=52+32=34.22.解:(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∴∠BAE+∠EAD=90°.∵BF⊥AM,DE⊥AM,∴∠DEA=∠AFB=90°,∴∠EAD+∠ADE=90°,∴∠BAE=∠ADE.∴△ABF≌△DAE,18\n∴AE=BF.(2)设EF=x,则AE=x+2,BF=AE=x+2.∵△ABF≌△DAE,∴S四边形ABED=S△BEF+S△ABF+S△DAE=S△BEF+2S△ABF=24,即12x(x+2)+12×2(x+2)×2=24,解得x1=4,x2=-10(舍去),∴EF=4,BF=6,∴BE=42+62=213,∴sin∠EBF=EFBE=4213=21313.23.[解析](1)要证明BG=DE,只需证明△BCG≌△DCE,利用AAS或ASA证明即可;(2)设正方形ABCD的边长为a,先求出BG的长,从而得出CE,DE的长,分别利用△ABH∽△CGH和△DFG∽△DCE,得到HG和GF的长,从而求出HGGF的值.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=DC,∠BCD=90°,∴∠DCE=180°-90°=90°,∴∠BCD=∠DCE,∴∠CBG+∠BGC=90°.∵BF⊥DE,∴∠CBG+∠E=90°,∴∠BGC=∠E,∴△BCG≌△DCE,∴BG=DE.(2)设正方形ABCD的边长为a.∵G为CD的中点,18\n∴CG=GD=12a.在Rt△BCG中,BG=BC2+CG2=a2+a22=52a.∵△BCG≌△DCE,∴CE=CG=a2,DE=BG=52a.∵AB∥DC,∴△ABH∽△CGH,∴BHGH=ABCG=2,∴HGBG=13,∴HG=13BG=13×52a=56a.又∵∠DFG=∠DCE=90°,∠FDG=∠CDE,∴△DFG∽△DCE,∴GFEC=DGDE,即GF12a=12a52a,解得GF=510a,∴HGGF=56a510a=53.24.A25.3+15 [解析]∵在正方形ABCD中,AB=3,∴S正方形ABCD=32=9.∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3,∴空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为1∶3,∴S空白=3.∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠BCE=∠CDF=90°.又∵CE=DF,18\n∴△BCE≌△CDF(SAS),∴∠CBE=∠DCF.∵∠DCF+∠BCG=90°,∴∠CBE+∠BCG=90°,即∠BGC=90°,△BCG是直角三角形.易知S△BCG=S四边形FGED=32,∴S△BCG=12BG·CG=32,∴BG·CG=3.在Rt△BCG中,根据勾股定理,得BG2+CG2=BC2,即BG2+CG2=9,∴(BG+CG)2=BG2+2BG·CG+CG2=9+2×3=15,∴BG+CG=15,∴△BCG的周长=BG+CG+BC=3+15.26.①②③④ [解析]∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD,∴EF=AD=DC,∠ACD=45°,∠GFC=90°,∴△GFC为等腰直角三角形,∴GF=CF,∴EF-GF=DC-CF,即EG=DF,故①正确;∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,∴FH=CH,∠EFH=∠DCH=45°.又∵EF=DC,∴△EHF≌△DHC,故③正确;∵△EHF≌△DHC,∴∠FEH=∠CDH,∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠FEH+∠ADF-∠CDH=∠AEF+∠ADF=180°,故②正确;∵AEAB=23,∴AE=2BE.18\n在△EGH和△DFH中,∵EG=DF,∠EGH=∠DFH=135°,GH=FH,∴△EGH≌△DFH,∴EH=DH,∠EHG=∠DHF,∴∠EHD=∠EHG+∠AHD=∠AHD+∠DHF=∠AHF=90°,∴△EHD是等腰直角三角形.过点H作HM⊥CD于点M,设HM=x,则DM=5x,CD=6x,DH=26x,∴S△EDH=12DH2=13x2,S△DHC=12HM·CD=3x2,∴3S△EDH=13S△DHC,故④正确.27.①②④18
