单元测试(二)范围:方程(组)与不等式(组) 限时:45分钟 满分:100分一、选择题(每小题3分,共24分) 1.已知a<b,下列不等式成立的是( )A.-a<-bB.b-a>0C.1-a<1-bD.a2<ab2.关于x的一元二次方程x2-4x+3=0的解为( )A.x1=-1,x2=3B.x1=1,x2=-3C.x1=1,x2=3D.x1=-1,x2=-33.分式方程x+1x+1x-2=1的解是( )A.x=1B.x=-1C.x=3D.x=-34.不等式x+1≥2x-1的解集在数轴上表示为( )12\n图D2-15.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为( )A.x(x+1)=1035B.x(x-1)=1035×2C.x(x-1)=1035D.2x(x+1)=10356.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托.折回索子来量竿,却比竿子短一托.”其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.设绳索长x尺,竿长y尺,则符合题意的方程组是( )A.x=y+5,12x=y-5B.x=y-5,12x=y+5C.x=y+5,2x=y-5D.x=y-5,2x=y+57.已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根,则这个方程的另一个根是( )A.-2B.212\nC.5D.68.若关于x的一元一次不等式组6-3(x+1)<x-9,x-m>-1 的解集是x>3,则m的取值范围是( )A.m>4B.m≥4C.m<4D.m≤4 二、填空题(每小题3分,共24分) 9.不等式2x+9≥3(x+2)的正整数解是 . 10.某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为 . 11.已知x=2,y=1是关于x,y的二元一次方程组ax+by=7,ax-by=1的解,则a+b= . 12.若2n(n≠0)是关于x的方程x2-2mx+2n=0的根,则m-n的值为 . 13.若关于x的分式方程xx-3+3a3-x=2a无解,则a的值为 . 14.若关于x的一元二次方程x2+4x-k=0有实数根,则k的取值范围是 . 15.A,B两市相距200千米,甲车从A市到B市,乙车从B市到A市,两车同时出发,已知甲车速度比乙车速度快15千米/时,且甲车比乙车早半小时到达目的地,若设乙车的速度是x千米/时,则根据题意,可列方程为 . 16.对于任意两个实数对(a,b)和(c,d),规定:当且仅当a=c且b=d时,(a,b)=(c,d).定义运算“⊗”:(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,ad+bc).若(1,2)⊗(p,q)=(5,0),则p= ,q= . 三、解答题(共52分) 12\n17.(15分)解方程或不等式组:(1)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8;(2)3x+2+1x=4x2+2x;(3)x+52>x,x-3(x-1)≤5,并在数轴上表示出它的解集.18.(7分)小李读一本名著,第一天读了36页,第二天读了剩余部分的14,这两天共读了整本书的38,这本名著共有多少页?12\n19.(8分)某厂为支援灾区人民,要在规定时间内加工1500顶帐篷.在加工了300顶帐篷后,厂家把工作效率提高到原来的1.5倍,结果提前4天完成任务,求该厂原来每天加工多少顶帐篷?20.(10分)已知关于x的一元二次方程x2+mx+m-2=0.(1)求证:无论m取任何实数,此方程总有两个不相等的实数根;(2)设x2+mx+m-2=0的两个实数根为x1,x2,若y=x12+x22+4x1x2,求出y与m的函数关系式;(3)在(2)的条件下,若-1≤m≤2,求y的取值范围.12\n21.(12分)为拓宽学生视野,引导学生主动适应社会,促进书本知识和生活经验的深度融合,我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动.在参加此次活动的师生中,若每位老师带17个学生,还剩12个学生没人带;若每位老师带18个学生,就有一位老师少带4个学生,现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如下表所示:甲种客车乙种客车载客量(人/辆)3042租金(元/辆)300400学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元,为了安全,每辆客车上至少要有2名老师.(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人?12\n(2)既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆客车上至少要有2名老师,可知租用客车总数为 辆. (3)你能得出哪几种不同的租车方案?其中哪种租车方案最省钱?请说明理由.参考答案1.B 2.C 3.A 4.B12\n5.C [解析]∵全班有x名同学,∴每名同学要送出(x-1)张.又∵是互送照片,∴总共送的张数应该是x(x-1)=1035.故选C.6.A [解析]本题考查了二元一次方程组,解题的关键是找准等量关系.由“绳索比竿长5尺”,可得x=y+5;再根据“将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺”,可列得方程12x=y-5.所以符合题意的方程组是x=y+5,12x=y-5.故选A.7.B [解析]把3代入方程得32-3×5+c=0,c=6.方程为x2-5x+6=0,则方程的根为x1=2,x2=3.故选B.8.D [解析]两个不等式分别解出后为x>3,x>m-1,而不等式组的解集为x>3,由解不等式组口诀“同大取大”可知m-1<3,解得m<4.当m-1=3,即m=4时,不等式组的解集也是x>3.综上所述m≤4.故选D.9.1,2,3 [解析]先解不等式,求出其解集是x≤3,再根据解集判断其正整数解为1,2,3.10.20% [解析]设平均每次降价的百分率为x,根据题意得125(1-x)2=80,解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不合题意,舍去).故答案为20%.11.5 [解析]根据二元一次方程组的定义,将x=2,y=1代入ax+by=7,ax-by=1,得2a+b=7,2a-b=1,解得a=2,b=3.所以a+b=5.12.12 [解析]∵2n(n≠0)是关于x的方程x2-2mx+2n=0的根,∴(2n)2-2m×2n+2n=0,原方程整理得4n2-4mn+2n=0,∴2n(2n-2m+1)=0,∵n≠0,∴2n-2m+1=0,即2n-2m=-1,∴m-n=12.13.1或12 [解析]去分母,得x-3a=2a(x-3),12\n整理,得(1-2a)x=-3a.当1-2a=0时,方程无解,a=12;当1-2a≠0时,x=-3a1-2a=3时,分式方程无解,a=1.故a为1或12.14.k≥-4 [解析]∵关于x的一元二次方程x2+4x-k=0有实数根,∴Δ=b2-4ac=42-4×1×(-k)≥0,解得k≥-4.15.200x-200x+15=12 [解析]根据题意可得甲车的速度为(x+15)千米/时,根据甲车比乙车早半小时到达目的地,可列出方程200x-200x+15=12.16.1 -2 [解析]由题意知(1,2)⊗(p,q)=(p-2q,q+2p),所以有p-2q=5,q+2p=0, 解得p=1,q=-2.17.解:(1)原方程可化为(x-1)(x+3)=0,解得x1=1,x2=-3.(2)去分母,得3x+x+2=4,解得x=12.经检验,x=12是原方程的解.(3)x+52>x①,x-3(x-1)≤5②.由不等式①得x<5,由不等式②得x≥-1.所以,原不等式组的解集为-1≤x<5.12\n解集在数轴上表示为18.解:设这本名著共有x页.根据题意,得36+14(x-36)=38x.解得x=216.答:这本名著共有216页.19.解:设原来每天加工x顶帐篷,根据题意得1500x=300x+12022.5x+4,解得x=100.经检验,x=100是原方程的解,且符合题意.答:该厂原来每天加工100顶帐篷.20.解:(1)∵Δ=m2-4(m-2)=(m-2)2+4>0,∴无论m取任何实数,此方程总有两个不相等的实数根.(2)∵x1+x2=-m,x1x2=m-2,∴y=x12+x22+4x1x2=(x1+x2)2+2x1x2=(-m)2+2(m-2)=m2+2m-4.(3)∵y=m2+2m-4=(m+1)2-5,12\n∴顶点为(-1,-5).又∵-1≤m≤2,∴当m=-1时,y最小值=-5;当m=2时,y最大值=4.∴-5≤y≤4.21.解:(1)设老师有x人,学生有y人,依题意得17x=y-12,18x=y+4,解得x=16,y=284.答:参加此次研学旅行活动的老师有16人,学生有284人.(2)由(1)得出老师有16人,要保证每辆客车上至少要有2名老师,则租用客车总数最多为8辆.要保证所有师生都有车坐,假设都坐乙种客车,284+1642≈7.1,即最少需8辆.综合得租用客车总数为8辆.(3)设乙种客车租m辆,则甲种客车租(8-m)辆.∵租车总费用不超过3100元,∴400m+300(8-m)≤3100,解得m≤7.为使300名师生都有车坐,则42m+30(8-m)≥300,解得m≥5.∴5≤m≤7(m为整数).∴共有3种租车方案:方案一:租用甲种客车3辆,乙种客车5辆,租车费用是2900元;方案二:租用甲种客车2辆,乙种客车6辆,租车费用是3000元;方案三:租用甲种客车1辆,乙种客车7辆,租车费用是3100元.12\n∴最节省费用的租车方案是:租用甲种客车3辆,乙种客车5辆.12
