提分专练(八) 构造辅助圆|类型1| 根据圆的定义构造圆1.如图T8-1,已知OA=OB=OC,且∠AOB=k∠BOC,则∠ACB是∠BAC的 倍. 图T8-12.如图T8-2所示,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC的度数为 . 图T8-23.如图T8-3,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,∠BAC=25°,∠CAD=75°,则∠BDC= °,∠DBC= °. 图T8-34.[2022·淮安]如图T8-4,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是 . 9\n图T8-4|类型2| 三角形的外接圆5.如图T8-5,矩形ABCG与矩形CDEF全等,AB=1,BC=3,点B,C,D在同一条直线上,∠APE的顶点P在线段BD上移动,使∠APE为直角的点P的个数是( )A.0B.1C.2D.36.已知:如图T8-6,直尺的宽度为2,A,B两点在直尺的一条边上,AB=6,C,D两点在直尺的另一条边上.若∠ACB=∠ADB=90°,则C,D两点之间的距离为 . 图T8-67.如图T8-7,已知Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是边AB上的动点,Q是边BC上的动点,且∠CPQ=90°,则线段CQ的取值范围是 . 图T8-78.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax2+bx-2过点A,B,顶点为C,点P(m,n)为抛物线上一点,其中n<0.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围.9\n|类型3| 四点共圆(1)若一个四边形的一组对角互补,则它的四个顶点共圆;(2)动点对定线段所张的角为定值.9.在平面直角坐标系中,点A(0,2),点B(0,8),在x轴正半轴上有一点C,当∠ACB取得最大值时,则点C的坐标是 . 10.在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),B(-6,0),点C是y轴上的一个动点,当∠BCA=45°时,点C的坐标为 . 11.[2022·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(A,B两点除外),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.(1)如图T8-8①,当α=90°时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证:GF∥AC.(2)如图②,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.①当点M与点C,D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;9\n②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.图T8-812.[2022·淮安]阅读理解:如图T8-9①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B'为点B的对应点,点D'为点D的对应点,连接EB',FD'相交于点O.图T8-9简单应用:(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是 ; (2)当图③中的∠BCD=120°时,∠AEB'= ; (3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有 个(包含四边形ABCD). 拓展提升:当图③中的∠BCD=90°时,连接AB',请探求∠AB'E的度数,并说明理由.9\n参考答案1.k 2.140° 3.12.5 37.54.1.2 5.C 6.25 7.203≤CQ≤128.解:(1)∵A(-1,0),B(4,0)在抛物线y=ax2+bx-2上,则a-b-2=0①,16a+4b-2=0②,①×4+②,得20a-10=0,a=12,把a=12代入①,得b=-32,∴抛物线的解析式为y=12x2-32x-2.则C32,-258.(2)∵A(-1,0),B(4,0),抛物线与y轴的交点D的坐标为(0,-2),如图,抛物线的对称轴与x轴的交点为M32,0,∵AD2=12+22=5,AB2=(4+1)2=25,BD2=42+22=16+4=20,则AD2+BD2=AB2,由勾股定理的逆定理,知△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,以M为圆心,以MA为半径作圆,则☉M经过点D,则☉M内抛物线上的所有的点都可以是P点,且使∠APB为钝角,根据抛物线及圆的对称性,☉M与抛物线的另一个交点坐标为(3,-2),9\n则满足条件的m的取值范围为:-1<m<0或3<m<4.9.(4,0)10.(0,12)或(0,-12) [解析]如图①,以AB为斜边作等腰直角三角形APB,点E为AB的中点,以点P为圆心,PA长为半径画圆,得到☉P,☉P与y轴交于点C,连接PE,PC.∵△APB是等腰直角三角形,点A(4,0),点B(-6,0),∴AB=10,点E(-1,0),AE=BE=5,∴EP=12AB=5(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),PE⊥AB(三线合一),∴PA=PB=52.过点P作PF⊥y轴于点F,则OF=PE=5,PF=OE=1.∵PF⊥y轴,PC=PA=52,PF=1,∴FC=7,∴OC=OF+FC=12,∴点C的坐标为(0,12).同理可作图如图②,求出点C的坐标为(0,-12),综上所述,点C(0,12)或(0,-12).9\n11.解:(1)证明:∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠A=∠ABC=45°,∵△CEF是由△CAD逆时针旋转角α得到,α=90°,∴CB与CE重合,∴∠CBF=∠A=45°,∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,∵BG=AD=BF,∴∠BGF=∠BFG=45°,∴∠A=∠BGF=45°,∴GF∥AC.(2)①如图①,∵CA=CE,CD=CF,∴∠CAE=∠CEA,∠CDF=∠CFD,∵∠ACD=∠ECF,∴∠ACE=∠DCF,∵2∠CAE+∠ACE=180°,2∠CDF+∠DCF=180°,∴∠CAE=∠CDF,∴A,D,M,C四点共圆,∴∠CMD=180°-∠CAD=135°.②如图②,O是AC中点,连接OD,CM.∵AD=DB,CA=CB,∴CD⊥AB,∴∠ADC=90°,由①可知A,D,M,C四点共圆,∴当α从90°变化到180°时,点M在以AC为直径的☉O上,运动路径是弧CD,∵OA=OC,CD=DA,∴DO⊥AC,∴∠DOC=90°,9\n∴CD的长=90π·1180=π2.∴当α从90°变化到180°时,点M运动的路径长为π2.12.解:简单应用:(1)因为平行四边形和菱形中不一定有直角,矩形两条邻边不一定相等,所以一定为“完美筝形”的是正方形.(2)在图③中,因为∠BCD=120°,∠BCE=∠ECF=∠FCD,所以∠BCE=∠ECF=∠FCD=40°.又因为∠B=90°,所以∠BEC=50°,所以∠B'EC=50°,所以∠AEB'=180°-50°-50°=80°.(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有5个.理由如下:根据题意得:BE=B'E,BC=B'C,∠B=∠CB'E=90°,CD=CD',FD=FD',∠D=∠CD'F=90°,∴四边形EBCB'、四边形FDCD'是“完美筝形”;∵四边形ABCD是“完美筝形”,∴AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,∴CD'=CB',∠CD'O=∠CB'O=90°,∴∠OD'E=∠OB'F=90°,∵四边形AECF为菱形,∴AE=AF,CE=CF,AE∥CF,AF∥CE,∴D'E=B'F,∠AEB'=∠CB'E=90°,∠AFD'=∠CD'F=90°,9\n在△OED'和△OFB'中,∠EOD'=∠FOB',∠OD'E=∠OB'F,D'E=B'F,∴△OED'≌△OFB'(AAS),∴OD'=OB',OE=OF,∴四边形CD'OB'、四边形AEOF是“完美筝形”,∴包含四边形ABCD,对应图③中的“完美筝形”有5个;故答案为5.拓展提升:∠AB'E=45°.理由如下:∵∠BCD=90°,∴四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,∵∠EB'F=90°,∴∠BAD+∠EB'F=180°,∴A,E,B',F四点共圆.易证AE=AF,∴AE=AF,∴∠AB'E=∠AB'F=12∠EB'F=45°.9
