提分专练(七) 以圆为背景的计算题与证明题|类型1| 平面直角坐标系中的圆1.如图T7-1,在平面直角坐标系xOy中,以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M,交y轴的正半轴于点N.劣弧MN的长为65π,直线y=-43x+4与x轴、y轴分别交于点A,B.(1)求证:直线AB与☉O相切;(2)求图中所示的阴影部分的面积(结果用π表示).图T7-113\n2.[2022·酒泉]如图T7-2,AN是☉M的直径,NB∥x轴,AB交☉M于点C.(1)若点A0,6,N0,2,∠ABN=30°,求点B的坐标;(2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是☉M的切线.图T7-2|类型2| 垂径定理与勾股定理联手3.[2022·金华]如图T7-3,已知:AB是☉O的直径,点C在☉O上,CD是☉O的切线,AD⊥CD于点D.E是AB延长线上的一点,CE交☉O于点F,连接OC,AC.(1)求证:AC平分∠DAO.(2)若∠DAO=105°,∠E=30°.①求∠OCE的度数;②若☉O的半径为22,求线段EF的长. 图T7-313\n|类型3| 与圆有关的图形的面积4.[2022·达州]已知,如图T7-4,以等边三角形ABC的边BC为直径作☉O,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证:DF是☉O的切线;(2)若等边三角形ABC的边长为8,求由DE,DF,EF围成的阴影部分的面积.图T7-4|类型4| 与圆的切线有关的问题13\n5.[2022·扬州]如图T7-5,已知▱OABC的三个顶点A,B,C在以O为圆心的半圆上,过点C作CD⊥AB,分别交AB,AO的延长线于点D,E,AE交半圆O于点F,连接CF.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系,并说明理由.(2)①求证:CF=OC;②若半圆O的半径为12,求阴影部分的周长.图T7-5|类型5| 圆与四边形结合的问题6.正方形ABCD内接于☉O,如图T7-6所示,在劣弧AB上取一点E,连接DE,BE,过点D作DF∥BE交☉O于点F,连接BF,AF,且AF与DE相交于点G,求证:(1)四边形EBFD是矩形;(2)DG=BE.图T7-613\n|类型6| 圆与三角函数结合的问题7.如图T7-7,AB是☉O的弦,点C为半径OA的中点,过点C作CD⊥OA交弦AB于点E,连接BD,且DE=DB.(1)判断BD与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若CD=15,BE=10,tanA=512,求☉O的直径.图T7-7|类型7| 圆与相似三角形结合的问题8.[2022·黄冈]已知:如图T7-8,MN为☉O的直径,ME是☉O的弦,MD垂直于过点E的直线DE,垂足为点D,且ME平分∠DMN.13\n求证:(1)DE是☉O的切线;(2)ME2=MD·MN.图T7-8参考答案1.解:(1)证明:作OD⊥AB于D,如图所示:∵劣弧MN的长为65π,∴90π×OM180=65π,解得OM=125,13\n即☉O的半径为125,∵直线y=-43x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,当y=0时,x=3;当x=0时,y=4,∴A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4,∴AB=32+42=5,∵△AOB的面积=12AB·OD=12OA·OB,∴OD=OA×OBAB=125=半径,∴直线AB与☉O相切.(2)图中所示的阴影部分的面积=△AOB的面积-扇形OMN的面积=12×3×4-14π×1252=6-3625π.2.解:(1)∵A的坐标为(0,6),N的坐标为(0,2),∴AN=4,∵∠ABN=30°,∠ANB=90°,∴AB=2AN=8,∴由勾股定理可知:NB=43,∴B(43,2).(2)证明:连接MC,NC.∵AN是☉M的直径,∴∠ACN=90°,13\n∴∠NCB=90°,在Rt△NCB中,D为NB的中点,∴CD=12NB=ND,∴∠CND=∠NCD,∵MC=MN,∴∠MCN=∠MNC.∵∠MNC+∠CND=90°,∴∠MCN+∠NCD=90°,即MC⊥CD.∴直线CD是☉M的切线.3.解:(1)证明:∵CD是☉O的切线,∴OC⊥CD.∵AD⊥CD,∴OC∥AD.∴∠DAC=∠ACO.∵OA=OC,∴∠OAC=∠ACO.∴∠DAC=∠OAC.∴AC平分∠DAO.(2)①∵OC∥AD,∴∠EOC=∠DAO=105°.∴∠OCE=180°-∠EOC-∠E=180°―105°―30°=45°.②如图,过点O作OG⊥CE于G,可得FG=CG.在Rt△OGC中,OC=22,∠OCE=45°,∴OG=CG=22×22=2.∴FG=CG=2.在Rt△OGE中,OG=2,∠E=30°,∴EG=OGtanE=233=23.∴EF=EG-FG=23-2.13\n4.解:(1)证明:连接OD,CD.∵BC是直径,∴∠BDC=90°.∵△ABC是等边三角形,∴点D是AB的中点.∵点O是BC的中点,∴OD∥AC.∵DF⊥AC,∴OD⊥DF.∵OD是半径,∴DF是☉O的切线.(2)连接OD,OE,DE.∵同(1)可知点E是AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,△ADE是等边三角形.∵等边三角形ABC的边长为8,∴等边三角形ADE的边长为4.∵DF⊥AC,∴EF=2,DF=23.∴△DEF的面积=12·EF·DF=12×2×23=23.△ADE的面积=△ODE的面积=43.扇形ODE的面积=60·π·42360=8π3.13\n∴阴影部分的面积=△DEF的面积+△ODE的面积-扇形ODE的面积=23+43-83π=63-8π3.5.解:(1)DE与半圆O相切.理由如下:∵CD⊥AB,∴∠D=90°.∵四边形ABCO是平行四边形,∴OC∥AD,∴∠OCE=∠D=90°,∴OC⊥DE.又∵OC是半圆O的半径,∴DE与半圆O相切.(2)①证明:连接AC,∵四边形ABCO是平行四边形,∴AB=OC,BC∥AF,∴∠BCA=∠FAC,∴BA=CF,∴BA=CF,∴CF=OC.②∵CF=OC=OF,∴△OCF为等边三角形,∴∠COF=60°,∴在Rt△OCE中,CE=3OC=123,OE=2OC=24,∴EF=12,lCF=60π·12180=4π,∴C阴影部分=EF+CE+lCF=12+123+4π.6.[解析](1)直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°,∠BFD=∠BCD=90°,∠EDF=90°,进而得出答案;(2)直接利用正方形的性质得出AD的度数是90°,进而得出DG=DF,则BE=DG.证明:(1)∵正方形ABCD内接于☉O,∴∠BED=∠BAD=90°,∠BFD=∠BCD=90°,13\n又∵DF∥BE,∴∠EDF+∠BED=180°,∴∠EDF=90°,∴四边形EBFD是矩形.(2)∵正方形ABCD内接于☉O,∴AD的度数是90°,∴∠AFD=45°,又∵∠GDF=90°,∴∠DGF=∠DFG=45°,∴DG=DF,又∵在矩形EBFD中,BE=DF,∴BE=DG.7.[解析](1)连接OB,由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD=90°,即可证明BD是☉O的切线;(2)过点D作DG⊥BE于G,根据等腰三角形的性质得到EG=12BE=5,由两角相等的三角形相似,得△ACE∽△DGE,利用相似三角形对应角相等得到sin∠EDG=sinA=513,在Rt△EDG中,利用勾股定理求出DG的长,根据三角形相似得到比例式,代入数据即可得到结果.解:(1)BD与☉O相切.理由如下:连接OB,∵OB=OA,DE=DB,∴∠A=∠OBA,∠DEB=∠ABD,又∵CD⊥OA,∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°,∴∠OBA+∠ABD=90°,∴OB⊥BD,∴BD是☉O的切线.(2)如图,过点D作DG⊥BE于G,∵DE=DB,∴EG=12BE=5,∵∠ACE=∠DGE=90°,∠AEC=∠GED,13\n∴△ACE∽△DGE,∴∠GDE=∠A,∵tanA=512,∴sinA=513,∴sin∠EDG=sinA=EGDE=513,∴DE=13,在Rt△EDG中,DG=DE2-EG2=12,∵CD=15,DE=13,∴CE=2,∵△ACE∽△DGE,∴ACDG=CEGE,∴AC=CEGE·DG=245,∴☉O的直径=2OA=4AC=965.8.证明:(1)∵OM=OE,∴∠OME=∠OEM.∵ME平分∠DMN,∴∠OME=∠DME.∴∠OEM=∠DME.∵MD⊥DE,∴∠MDE=90°.∴在△MDE中,∠DEM+∠DME=90°.13\n∴∠DEM+∠OEM=90°.即∠OED=90°,∴OE⊥DE.又∵OE为☉O的半径,∴DE是☉O的切线.(2)如图,连接NE.∵MN为☉O的直径,∴∠MEN=90°.∴∠MEN=∠MDE=90°.又由(1)可知,∠NME=∠DME.∴△DME∽△EMN.∴MDME=MEMN,∴ME2=MD·MN.13
