提分专练(一) 解决数式规律型问题的钥匙|类型1| 数字规律1.[2022·淮阴中学开明分校模拟]若正整数按如图T1-1所示的规律排列,则第8行第5列的数是( )图T1-1A.64B.56C.58D.602.[2022·南宁]观察下列等式:30=1,31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,…,根据其中规律可得30+31+32+…+32022的结果的个位数字是 . 3.一列数a1,a2,a3,…,an满足条件:a1=12,an=11-an-1(n≥2,且n为整数),则a2022= . 4.[2022·娄底]设a1,a2,a3,…,an是一列正整数,其中a1表示第一个数,a2表示第二个数,依此类推,an表示第n个数(n是正整数),已知a1=1,4an=(an+1-1)2-(an-1)2,则a2022= . 5\n|类型2| 图形规律5.[2022·淮安开明中学模拟]观察下列图形,它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点,构成4个小三角形,挖去中间的一个小三角形(如图①);对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法,…,将这种做法继续下去(如图②,图③…),则图⑥中挖去三角形的个数为 . 图T1-26.[2022·衢州]定义:在平面直角坐标系中,一个图形先向右平移a个单位,再绕原点按顺时针方向旋转θ角度,这样的图形运动叫做图形的γ(a,θ)变换.图T1-3如图T1-3,等边三角形ABC的边长为1,点A在第一象限,点B与原点O重合,点C在x轴的正半轴上.△A1B1C1就是△ABC经γ(1,180°)变换后所得的图形.若△ABC经γ(1,180°)变换后得△A1B1C1,△A1B1C1经γ(2,180°)变换后得△A2B2C2,△A2B2C2经γ(3,180°)变换后得△A3B3C3,依此类推…△An-1Bn-1Cn-1经γ(n,180°)变换后得△AnBnCn,则点A1的坐标是 ,点A2022的坐标是 . 5\n|类型3| 数式规律7.观察下列等式:第1层 1+2=3第2层 4+5+6=7+8第3层 9+10+11+12=13+14+15第4层 16+17+18+19+20=21+22+23+24…在上述数字宝塔中,从上往下数,2022在第 层. 8.[2022·无锡惠山区一模]如图T1-4,在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列,每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图像上,从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8,4),阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1,S2,S3,…,Sn,则Sn的值为 .(用含n的代数式表示,n为正整数) 图T1-45\n参考答案1.D2.3 [解析]∵30=1,31=3,32=9,33=27,34=81,∴个位数字4个数一循环,∴(2022+1)÷4=504余3,∵1+3+9=13,∴30+31+32+…+32022的结果的个位数字为3.3.-1 [解析]a1=12,a2=11-12=2,a3=11-2=-1,a4=11-(-1)=12,…,可以发现:这列数中12,2,-1循环出现,2022÷3=673,所以a2022=-1.4.4035 [解析]由题意,4an=(an+1-1)2-(an-1)2,得到(an+1-1)2=(an+1)2,因为an为正整数,所以an+1-1=an+1,即an+1=an+2,所以a2022=a2022+2=a2022+2×2=…=a1+2022×2=4035,故答案为4035.5.3646.-32,-32 -20222,327.44 [解析]第一层:第一个数为12=1,最后一个数为22-1=3,第二层:第一个数为22=4,最后一个数为32-1=8,第三层:第一个数为32=9,最后一个数为42-1=15,5\n∵442=1936,452-1=2024,又∵1936<2022<2024,∴在数字宝塔中,从上往下数,2022在第44层,故答案为44.8.24n-5 [解析]∵函数y=x的图像与x轴的夹角为45°,∴直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形,∵A(8,4),∴第四个正方形的边长为8,第三个正方形的边长为4,第二个正方形的边长为2,第一个正方形的边长为1,…第n个正方形的边长为2n-1,由图可知,S1=12×1×1+12×(1+2)×2-12×(1+2)×2=12,S2=12×4×4+12×(4+8)×8-12×(4+8)×8=8,…Sn为第2n与第(2n-1)个正方形中的阴影部分的面积,第2n个正方形的边长为22n-1,第(2n-1)个正方形的边长为22n-2,∴Sn=12×22n-2×22n-2=24n-5.故答案为:24n-5.5
