提分专练(六) 以平行四边形为背景的中档计算题与证明题|类型1| 四边形综合运用问题1.[2022·酒泉]如图T6-1,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;(2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.图T6-12.阅读下面材料:在数学课上老师请同学们思考如下问题:如图T6-3①,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?小敏在思考问题时,有如下思路:连接AC,图T6-2结合小敏的思路作答:(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由.参考小敏思考问题的方法,解决问题:(2)如图②,在(1)的条件下,若连接AC,BD.13\n①当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形?写出结论并证明.②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形?直接写出结论.图T6-3|类型2| 四边形的折叠问题3.[2022·宁夏]将一张矩形纸片按如图T6-4所示折叠,若∠1=40°,则∠2的度数是( )图T6-4A.40°B.50°C.60°D.70°4.[2022·贵港]如图T6-5,将矩形ABCD折叠,折痕为EF,BC的对应边B'C'与CD交于点M,若∠B'MD=50°,则∠BEF的度数为 . 图T6-55.如图T6-6,矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.(1)求证:△ADE≌△CED;(2)求证:△DEF是等腰三角形.13\n图T6-66.[2022·淮安]如图T6-7,在△ABC中,AD平分∠BAC,将△ABC折叠,使点A与点D重合,展开后折痕分别交AB,AC于点E,F,连接DE,DF.求证:四边形AEDF是菱形.图T6-713\n7.如图T6-8,在矩形纸片ABCD中,已知AB=1,BC=3,点E在边CD上移动,连接AE,将四边形ABCE沿直线AE折叠,得到四边形AB'C'E,点B,C的对应点分别为点B',C'.(1)当B'C'恰好经过点D时(如图①),求线段CE的长;(2)若B'C'分别交边AD,CD于点F,G,且∠DAE=22.5°(如图②),求△DFG的面积;(3)在点E从点C移动到点D的过程中,求点C'运动的路径长. 图T6-813\n8.[2022·威海]如图T6-9,四边形ABCD为一个矩形纸片,AB=3,BC=2,动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止.△ADP以直线AP为轴翻折,点D落到点D1的位置.设DP=x,△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.(1)当x为何值时,直线AD1过点C?(2)当x为何值时,直线AD1过BC的中点E?(3)求出y与x的函数关系式.图T6-9|类型3| 四边形的平移、旋转问题9.问题:如图T6-10①,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,试判断BE,EF,FD之间的数量关系.【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图①证明上述结论.【类比引申】如图②,四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E,F分别在边BC,CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时,仍有EF=BE+FD. 【探究应用】如图③,在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC,CD上分别有景点E,F,且AE⊥AD,DF=40(3-1)米,现要在E,F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的13\n长(结果取整数,参考数据:2≈1.41,3≈1.73).图T6-10参考答案1.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,O是BD的中点,∴AB∥DC,OB=OD,∴∠OBE=∠ODF,又∵∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF(ASA),∴EO=FO,∴四边形BEDF是平行四边形.(2)当四边形BEDF是菱形时,设BE=x则DE=x,AE=6-x,在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2,∴x2=42+(6-x)2,∴x=133,∴S菱形BEDF=BE·AD=133×4=523=12BD·EF,13\n又∵BD=AB2+AD2=62+42=213,∴12×213·EF=523,∴EF=4133.2.解:(1)四边形EFGH还是平行四边形,理由如下:连接AC,∵E,F分别是AB,BC的中点,∴EF∥AC,EF=12AC.∵G,H分别是CD,AD的中点,∴GH∥AC,GH=12AC,∴EF∥GH,EF=GH,∴四边形EFGH是平行四边形.(2)①当AC=BD时,四边形EFGH是菱形,理由如下:由(1)可知四边形EFGH是平行四边形,当AC=BD时,∵FG=12BD,EF=12AC,∴FG=EF,∴四边形EFGH是菱形.②当AC⊥BD时,四边形EFGH是矩形.3.D [解析]如图,易知2∠3=∠1+180°=220°,从而∠3=110°,又由平行线的性质,得∠2+∠3=180°,进而∠2=70°,故选D.4.70° 13\n5.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AB=CD.由折叠的性质可得:BC=CE,AB=AE,∴AD=CE,AE=CD.在△ADE和△CED中,AD=CE,AE=CD,DE=ED,∴△ADE≌△CED(SSS).(2)由(1)得△ADE≌△CED,∴∠DEA=∠EDC,即∠DEF=∠EDF,∴EF=DF,∴△DEF是等腰三角形.6.证明:由折叠可知AE=ED,AF=DF,∴∠1=∠2,∠3=∠4.又∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠3.∴∠1=∠2=∠3=∠4,∴AE∥DF,AF∥ED,∴四边形AEDF为平行四边形,又AE=ED,∴四边形AEDF为菱形.7.解:(1)由折叠得,∠B=∠B'=90°,AB=AB'=1,BC=B'C'=3,C'E=CE,由勾股定理得,B'D=AD2-AB'2=(3)2-12=2,所以DC'=3-2,因为∠ADE=90°,所以∠ADB'+∠EDC'=90°,13\n又因为∠EDC'+∠DEC'=90°,所以∠ADB'=∠DEC',又∠B'=∠C'=90°,所以△AB'D∽△DC'E,所以AB'DC'=B'DC'E,即13-2=2C'E,所以CE=C'E=6-2.(2)∵∠BAD=∠B'=∠D=90°,∠DAE=22.5°,∴∠BAE=90°-22.5°=67.5°,∴∠B'AF=67.5°-22.5°=45°,∴∠B'AF=∠B'FA=45°,∴∠DFG=∠AFB'=∠DGF=45°,∴DF=FG.在Rt△AB'F中,AB'=FB'=1,∴AF=2AB'=2,∴DF=DG=3-2,∴S△DFG=12×(3-2)2=52-6.(3)如图,点C运动的路径长为CC'的长,在Rt△ADC中,∵tan∠DAC=CDAD=33,∴∠DAC=30°,AC=2CD=2.∵∠C'AD=∠DAC=30°,∴∠CAC'=60°,∴CC'的长=60π×2180=23π.8.解:(1)如图①,由题意得,△ADP≌△AD1P.13\n∴AD1=AD=2,PD=PD1=x,∠PDA=∠PD1A=90°.∵直线AD1过点C,∴PD1⊥AC.在Rt△ABC中,∵AB=3,BC=2,∴AC=22+32=13,CD1=13-2.在Rt△PCD1中,PC2=P12+CD12,即(3-x)2=x2+(13-2)2,解得x=213-43.∴当x=213-43时,直线AD1过点C.(2)如图②,连接PE.∵E为BC中点,∴BE=CE=1.在Rt△ABE中,AE=AB2+BE2=10.∵AD1=AD=2,PD=PD1=x,∴D1E=10-2,PC=3-x.在Rt△PD1E和Rt△PCE中,x2+(10-2)2=(3-x)2+12,解得x=210-23.∴当x=210-23时,直线AD1过BC的中点E.(3)如图③,当0≤x≤2时,y=x.13\n如图④,当2<x≤3时,点D1在矩形外部,PD1与AB交于点F.∵AB∥CD,∴∠1=∠2.∵∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴FP=FA.作PG⊥AB,垂足为点G,设FP=FA=a,由题意得,AG=DP=x,FG=x-a.在Rt△PFG中,由勾股定理,得(x-a)2+22=a2,解得a=4+x22x,∴y=12×2×4+x22x=x2+42x.综上所述,当0≤x≤2时,y=x;当2<x≤3时,y=x2+42x.9.[解析]【发现证明】根据旋转的性质可以得到AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°,∠EAG=90°,再根据“SAS”证明△AFG≌△AFE可得EF=GF,由此证得结论.【类比引申】根据上面的特殊情况中∠EAF=12∠BAD,猜想一般情况下也应满足∠EAF=12∠BAD才能得到结论,证明过程与上面类似.【探究应用】连接AF.要运用这个几何模型必须先证明∠EAF=75°.过点A作AH⊥CD于点H,解两个直角三角形——Rt△AHD和Rt△AHF来得以实现.解:【发现证明】证明:由旋转可得AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°,∠EAG=∠BAD=90°.∵四边形ABCD为正方形,∴∠ADC=90°,∴∠ADC+∠ADG=180°,∴G,D,C三点共线.∵∠EAF=45°,∴∠GAF=45°,∴∠GAF=∠FAE.13\n又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFE(SAS),∴GF=EF.∵GF=GD+DF,∴EF=BE+DF.【类比引申】∠EAF=12∠BAD理由如下:如图①,将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADG,使AB与AD重合.由旋转可得AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG.∵∠B+∠ADC=180°,∴∠ADC+∠ADG=180°,∴G,D,C三点共线.∵∠BAE=∠DAG,∴∠BAD=∠EAG.∵∠EAF=12∠BAD,∴∠GAF=∠FAE.又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFE(SAS),∴GF=EF.∵GF=GD+DF,∴EF=BE+DF.故答案为∠EAF=12∠BAD.【探究应用】∵∠BAD=150°,∠DAE=90°,∴∠BAE=60°.又∵∠B=60°,∴△ABE是等边三角形,∴BE=AB=80.如图②,连接AF,过点A作AH⊥CD交CD的延长线于点H.13\n在Rt△AHD中,∠ADH=180°-∠ADC=60°,AD=80,∴∠HAD=30°,HD=12AD=40,AH=AD2-DH2=403.∵DF=40(3-1),∴HF=HD+DF=40+40(3-1)=403,∴在Rt△AHF中,AH=HF,∴∠HAF=45°,∴∠DAF=15°,∴∠EAF=90°-15°=75°,∴∠EAF=12∠BAD.运用上面的结论可得EF=BE+DF=80+40(3-1)=40+403≈109.即这条道路EF的长约为109米.13
