专题四 作图与设计类型一 尺规作图与图案设计1.实践与操作:如图,在△ABC中,AB=3,∠C=30°.(1)尺规作图:作△ABC的外接圆☉O(要求:保留作图痕迹,不写作法);(2)在你按(1)中要求所作的图中,作☉O的切线BF,BF与CA的延长线交于点F,若CF⊥BF,求BC的长.2.实践与操作:我们在学习四边形的相关知识时,认识了平行四边形、矩形、菱形、正方形等一些特殊的四边形.下面我们用尺规作图的方法来体会它们之间的联系.如图,在▱ABCD中,AB=4,BC=6,∠ABC=60°,请完成下列任务:(1)①在图1中作一个菱形,使得点A,B为所作菱形的2个顶点,另外2个顶点在▱ABCD的边上;②在图2中作一个菱形,使点B,D为所作菱形的2个顶点,另外2个顶点在▱ABCD的边上(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)请求出(1)中要求作出的菱形的面积.类型二 网格中的图形变化3.(2022·浙江丽水)如图,在6×6的网格中,每个小正方形的边长为1,点A在格点(小正方形的顶点)上.试在各网格中画出顶点在格点上,面积为6,且符合相应条件的图形.4\n4\n答案精解精析1.解析 (1)如图,☉O为所作.(2)连接OB,记OA交BC于E,如图,∵BF为切线,∴OB⊥BF,∵BF⊥CF,∴OB∥CF,∴∠OBC=∠C=30°,∵∠AOB=2∠C=60°,OA=OB,∴△OAB为等边三角形,∴∠ABC=30°,由(1)知AO⊥BC,∴BE=CE,AB=AC,在Rt△ACE中,AE=12AC=32,CE=3AE=332,∴BC=2CE=33.2.解析 (1)①作图,如图1,四边形ABEF为所求作菱形.②作图,如图2,四边形BEDF为所求作菱形.(2)如图1,作AH⊥BC,在Rt△ABH中,∵AB=4,∠ABC=60°,∴AH=AB·sin60°=23,BH=AB·cos60°=2,∴BE=4.4\n∴S菱形ABEF=BE·AH=4×23=83.如图2,设BD与EF交于点O,过点D作DM⊥BC交BC的延长线于点M,过点A作AH⊥BC于点H.则有DM=AH=AB·sin60°=23,CM=BH=2,BD=BM2+DM2=219.设BF=x,CF=y,则DF=x,可得x+y=6,x2=(y+2)2+(23)2,解得x=194,y=54.∴OF=BF2-OB2=574,∴EF=572,∴S菱形BEDF=12BD·EF=1932.3.解析 如图所示.4
