专题八 函数与几何的动态探究题1.如图,已知抛物线y=ax2-23ax-9a与坐标轴交于A,B,C三点,其中C(0,3),∠BAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线l与射线AC,AB分别交于点M,N.(1)直接写出a的值,点A的坐标及抛物线的对称轴;(2)点P为抛物线的对称轴上一动点,若△PAD为等腰三角形,求出点P的坐标;(3)求证:当直线l绕点D转动时,1AM+1AN为定值,并求出该定值.2.(2022·曲靖)如图:在平面直角坐标系中,直线l:y=13x-43与x轴交于点A,经过点A的抛物线y=ax2-3x+c的对称轴是直线x=32.(1)求抛物线的解析式;(2)平移直线l,使其经过原点O,得到直线m,点P是直线l上任意一点,PB⊥x轴于点B,PC⊥y轴于点C,若点E在线段OB上,点F在线段OC的延长线上,连接PE,PF,且PF=3PE,求证:PE⊥PF;(3)若(2)中的点P坐标为(6,2),点E是x轴上的点,点F是y轴上的点,当PE⊥PF时,抛物线上是否存在点Q,使四边形PEQF是矩形?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.12\n3.如图,抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?4.(2022·长沙)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=mx(m为常数,m>1,x>0)的图象经过点P(m,1)和Q(1,m),直线PQ与x轴、y轴分别交于C、D两点.点M(x,y)是该函数图象上的一个动点,过点M分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A、B.(1)求∠OCD的度数;(2)当m=3,1<x<3时,存在点M使得△OPM∽△OCP,求此时点M的坐标;(3)当m=5时,矩形OAMB与△OPQ重叠部分的面积能否等于4.1?请说明你的理由.12\n5.(2022·成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,以直线x=52为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l:y=kx+m(k>0)交于A(1,1)、B两点,与y轴交于点C(0,5),直线l与y轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设直线l与抛物线的对称轴的交点为F,G是抛物线上位于对称轴右侧的一点,若AFFB=34,且△BCG与△BCD的面积相等,求点G的坐标;(3)若在x轴上有且只有一点P,使∠APB=90°,求k的值.12\n答案精解精析1.解析 (1)a=-13,点A的坐标为(-3,0),对称轴为直线x=3.将点C(0,3)代入解析式得-9a=3,∴a=-13,∴y=-13x2+233x+3.令-13x2+233x+3=0,整理得x2-23x-9=0,解得x1=33,x2=-3,∴点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(33,0),对称轴为直线x=3(2)由(1)得OA=3,又OC=3,∴tan∠CAO=COAO=3,∴∠CAO=60°,∴∠DAO=30°,∴DO=1,AD=2,∴D(0,1).设P(3,m),因为△PAD为等腰三角形,则①当PD=AD时,∵PD2=(3)2+(m-1)2,∴(3)2+(m-1)2=22,∴m=0或m=2(舍去),∴P(3,0).②当PA=PD时,PA2=PD2,∴(3+3)2+m2=(3)2+(m-1)2,得m=-4,∴P(3,-4).③当AD=AP时,∵APmin=23>AD,∴此种情况不存在.综上,当P为(3,0)或(3,-4)时,△PAD为等腰三角形.(3)证明:设M,N所在直线的函数解析式为yMN=k1x+b1,A,C所在直线的函数解析式为yAC=k2x+3.∵D(0,1)在直线MN上,A(-3,0)在直线AC上,∴yMN=k1x+1,yAC=3x+3,∴N-1k1,0,AN=-1k1+3=3k1-1k1.∵M是直线MN与直线AC的交点,∴(k1-3)xM=2,xM=2k1-3,12\n∴AM=23+2k1-3=2(3k1-1)k1-3,∴1AM+1AN=k1-32(3k1-1)+k13k1-1=k1-32(3k1-1)+2k12(3k1-1)=3(3k1-1)2(3k1-1)=32.∴1AM+1AN为定值,该定值为32.2.解析 (1)由题意知y=x2-3x-4.(2)∵直线l:y=13x-43平移得到直线m,∴直线m的解析式为y=13x.如图,又∵P在直线m上,∴可设P(3a,a),∴PC=3a,PB=a,∵cos∠CPF=PCPF,cos∠BPE=PBPE,∴cos∠CPF=3a3PE=aPE,cos∠BPE=aPE,∴cos∠CPF=cos∠BPE,∴∠CPF=∠BPE,又∵∠BPE+∠CPE=90°,∴∠CPF+∠CPE=90°,∴PE⊥PF.(3)∵P(6,2),∴B(6,0),可设E(a,0),情形①当E在B的左边,即a<6时,BE=6-a,∵△PBE∽△PCF,∴PBPC=BECF,12\n∴26=6-aCF,∴CF=18-3a,由题意知,当E在B的左侧时,F一定在C的上方,∴F(0,20-3a),∴P(6,2),E(a,0),F(0,20-3a),可设Q(xQ,yQ),当四边形PEQF是矩形时,∠FPE=90°,∴只需四边形PEQF是平行四边形(四边形顺序固定,一种图形).∵四边形PEQF为矩形,∴xE+xF=xQ+xP,yE+yF=yQ+yP⇒a+0=xQ+6,0+20-3a=yQ+2⇒xQ=a-6,yQ=18-3a,∴Q(a-6,18-3a).又∵Q在抛物线y=x2-3x-4上,∴代入抛物线可得a1=4,a2=8,∵a<6,∴a=4,∴Q(-2,6).情形②,当E在B的右侧,即a>6时,BE=a-6,∵△PBE∽△PCF,∴PBPC=BECF,∴26=a-6CF,∴CF=3a-18,由题意知,当E在B的右侧时,F一定在C的下方,∴F(0,20-3a),∴P(6,2),E(a,0),F(0,20-3a),可设Q(xQ,yQ),当四边形PECF是矩形时,∠FPE=90°,∴只需四边形PEQF是平行四边形(四边形顺序固定,一种图形),∵四边形PEQF为矩形,12\n∴xE+xF=xQ+xP,yE+yF=yQ+yP⇒a+0=xQ+6,0+20-3a=yQ+2⇒xQ=a-6,yQ=18-3a,∴Q(a-6,18-3a),又∵Q在抛物线y=x2-3x-4上,代入抛物线可得a1=4,a2=8.∵a>6,∴a=8,∴Q(2,-6).综上,满足条件的Q的坐标为(-2,6),(2,-6).3.解析 (1)∵当t=2时,AD=4.∴此时D点坐标为(2,4),设y=ax(x-10),把(2,4)代入抛物线方程,得4=2a(2-10),解得a=-14,∴y=-14x(x-10)=-14x2+52x.(2)由抛物线的对称性,得OA=BE=t,∴AB=10-2t,当x=t时,y=-14t2+52t,∴AD=-14t2+52t,∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=210-2t-14t2+52t=-12t2+t+20=-12(t-1)2+412,∵-12<0,∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,为412.4.解析 (1)设直线PQ的解析式为y=kx+b(k≠0).依题意可得mk+b=1,k+b=m,解得k=-1,b=m+1.故直线PQ的解析式为y=-x+m+1,∴C(m+1,0),D(0,m+1),∴△OCD是等腰直角三角形,∴∠OCD=45°.(2)解法一:当m=3,1<x<3时,P(3,1),12\nC(4,0),Mx,3x,根据题图可得,OP=10,OM=x2+9x2,PM=(x-3)2+3x-12,OC=4,CP=2.若△OPM∽△OCP,则有OPOC=OMOP=PMCP.由104=x2+9x210化简,得x4-254x2+9=0,解得x2=4或x2=94,∵1<x<3,∴x=2或x=32.当x=2时,PMCP=(2-3)2+32-122=104=OPOC.当x=32时,PMCP=32-32+332-122=264≠OPOC,所以舍去x=32.故点M的坐标为2,32.解法二:当m=3,1<x<3时,P(3,1),Q(1,3),C(4,0),Mx,3x,则OP=10,OC=4,易得直线OP的解析式为y=13x.若△OPM∽△OCP,则有S△OPMS△OCP=OPOC2=58.∵S△OCP=2,∴S△OPM=54.又S△OPM=12×3·3x-x3,∴323x-x3=54,解得x1=2,x2=-92(不合题意,舍去).当x=2时,有OPOC=OMOP=PMCP成立.故点M的坐标为2,32.(3)不能.理由如下:由题意可得,m=5时,Mx,5x,设四边形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积为S.易求直线OP的解析式为y=15x,直线OQ的解12\n析式为y=5x.分以下三种情况讨论:①当0<x≤1时,如图,S=12x5x-x5=125x2≤125,此时不可能有S=4.1;②当x≥5时,S=12·5x·25x-1x=60x2≤125,此时也不可能有S=4.1;③当1<x<5时,解法一:S=5-12x·x5-12·5x·1x=5-x210-52x2=4-x10-102x2≤4.此时同样不可能有S=4.1.解法二:S=5-12x·x5-12·5x·1x=5-x210-52x2,令S=5-x210-52x2=4.1,化简得,x4-9x2+25=0.令x2=t,得t2-9t+25=0.由于Δ=81-100=-19<0,因此该方程无解.所以此时同样不可能有S=4.1.综上所述,矩形OAMB与△OPQ重叠部分的面积不可能等于4.1.5.解析 (1)由题可得-b2a=52,c=5,a+b+c=1,解得a=1,b=-5,c=5,∴抛物线的函数表达式为y=x2-5x+5.(2)作AM⊥x轴,BN⊥x轴,垂足分别为M,N,12\n设对称轴与x轴交于Q点,则AFFB=MQQN=34.∵MQ=OQ-OM=32,∴QN=2,∴B92,114,∴k+m=1,92k+m=114,解得k=12,m=12,∴直线l的解析式为y=12x+12,则D0,12.易知直线BC的解析式为y=-12x+5.∵S△BCD=S△BCG,∴①DG1∥BC(G1在BC下方),直线DG1的解析式为y=-12x+12,∴-12x+12=x2-5x+5,即2x2-9x+9=0,∴x1=32,x2=3,∵x>52,∴x=3,∴G1(3,-1).②G在BC上方时,直线G2G3与DG1关于直线BC对称.∴直线G2G3的解析式为y=-12x+192,∴-12x+192=x2-5x+5,∴2x2-9x-9=0.12\n∴x1=9+3174,x2=9-3174,∵x>52,∴x=9+3174,∴G29+3174,67-3178.综上所述,点G的坐标为(3,-1)或9+3174,67-3178.(3)由题意可知,k+m=1.∴m=1-k,∴y=kx+1-k,∴kx+1-k=x2-5x+5,即x2-(k+5)x+k+4=0,∴x1=1,x2=k+4,∴B(k+4,k2+3k+1).取AB的中点O',∵P点有且只有一个,∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点,即该圆与x轴相切,且P为切点,连接O'P,AP,BP.∴O'P⊥x轴,∴P为MN的中点,∴Pk+52,0.作AM⊥x轴,BN⊥x轴,垂足分别为M,N,∵△AMP∽△PNB,∴AMPM=PNBN,12\n∴AM·BN=PN·PM,∴1×(k2+3k+1)=k+4-k+52k+52-1,即3k2+6k-5=0,Δ=96>0,∵k>0,∴k=-6+466=-1+263.12
