专题七 几何图形的探究猜想与证明类型一 一般的猜想探究题1.如图,在△ABC中,BC=6,BC边上的高为4,在△ABC的内部作一个矩形DEFG,使EF在BC边上,另外两个顶点分别在AB、AC边上,则对角线EG长的最小值为 . 2.已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB≥AC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),且DCBE=ACBC=m,连接AE,过点D作DM⊥AE,垂足为点M,延长DM交AB于点F.(1)如图1,过点E作EH⊥AB于点H,连接DH.①求证:四边形DHEC是平行四边形;②若m=22,求证:AE=DF;(2)如图2,若m=35,求DFAE的值.类型二 图形旋转型3.如图,在由边长为1的小正方形组成的10×10网格中,已知点O,A,B均为网格线的交点.9\n(1)①在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为A1,B1).画出线段A1B1;②将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1.画出线段A2B1;(2)以A、A1、B1、A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 . 4.在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3).以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F.(1)如图1,当点D落在BC边上时,求点D的坐标;(2)如图2,当点D落在线段BE上时,AD与BC交于点H.①求证:△ADB≌△AOB;②求点H的坐标;(3)记K为矩形AOBC对角线的交点,S为△KDE的面积,求S的取值范围(直接写出结果即可).类型三 图形折叠型5.如图,在☉O中,点C在优弧AB上,将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若☉O的半9\n径为5,AB=4,则BC的长是( )A.23B.32C.532D.6526.如图,将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使点A落在△ABC外的A'处,折痕为DE.如果∠A=α,∠CEA'=β,∠BDA'=γ,那么下列式子中正确的是( )A.γ=2α+βB.γ=α+2βC.γ=α+βD.γ=180°-α-β7.课程学习:正方形折纸中的数学动手操作:如图1,四边形ABCD是一张正方形纸片,先将正方形ABCD对折,使BC与AD重合,折痕为EF,把这个正方形展平,然后沿直线CG折叠,使B点落在EF上,对应点为B'.数学思考:(1)求∠CB'F的度数;(2)如图2,在图1的基础上,连接AB',试判断∠B'AE与∠GCB'的大小关系,并说明理由.解决问题:(3)如图3,按以下步骤进行操作:第一步:先将正方形ABCD对折,使BC与AD重合,折痕为EF,把这个正方形展平,然后继续对折,使AB与DC重合,折痕为MN,再把这个正方形展平,设EF和MN相交于点O;第二步:沿直线CG折叠,使B点落在EF上,对应点为B',再沿直线AH折叠,使D点落在EF上,对应点为D';9\n第三步:设CG、AH分别与MN相交于点P、Q,连接B'P、PD'、D'Q、QB'.试判断四边形B'PD'Q的形状,并证明你的结论.9\n答案精解精析1.答案 1213132.解析 (1)①证明:∵EH⊥AB,∠BAC=90°,∴EH∥CA,∴△BHE∽△BAC,∴BEBC=HEAC,∵DCBE=ACBC,∴BEBC=DCAC,∴HEAC=DCAC,∴HE=DC,∵EH∥DC,∴四边形DHEC是平行四边形.②∵ACBC=22,∠BAC=90°,∴AC=AB,∵DCBE=22,HE=DC,∴HEBE=22,∵∠BHE=90°,∴BH=HE,∵HE=DC,∴BH=CD,∴AH=AD,∵DM⊥AE,EH⊥AB,∴∠EHA=∠AMF=90°,∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°,∴∠HEA=∠AFM,∵∠EHA=∠FAD=90°,9\n∴△HEA≌△AFD,∴AE=DF.(2)如图,过点E作EG⊥AB于G,∵CA⊥AB,∴EG∥CA,∴△EGB∽△CAB,∴EGCA=BEBC,∴EGBE=CABC=35,∵CDBE=35,∴EG=CD,设EG=CD=3x,AC=3y,∴BE=5x,BC=5y,∴BG=4x,AB=4y,∵∠EGA=∠AMF=90°,∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM,∴∠AFM=∠AEG,∵∠FAD=∠EGA=90°,∴△FAD∽△EGA,∴DFAE=ADAG=3y-3x4y-4x=34.3.解析 (1)①如图所示.②如图所示.(2)20.9\n4.解析 (1)∵点A(5,0),点B(0,3),∴OA=5,OB=3.∵四边形AOBC是矩形,∴AC=OB=3,BC=OA=5,∠OBC=∠C=90°.∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的,∴AD=AO=5.在Rt△ADC中,有AD2=AC2+DC2,∴DC=AD2-AC2=52-32=4.∴BD=BC-DC=1.∴点D的坐标为(1,3).(2)①由四边形ADEF是矩形,得∠ADE=90°.又点D在线段BE上,得∠ADB=90°.由(1)知,AD=AO,又AB=AB,∠AOB=90°,∴Rt△ADB≌Rt△AOB.②由△ADB≌△AOB,得∠BAD=∠BAO.又在矩形AOBC中,OA∥BC,∴∠CBA=∠OAB.∴∠BAD=∠CBA.∴BH=AH.设BH=t,则AH=t,HC=BC-BH=5-t.在Rt△AHC中,有AH2=AC2+HC2,即t2=32+(5-t)2,解得t=175.∴BH=175.∴点H的坐标为175,3.(3)30-3344≤S≤30+3344.5.B 6.A 7.解析 (1)如图1,由折叠可知,∠EFC=90°,CF=12CD,9\n∵四边形ABCD是正方形,∴CD=CB,∴CF=12BC,∵CB'=CB,∴CF=12CB',∴在Rt△B'FC中,sin∠CB'F=CFCB'=12,∴∠CB'F=30°.(2)如图2,连接BB'交CG于点K,由折叠可知,EF垂直平分AB.∴B'A=B'B,∠B'AE=∠B'BE,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,∴∠B'BE+∠KBC=90°,由折叠知,∠BKC=90°,∴∠KBC+∠GCB=90°,∴∠B'BE=∠GCB,又由折叠知,∠GCB=∠GCB',∴∠B'AE=∠GCB'.(3)四边形B'PD'Q为正方形.证明:如图3,连接AB',9\n由(2)可知∠B'AE=∠GCB',由折叠可知,∠GCB'=∠PCN,∴∠B'AE=∠PCN,由折叠知∠AEB'=∠CNP=90°,AE=12AB,CN=12BC,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∴AE=CN,在△AEB'和△CNP中,∠B'AE=∠PCN,AE=CN,∠AEB'=∠CNP,∴△AEB'≌△CNP(ASA),∴EB'=NP,同理可得,EB'=MQ,由对称性可知,EB'=FD',∴EB'=NP=FD'=MQ,由两次折叠可得OE=ON=OF=OM,∴OB'=OP=OD'=OQ,∴四边形B'PD'Q为矩形,由折叠知,MN⊥EF于点O,∴PQ⊥B'D'于点O,∴四边形B'PD'Q为正方形.9
