专题六 数学与生活类型一 方程与不等式模型1.2022年是乡村振兴战略实施的起始年,“互联网+农业”让电商正不断成为精准扶贫和农村发展的巨大推动力,为农产品打开了巨大的市场.已知电商小李2022年投入网店经费5万元,经过连续两年的加大投入,到2022年投入经费7.2万元.(1)求电商小李这两年经费投入的年平均增长率;(2)假设2022年的投入经费仍以相同的百分率增长,其中用于购进A种和B种农产品的经费不超过总经费的10%,两种农产品共购进400件,A种和B种农产品的进价分别为每件35元和15元,则最多可以购进A种农产品多少件?2.“双11”期间,李老师计划到某商场购买甲、乙两种型号的节能灯共60个.已知甲型号节能灯每个定价为8元,乙型号节能灯每个定价为10元.由于“双11”特惠,该商场给予李老师优惠:甲型号节能灯按原价打九折,乙型号节能灯按原价打八五折.(1)若李老师买这两种型号的节能灯共付款484元,则他两种型号的节能灯各买了多少个?(2)若李老师只带了480元钱,则最多能购买乙种型号节能灯多少个?12\n3.如图,城市规划部门计划在某个休闲广场上的一块长方形空地上铺设草坪,长方形的长与宽分别是20m,12m,其中有一横、两竖的三条通道,横、竖道路的宽度比为3∶2. (1)若三条通道所占面积是长方形空地面积的25,求横、竖通道的宽度;(2)为了减小施工的影响,实际铺设草坪时(通道不铺设草坪),园林工作人员每天的工作效率比原计划增加了20%,结果提前2天完成任务,求园林工作人员原计划每天铺设草坪的面积.类型二 函数模型4.(2022·临沂)甲、乙两人分别从A,B两地同时出发,匀速相向而行.甲的速度大于乙的速度,甲到达B地后,乙继续前行.设出发xh后,两人相距ykm,图中折线表示从两人出发至乙到达A地的过程中y与x之间的函数关系.根据图中信息,求:(1)点Q的坐标,并说明它的实际意义;(2)甲、乙两人的速度.12\n5.(2022·杭州)已知一艘轮船上装有100吨货物,轮船到达目的地后开始卸货.设平均卸货速度为v(单位:吨/时),卸完这批货物所需的时间为t(单位:时).(1)求v关于t的函数表达式;(2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物,那么平均每小时至少要卸货多少吨?6.(2022·盘锦)鹏鹏童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销,该店决定降价销售,经市场调查反应:每降价1元,每星期可多卖10件.已知该款童装每件成本为30元.设该款童装每件售价为x元,每星期的销售量为y件.(1)求y与x之间的函数关系式(不求自变量的取值范围);(2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大?最大利润是多少?(3)当每件童装售价定为多少元时,该店一星期可获得3910元的利润?12\n类型三 与相似有关的几何模型7.如图(1)是一种广场三联漫步机,其侧面示意图如图(2)所示,其中AB=AC=120cm,BC=80cm,AD=30cm,∠DAC=90°.求点D到地面的高度是多少.8.春节期间的一天晚上,小玲和小林去看灯展,小林的身高为EF,当小林站在灯杆AB和灯杆CD之间的F点处时,小玲发现了奇怪的一幕:小林在灯A的照射下,影子恰好落在灯杆CD的底部D点处,小林在灯C的照射下,影子恰好落在灯杆AB的底部B点处.如图,已知AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=2m,CD=6m,求小林的身高EF.12\n9.周末,小凯和同学带着皮尺,去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度.如图,由于无法直接测量,小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF,通过在直线EF上选点观测发现当他位于N点时,他的视线从M点通过D点,正好落在遮阳篷A点处;当他位于N'点时,视线从M'点通过D点正好落在遮阳篷B点处,这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽度.已知AB∥CD∥EF,点C在AG上,AG、DE、MN、M'N'均垂直于EF,MN=M'N',露台的宽CD=GE.实际测得,GE=5米,EN=15.5米,NN'=6.2米.请根据以上信息,求出遮阳篷的宽AB是多少米.类型四 与三角函数有关的几何模型10.如图是某款篮球架的示意图,已知底座BC=0.60米,底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°,支架AF的长为2.50米,篮板顶端F点到篮筐D的距离FD=1.35米,篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°,则篮筐D到地面的距离为(精确到0.01米)(参考数据:cos75°≈0.2588,sin75°≈0.9659,tan75°≈3.732,3≈1.732)( )12\nA.3.04米B.3.05米C.3.06米D.4.40米11.如图1是手机放在手机支架上,其侧面示意图如图2所示,AB,CO是长度不变的活动片,一端A固定在OA上,另一端B可在OC上变动位置,若将AB变到AB'的位置,则OC旋转一定角度到达OC'的位置.已知OA=8cm,AB⊥OC,∠BOA=60°,sin∠B'AO=910,则点B'到OA的距离为( )A.9310cmB.27310cmC.935cmD.1835cm12.市场上一款护眼灯(如图1)采用圆形面光源技术,忽略其旋转支架等宽度,得到它的侧面简化结构图(如图2),底座AB⊥桌面AK,旋转支架BC可绕点B旋转,转接头CD∥桌面AK,圆形面光源在旋转支架所在平面内可绕点D旋转,其直径DE为20cm,若旋转支架旋转至BC'处,圆形面光源DE旋转至D'E'处,此时圆形面光源中心M到桌面的距离MN=40cm,已知AB=20cm,∠C'BC=37°,∠E'D'F=24°,则旋转支架BC的长为(结果精确到1cm,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin24°≈0.40,cos24°≈0.91,tan24°≈0.45)( )A.18cmB.20cmC.25cmD.27cm类型五 概率与统计模型13.(2022·江苏淮安)一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球,球面上分别标有数字1、-2、3,搅匀后先从中任意摸出一个小球(不放回),记下数字作为点A的横坐标,再从12\n余下的两个小球中任意摸出一个小球,记下数字作为点A的纵坐标.(1)用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果;(2)求点A落在第四象限的概率.14.(2022·山东临沂)某地某月1-20日中午12时的气温(单位:℃)如下:22 31 25 15 18 23 21 20 27 1720 12 18 21 21 16 20 24 26 19(1)将下列频数分布表补充完整:气温分组划记频数12≤x<17317≤x<2222≤x<2727≤x<322(2)补全频数分布直方图;(3)根据频数分布表或频数分布直方图,分析数据的分布情况.12\n答案精解精析1.解析 (1)设电商小李这两年经费投入的年平均增长率为x,则根据题意可得5(1+x)2=7.2,解得x1=0.2,x2=-2.2(舍去).答:电商小李这两年经费投入的年平均增长率为20%.(2)设购进A种农产品m件,则购进B种农产品(400-m)件.2022年投入经费为7.2×(1+20%)=8.64(万元),8.64万元=8.64×104元.根据题意可得35m+15(400-m)≤8.64×104×10%,解得m≤132.答:最多可以购进A种农产品132件.2.解析 (1)设购买了甲种型号节能灯x个,乙种型号节能灯y个,根据题意,得x+y=60,8×90%·x+10×85%·y=484,解得x=20,y=40.答:购买了甲种型号节能灯20个,乙种型号节能灯40个.(2)设购买乙种型号节能灯m个,根据题意,得8×90%·(60-m)+10×85%m≤480,解得m≤48013.∵m为整数,∴m的最大值为36.答:最多能购买乙种型号节能灯36个.3.解析 (1)设竖通道的宽度为2xm,则横通道的宽度为3xm,根据题意,列出方程得(20-4x)·(12-3x)=12×20×35.整理得x2-9x+8=0,解得x1=1,x2=8(与题意不符,舍去),∴3x=3,2x=2,∴横、竖通道的宽度分别为3m,2m.(2)设园林工作人员原计划每天铺设草坪的面积为ym2,草坪的面积是20×12×35=144m2,根据题意,得144x-144(1+20%)x=2,解得x=12,经检验,x=12是原方程的解.12\n所以园林工作人员原计划每天铺设草坪的面积为12m2.4.解析 (1)设PQ解析式为y=kx+b,把已知点P(0,10),14,152代入,得b=10,152=14k+b,解得k=-10,b=10.∴y=-10x+10,当y=0时,x=1,∴点Q的坐标为(1,0),点Q的意义:甲、乙两人分别从A,B两地同时出发后,经过1个小时两人相遇.(2)设甲的速度为akm/h,乙的速度为bkm/h. 由已知第53小时时,甲到达B地,则乙走1小时路程,甲走53-1=23小时,∴a+b=10,b=23a,∴a=6,b=4,∴甲、乙的速度分别为6km/h、4km/h.5.解析 (1)根据题意,得vt=100(t>0),所以v=100t(t>0).(2)因为v=100t(0<t≤5),且100>0,所以当t>0时,v随着t的增大而减小,当0<t≤5时,v≥1005=20,所以平均每小时至少要卸货20吨.6.解析 (1)y=100+10(60-x)=-10x+700.(2)设每星期利润为W元,W=(x-30)(-10x+700)=-10(x-50)2+4000.∴x=50时,W取得最大值为4000.∴每件售价定为50元时,每星期的销售利润最大,最大利润为4000元.(3)由题意,得-10(x-50)2+4000=3910,解得x=53或47,∴当每件童装售价定为53元或47元时,该店一星期可获得3910元的利润.12\n7.解析 过A作AF⊥BC,垂足为F,过点D作DH⊥AF,垂足为H.∵AB=AC且AF⊥BC,垂足为F,∴BF=FC=12BC=40cm.根据勾股定理,得AF=AB2-BF2=1202-402=802(cm),∵∠DHA=∠DAC=∠AFC=90°,∴∠DAH+∠FAC=90°,∠C+∠FAC=90°,∴∠DAH=∠C,∴△DAH∽△ACF,∴AHFC=ADAC,∴AH40=30120,∴AH=10cm,∴HF=(10+802)cm.答:D到地面的高度为(10+802)cm.8.解析 ∵AB,CD,EF都与BD垂直,∴AB∥CD∥EF,∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,∴EFAB=FDBD①,EFCD=BFBD②,①+②,得EFAB+EFCD=FD+BFBD=BDBD=1,∵AB=2m,CD=6m,∴EF2+EF6=1,∴EF=1.5m.答:小林的身高EF为1.5m.9.解析 延长MM'交DE于H,如图,则HM=EN=15.5米,CD=GE=5米,MM'=NN'=6.2米,∵CD∥HM,12\n∴∠ADC=∠DMH,∴Rt△ACD∽Rt△DHM,∴ADDM=CDHM=515.5,∵AB∥MM',∴△ABD∽△MM'D,∴ABMM'=ADDM=515.5,即AB6.2=515.5,解得AB=2(米). 答:遮阳篷的宽AB是2米.10.B 11.D 12.D 13.解析 (1)列表:1-231(1,-2)(1,3)-2(-2,1)(-2,3)3(3,1)(3,-2)(2)由表可知,共有6种等可能结果,其中点A落在第四象限的有2种结果,所以点A落在第四象限的概率为26=13.14.解析 (1)补全频数分布表如下:气温分组划记频数12≤x<17317≤x<22正正1022≤x<27正527≤x<322(2)补全频数分布直方图如下:12\n(3)由频数分布直方图知,17≤x<22时天数最多,有10天.12
