50分类讨论思想一、选择题1.（2022·上海市青浦区一模，6，4）在中，，且两边长分别为4和5，若以点为圆心，3为半径作⊙，以点为圆心，2为半径作⊙，则⊙和⊙位置关系是（）（A）只有外切一种情况；（B）只有外离一种情况；（C）有相交或外切两种情况；（D）有外离或外切两种情况．【答案】D.2.（2022·上海市黄浦区一模，1，4）数轴上点A到原点的距离为2.5，则点A所表示的数是（）.（A）2.5（B）（C）2.5或（D）0【答案】C.3.（2022·浙江省宁波市一模，8，3）8.已知与相切，它们的半径分别为3和4，则圆心距的长是（）(A)=7 (B)＝1 (C)＝1或7 (D)=3或7【答案】C.4.（2022·山东省宁阳市一模，8，4）如图，是的直径，弦，是弦的中点，．若动点以的速度从点出发沿着方向运动，设运动时间为，连结，当是直角三角形时，（s）的值为（D）A．B．1C．或1D．或1或【答案】D.75\n5.（2022·安徽省淮北市一模，5，4）若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．B．C．或D．或【答案】D.6.（2022·安徽省淮北市一模，9，4）一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)。被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为()(A)72°（B）108°或144°（C）144°（D）72°或144°【答案】D.7.（2022·省东营市一模，5，3）如图，一个由若干个相同的小正方体堆积成的几何体，它的主视图、左视图和俯视图都是田字形，则小正方体的个数是()A．6、7或8B．6C．7D．8【答案】A.8.（2022·北京市平谷区一模，8，4）8．如图，是的直径，弦，是弦的中点，．若动点以的速度从点出发沿着方向运动，设运动时间为，连结，当是直角三角形时，（s）的值为（）A．B．1C．或1D．或1或【答案】D.9.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】10．（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××75\n【答案】11.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】12.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】13.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】14.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】15.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】16.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】17.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】18.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】19.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】20．（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】二、填空题1.（2022·上海市闵行区一模，18，4）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6．如果将△ABC在直线AB上平行移动2个单位后得△A′B′C′，那么△CA′B的面积为．75\n【答案】6或12．2.（2022·上海市闸北区一模，18，4）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以点O为圆心，以OE为半径画弧EF，P是上的一个动点，连结OP，并延长OP交线BC于点K，过点P作⊙O的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G.若，则BK＝ ．【答案】或．3.（2022·江西省一模，13，3）由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数可能是．【答案】4或54.（2022·江西省六模，14，3）已知横断面直径为2米的圆形下水管道的水面宽AB＝1.2米,求下水管道中水的最大深度为 【答案】0.2米或1.8米【易错提示】．本题看似容易但很易忽略图2的情形，要分两种情况：75\n(1)如答图1，DB=AD=AB=0.6米.OB=1米，OD===0.8米DE=OE－OD=1－0.8=0.2米(2)如答图②，BD=AD=AB=0.6米，OB=1米，OD===0.8米DE=OE+OD=1+0.8=1.8米.故综上情况，水的深度为0.2米或1.8米.5.（2022·湖北省黄冈市张榜中学一模，9，3）在半径为5的⊙O中，有两平行弦AB．CD，且AB＝6，CD＝8，则弦AC的长为__________．【答案】或或6.（2022·山东省宁阳市一模，8，分值）8．如图，是的直径，弦，是弦的中点，．若动点以的速度从点出发沿着方向运动，设运动时间为，连结，当是直角三角形时，（s）的值为（D）A．B．1C．或1D．或1或【答案】D.7.（2022·江苏省靖江市一模，16，3）Rt△ABC中,∠BAC=90o,AB=AC=2,以AC为一边,在△ABC外部作等腰直角三角形ACD,则线段BD的长为___________.【答案】4或或8.（2022·江苏省阜宁市一模，16，3）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是2cm、3cm，当它们相切时，圆心距O1O2=．【答案】1cm或5cm75\n9.（2022·江西省兴国市二模，13，3）如果等腰三角形的一个角等于，则它的顶角等于度。【答案】80或2010．（2022·北京市燕山区一模，10，4）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是2cm、3cm，当它们相切时，圆心距O1O2=．【答案】1cm或5cm11.（2022河南省四模，9，3）数轴上点A表示的数是-4，以3半径的⊙A与以2为半径的⊙B外切，则圆心B在数轴上表示的数是.【答案】1或—912.（2022·浙江省宁波市七中一模，16，3）两圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是.【答案】7或313.（2022·湖北省枣阳市一模，17，3）17.如图，△ABC中，AB=9，AC=6，E是AC上一点，AE=4，F是AB上一点，当AF=，由A、E、F三点组成的三角形与△ABC相似.【答案】6或14.（2022·I江苏省苏州市10模，14，3）若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC＝_______．【答案】30°或150°15.（2022·河南省四模，9，3）数轴上点A表示的数是-4，以3半径的⊙A与以2为半径的⊙B外切，则圆心B在数轴上表示的数是.【答案】1或—975\n16.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】17.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】18.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】19.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】20．（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】三、解答题1.（2022·上海市徐汇区学习能力诊断，24，12）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．（1）求直线AD和抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且△ABQ与△ADF相似，直接写出点Q点的坐标．【答案】（1）∵△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．，E（2，6），∴C（0，4），D（0，2），设直线AD的解析式为，由题意得，解得，直线AD的解析式为75\n∴A（，0）.抛物线经过A、C、E三点，得解得.所求抛物线的解析式为：．(2)当△ABQ与△CED相似时，由（1）有B（4，0），F（，0）①若△ABQ∽△AFD，，即，，Q（，4）②若△ABQ∽△ADF，，即，，Q（）2.（2022·上海市徐汇区学习能力诊断，25，14）在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5．E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交直线DE于点F．（1）如图，当点F在线段DE上时，设BE，DF，试建立关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当以CD直径的⊙O与⊙E与相切时，求的值；（3）联接AF、BF，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求的值。【答案】(1)过点作于点．可得，；75\n在Rt△DEG中，，即∴(负值舍去)（）（2）设的中点，联结，过点作于点．；⊙与⊙外切时，，在中，，∴化简并解得⊙与⊙内切时，在中，，∴，化简并解得综上所述，当⊙与⊙相切时，或．（3）①时，由BE=EF，AE=AE，有△ABE和△AEF全等，∴，即在中，=当点F在线段DE上时，由=3，解得；当点F在线段DE延长线上时，由=3，解得；1分②时，过点F作于点Q，有AQ=BQ，且AD∥BC∥FQ∴，=，（负值舍去）；综上所述，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，2、．3.（2022·上海市长宁区二模，23，12）如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形OABC，CB//OA，且点A在x轴正半轴上.已知C(2，4)，BC=4.75\n(1)求过O、C、B三点的抛物线解析式，并写出顶点坐标和对称轴；(2)经过O、C、B三点的抛物线上是否存在P点(与原点O不重合)，使得P点到两坐标轴的距离相等.如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)∵C(2,4),BC=4且BC//OA∴B(6,4)设抛物线为将O(0,0),C(2,4),B(6,4)代入得解得∴∴顶点对称轴：直线(2)据题意，设或将代入抛物线得解得(舍)将代入抛物线得解得(舍)∴符合条件的点和4.（2022·上海市长宁区二模，25，14）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于C点，顶点为D.过点C、D的直线与x轴交于E点，以OE为直径画⊙O1，交直线CD于P、E两点.(1)求E点的坐标；(2)联结PO1、PA.求证:～；75\n(3)①以点O2(0，m)为圆心画⊙O2，使得⊙O2与⊙O1相切，当⊙O2经过点C时，求实数m的值；②在①的情形下，试在坐标轴上找一点O3，以O3为圆心画⊙O3，使得⊙O3与⊙O1、⊙O2同时相切.直接写出满足条件的点O3的坐标(不需写出计算过程).【答案】(1)∴设直线CD:将C、D代入得解得∴CD直线解析式:(2)令y=0得解得∴又∵、∴以OE为直径的圆心、半径.设由得解得（舍）∴，∴又75\n∴，∴～(3)①据题意，显然点在点C下方当⊙O2与⊙O1外切时代入得解得（舍）当⊙O2与⊙O1内切时代入得解得（舍）∴②5.（2022·上海市卢湾区一模，25，14）已知：如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，BC⊥AB，AB=8，BC=6．动点E、F分别在边BC和AD上，且AF=2EC．线段EF与AC相交于点G，过点G作GH∥AD，交CD于点H，射线EH交AD的延长线于点M，交于点，设EC=x．（1）求证：；（2）当时，用含的代数式表达的长；（3）在（2）题条件下，若以为半径的与以为半径的相切，求的值.【答案】75\n解：（1）∵BC∥AD，∴，，∵∥，，∴，∴.（2）∵，AB=8，BC=6，∴，∵BC⊥AB，，∴，∵EC=x，∴，∴，∵AF=2EC，由（1）知，∴，∴，∵∥，∴，∴，∴.（3）∵，设，∴，，，当与相外切时，；，解，得，∵，即，由，得，与已知不符，∴（舍）；当与相内切时，，①，无解；②，解，得，，∵，，∴.综上所述，满足条件的的值为.6.（2022·上海市杨浦区一模，25，14）已知半径为6的⊙O1与半径为4的⊙O2相交于点P、Q，且∠O1PO2=120°，点A为⊙O1上异于点P、Q的动点，直线AP与⊙O2交于点B，直线O1A与直线O2B交于点M。（1）如图1，求∠AMB的度数；（2）当点A在⊙O1上运动时，是否存在∠AMB75\n的度数不同于（1）中结论的情况？若存在，请在图2中画出一种该情况的示意图，并求出∠AMB的度数；若不存在，请在图2中再画出一个符合题意的图形，并证明∠AMB的度数同于（1）中结论；（1）当点A在⊙O1上运动时，若△APO1与△BPO2相似，求线段AB的长。【答案】（1）∵A、P都在⊙O1上，∴∠A=∠APO1，同理，∠B=∠BPO2，∵AB是直线，∠O1PO2=120°，∴∠APO1+∠O1PO2+∠BPO2=180°APBO1O2M∴∠APO1+∠BPO2=60°，即∠A+∠B=60°，∴∠O1MO2=180°－60°=120°(2)存在，75\n如图所示，∵A、P都在⊙O1上，∴∠A=∠APO1，同理，∠PBO2=∠BPO2，∴∠APO1+∠BPO2=120°∵∠M+∠A=∠PBM=180°－∠BPO2∴∠M=180°－∠BPO2－∠A=180°－∠BPO2－∠APO1=180°－120°=60°ABO1O2PQ∵△APO1与△BPO2相似，且△APO1与△BPO2都是等腰三角形，∴底角∠APO1=∠BPO2，情况一：当P在A、B之间时，∠APO1=∠BPO2=30°，作O1H⊥AB，O2D⊥AB，∴AP=2HP，BP=2PD∵O1P=6，O,2P=4，∴HP=，DP=∴AB=情况二：当P不在A、B之间时，∠APO1=∠BPO2=60°，∴PA=O1A=6，PB=O2B=4，∴AB=27.（2022·江西省三模，23，9）如图，等腰梯形OABC，OC=2，AB=6，∠AOC=120°，以O为圆心，OC为半径作⊙O，交OA于点D，动点P以每秒1个单位的速度从点A出发向点O移动，过点P作PE∥AB，交BC于点E。设P点运动的时间为t（秒）。（1）求OA的长；（2）当t为何值时，PE与⊙O相切；（3）直接写出PE与⊙O有两个公共点时t的范围，并计算，当PE与⊙O相切时，四边形PECO与⊙O重叠部分面积。【答案】（1）由等腰梯形OABC，OC=2，AB=6，∠AOC=120°过O作梯形的高，得出AO=4（2）当PE与⊙O相切时，O到PE的距离为2，得出OP=,AP=4—75\n所以，当t=4—秒时⊙O与PE相切。（3）4—＜t≤4，当PE与⊙O相切时，四边形PECO与⊙O重叠部分面积，即扇形OCD的面积=8.（2022·江西省六模，25，10）操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点，如图3-1-13①②③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，由①②③研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图①加以证明。（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长；若不能，请说明理由）。（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图④加以证明。75\n【答案】（1）连接PC，因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，所以CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACP=45°，即∠ACP=∠B=45°，又因为∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，所以∠DPC=∠BPE，即△PCD≌△PBE，所以PD=PE。（2）共有四种情况：①当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB，②当CE=2-时，此时PB=BE；③当CE=1时，此时PE=BE；④当E在CB的延长线上，且CE=2+时，此时PB=EB。（3）MD：ME=1：3，证明如下：过点M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分别是F、H，所以MH∥AC，MF∥BC，即四边形CFMH是平行四边形，因为∠C=90°，所以□CFMH是矩形，即∠FMH=90°，MF=CH，因为，而HB=MH，所以因为∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，所以∠DMF=∠EMH，因为∠MFD=∠EMH=90°，所以△MDF∽△MEH，即9.（2022·i河北省三河市一模，23，10）以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B.（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动.若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点(2,0)，此时PQ恰好是⊙O的切线，连接OQ.求∠QOP的大小；75\nAPBOxy图二（备用图）（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点(2,0)处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被截得的弦长.【答案】（1）解：如图一，连结AQ．由题意可知：OQ=OA=1.∵OP=2,∴A为OP的中点.∵PQ与相切于点Q,∴为直角三角形.∴.即ΔOAQ为等边三角形.，∴∠QOP=60°．（2）解：由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q点落在与y轴负半轴的交点处（如图二）.设直线PQ与的另外一个交点为D，过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2,，∴QP=.∵,∴OC=.∵OC⊥QD，OQ=1，OC=,75\n∴QC=.，∴QD=．10．（2022·江苏省扬州市一模，28，12）如图所示,在平面直角坐标系xoy中,矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且18a+c=0.(1)求抛物线的解析式.(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.①移动开始后第t秒时,设△PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围.②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标,如果不存在,请说明理由.【答案】（1）由题意知点A（0，-12），所以，又18a+c=0，∴,∵AB∥CD,且AB=6,∴抛物线的对称轴是.∴.所以抛物线的解析式为.（2）①，.②当时，S取最大值为9。这时点P的坐标（3，-12），点Q坐标（6，-6）.75\n若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：（Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，-18），将（3，-18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，－18）；（Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，-6），将（3，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件.（Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，-6），将（9，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件.综上所述，点R坐标为（3，-18）.11.（2022·湖北省黄冈市红安县一模，24，14）如图二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得线段AB长为6.(1)利用二次函数的对称性直接写出点A、B的坐标为：A(,)、B(,)；(2)求二次函数的解析式；(3)该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；(4)在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，∴A(1,0)、B(7,0);(2)设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k，∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，)∴y=a(x-4)2+k………………①又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，∴A(1，0)，B(7，0)75\n∴0=9a+k………………②，由①②解得a=，k=，∴二次函数的解析式为：y=(x-4)2－或y=x－x+(3)解法一：∵点A、B关于直线x=4对称，∴PA=PB，∴PA+PD=PB+PD≥DB，∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值，∴DB与对称轴的交点即为所求点P，设直线x=4与x轴交于点M，∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，∴△BPM∽△BDO，∴，∴，∴点P的坐标为(4，)解法二：利用待定系数法求一次函数解析式，即直线DB为y=－+(4)由⑴知点C(4，)，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o，∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，)，如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，)②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，)，经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)．75\n12.（2022·浙江省舟山市一模，24，12）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且满足6a-3b=2.（1）求抛物线的解析式.（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设S=PQ2(cm2)①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围②当S=时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)据题意知:A(0,－2),B(2,－2)，则解得∴抛物线的解析式为:(2)①由图象知:PB=2－2t,BQ=t,∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2+t2,即S=5t2－8t+4(0≤t≤1)②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.∵S=5t2－8t+4(0≤t≤1),∴当S=时,5t2－8t+4=,得20t2－32t+11=0,解得t=，t=（不合题意，舍去）此时点P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）若R点存在，分情况讨论:【A】假设R在BQ的右边,这时QRPB,则，R的横坐标为3,R的纵坐标为—即R(3,－)，代入,左右两边相等，75\n∴这时存在R(3,－)满足题意.【B】假设R在BQ的左边,这时PRQB,则：R的横坐标为1,纵坐标为－即(1,－)代入,左右两边不相等,R不在抛物线上.【C】假设R在PB的下方,这时PRQB,则：R(1，—)代入,左右不相等,∴R不在抛物线上.综上所述,存点一点R(3,－)满足题意.13.（2022甘肃省酒泉市一模，23，11）如图1，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止。设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y。求y与x之间的函数关系式。【答案】23、在Rt△PMN中，∵PM＝PN，∠P＝90°，∴∠PMN＝∠PNM＝45°，延长AD分别交PM、PN于点G、H，过点G作GF⊥MN于F，过点H作HT⊥MN于T，∵DC＝2cm，∴MF＝GF＝2cm，TN＝HT＝2cm，∵MN＝8cm，∴MT＝6cm，因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况：（1）当C点由M点运动到F点的过程中（，如图①75\n所示，设CD与PM交于点E，则重叠部分图形是Rt△MCE，且MC＝EC＝x，∴（）（2）当C点由F点运动到T点的过程中（），如图②所示，重叠部分是直角梯形MCDG，∵MC＝x，MF＝2，∴FC＝DG＝x－2，且DC＝2，∴（）；（3）当C点由T点运动到N点的过程中（），如图③所示，设CD与PN交于点Q，则重叠部分是五边形MCQHG，∵MC＝x，∴CN＝CQ＝8－x，且DC＝2，∴（）。14.（2022·河南省一模，23，11）如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．为二次函数图象上的一个动点，过点P作轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．⑴求出二次函数的解析式；⑵当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值．⑶当时，探索是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由．75\n【答案】⑴设，A点坐标代入得，函数为．⑵，，当时，．⑶当时，仅有OC=PC，此时，，解得，；当时，，OC=，．①当OC=PC时，．解得，；②当OC=OP时，，解得m1=5，m2=3（舍去），；③当PC=OP时，，解得，．15.（2022·湖南省长沙市一模，26，10）26．如图3—12，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边A0与AB重合，得到△ABD．(1)求点B的坐标；(2)当点P运动到点(，0)时，求此时点D的坐标；(3)在点P运动的过程中是否存在某个位置，使△OPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．75\n【答案】(1)点B的坐标是(2，2)(2)如图1，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．∴BG=BD·cos60°=×=．DG=BD·sin60°=×=．∴OH=EG=,DH=号．∴点D的坐标为(，)．(3)假设存在点P，在它的运动过程中，△OPD的面积等于．设点P的坐标为(t，0)，下面分三种情况讨论：①当t>0时，如图2，BD=OP=t，DG=t，∴DH=2+t．∵△OPD的面积等于，∴t(2+t)=，解得t1=,t2=(舍去)．∴点P1的坐标为(，0)．②当t=-<t≦0时，如图3，BD=OP=-t,BG=-t75\n∴DH=GF=2-(-t)=2+t∵△OPD的面积等于．∴-t(2+t)=，解得t1=-，t2=-．∴点P2的坐标为(一，0)，点P3的坐标为(-，0)③当t≤-时，BD=0P=-t，DG=-t，∴DH=-t-2．∵OPD的面积等于，∴t(2+t)=解得t1=(舍去)，t2=．∴点P4的坐标为(，0)．综上所述，点P的坐标分别为P1(，0)，P2(一，0，P3(-，0)，P4(，0)16.（2022·浙江省宁波市一模，24，8）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，，．（1）求∠AOC的度数；（2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；（3）如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当75\n时，求动点M所经过的弧长．【答案】（1）∵在△ACO中，，OCOA∴△ACO是等边三角形∴∠AOC60°（2）∵CP与⊙O相切，OC是半径．∴CP⊥OC∴∠P90°-∠AOC30°∴PO2CO8.（3）如图2，①作点关于直径的对称点，连结，OM1．易得，∴∴当点运动到时，，此时点经过的弧长为．②过点作∥交⊙O于点，连结，，易得．∴∴或∴当点运动到时，，此时点经过的弧长为．75\n③过点作∥交⊙O于点，连结，，易得∴，∴或∴当点运动到时，，此时点经过的弧长为．④当点运动到时，M与C重合，，此时点经过的弧长为或．17.（2022·浙江省宁波市一模，26，12）26.设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d．（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系公共点的个数d＞a＋r图①d＝a＋ra－r＜d＜a＋rd＝a－rd＜a－r所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有 个；（2）如图②，当r＝a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系图②公共点的个数d＞a＋rd＝a＋ra≤d＜a＋rd＜a所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 个；图③（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r＝a；75\n【答案】图①（1）d、a、r之间关系公共点的个数d＞a＋r0d＝a＋r1a－r＜d＜a＋r2d＝a－r1d＜a－r0所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个；图②（2）d、a、r之间关系公共点的个数d＞a＋r0d＝a＋r1a≤d＜a＋r2d＜a4所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个；（3）如图所示，连结OC．则OE＝OC＝r，OF＝EF－OE＝2a－r．在Rt△OCF中，由勾股定理得：BCDFEOF2＋FC2＝OC2即（2a－r）2＋a2＝r24a2－4ar＋r2＋a2＝r25a2＝4ar5a＝4r75\n（4）①当a＜r＜时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；②当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；③当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；④当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；⑤当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个．18.（2022·河北省石家庄市一模，26，12）如图，直角梯形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，AD=10，CD=8，BC=16，E为BC上一点，且CE=6，过点E做EF⊥AD于点F，交对角线BD于点M。动点P从点D出发，沿折线DAB方向以2个单位长度/秒的速度向终点B匀速运动，运动时间为t秒。（1）求DE的长；（2）设△PMA的面积为S，求S与t的函数关系式（写出t的取值范围）；（3）当t为何值时，△PMA为等腰三角形。【答案】(1)∵∠C=90°，CD=8，CE=6，∴DE=10；(2)①当点P在DA上时，即0≤t≤5时，ABECDFMMPH∵四边形ABCD为直角梯形，∴AD∥BC，∠C=90°。又∵EF⊥AD，∴∠C=∠FEB=90°，∴tan∠DBC=，∴ME=BEtan∠DBC=5，∴MF=3，∴S△APM=×AP×MF=×3×(10-2t)=-3t+15(0≤t≤5)；当点P在AB上时，即5≤t≤10时，∵AD∥BC，且AD=BE，∴四边形ABED为平行四边形，75\n又∵AD=DE=10，∴四边形ABED为菱形，∴AB=BE，∠ABD=∠DBE，BM=BM，∴△ABM≌△EBM；∴∠BAM=∠BEM=90°，AM=ME=5，∴S△APM=×AP×MA=×5×(2t-10)=5t-25(5≤t≤10)；(3)（ⅰ）当点P在DA上时，①若MA=MP，∵MF⊥AD，∴AP=2AF，又∵AM=5，FM=3，∴AF=4，∴AP=2AF=8，8=10-2t，∴t=1；若AM=AP，∴AP=5,5=10-2t，∴t=，若PM=PA，过点P作PH⊥AM于点H,∵∠PHA=∠MFA=90°,∠PAH=∠MAF,∴△AHP∽△AFM，∴AH=,∴AM=2AH，，∴t=；（ⅱ）当点P在AB上时，∵∠BAM=90°，∴只有AM=AP，∴2t-10=5，∴t=；综上所述，当t=1或t=或t=或t=时，△PMA为等腰三角形．19.（2022·山东省泰安市一模，29，10）如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，交AC于点D．75\n(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∵抛物线的顶点为Q（2，－1）∴设将C（0，3）代入上式，得∴，即（2）分两种情况：①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)令=0,得解之得,∵点A在点B的右边,∴B(1,0),A(3,0)，∴P1(1,0)75\n②解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)∵OA=OC,∠AOC=,∴∠OAD2=当∠D2AP2=时,∠OAP2=,∴AO平分∠D2AP2又∵P2D2∥轴,∴P2D2⊥AO,∴P2、D2关于轴对称.设直线AC的函数关系式为将A(3,0),C(0,3)代入上式得,∴∴∵D2在上,P2在上,∴设D2(,),P2(,)∴()+()=0,∴,(舍)∴当=2时,==－1∴P2的坐标为P2(2,－1)(即为抛物线顶点)∴P点坐标为P1(1,0),P2(2,－1)(3)解:由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形当点P的坐标为P2(2,－1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形∵P(2,－1),∴可令F(,1)∴75\n解之得:,∴F点有两点,即F1(,1),F2(,1)…10分20．（2022·江苏省徐州市一模，28，10）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发,在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为秒．（1）用含的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OC⊥AB于C,过C作CD⊥轴于D,问：为何值时,以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时与直线CD的位置关系．【答案】⑴作PH⊥OB于H﹙如图1﹚，∵OB＝6，OA＝，∴∠OAB＝30°∵PB＝t，∠BPH＝30°，∴BH＝，HP＝∴OH＝，∴P﹙，﹚75\n图1图2图3⑵当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图2﹚，∵OB＝，∠BOC＝30°∴BC＝∴PC由，得﹙s﹚,此时⊙P与直线CD相割．当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图3﹚，PC由，得﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割．综上，当或时，⊙P与直线OC相切，⊙P与直线CD相割．∴四边形CODP的面积==21．（2022·浙江省一模，22，10）我们知道：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,说明斜边上的中线可把直角三角形分成两个等腰三角形(图①)。又比如,顶角为36°的等腰三角形也能分成两个等腰三角形（图②）。（1）试试看，你能把图③、图④、图⑤中的三角形分成两个等腰三角形吗？75\n（2）△ABC中，有一内角为36°，过某一顶点的直线将△ABC分成两个等腰三角形，则满足上述条件的不同形状（相似的认为是同一形状）的△ABC最多有5种，除了图②、图③中的两种，还有三种，请你画出来。【答案】22．（2022·重庆市綦江县一模，24，10）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．⑴当x为何值时，△APD是等腰三角形？⑵若设BE=y，求y关于x的函数关系式；⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C？若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．ABCDPQEABCD（备用图2）ABCD（备用图1）【答案】过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，∴DH=BC=4，HB=CD=6∴AH=2，AD=2·∵AP=x，∴PH=x－2，情况①：当AP=AD时，即x=2·情况②：当AD=PD时，则AH=PH∴2=x－2，解得x=475\n情况③：当AP=PD时，则Rt△DPH中，x2=42+(x－2)2，解得x=5··∵2<x<8，∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形···⑵易证：△DPH∽△PEB∴，∴整理得：y=(x－2)(8－x)=－x2+x－4··⑶若存在，则此时BE=BC=4，即y=－x2+x－4=4，整理得：x2－10x+32=0∵△=(－10)2－4×32<0，∴原方程无解，∴不存在点P，使得PQ经过点C···当BC满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过点C23．（2022·重庆市一中一模，26，12）如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8,8），点P在边OC上，点M在边AB上.把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处.动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动.（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由.【答案】（1）P（0,5），M（8,1）（2）10当0≤t≤5时，S＝RNFNINSNEN20当5≤t≤8时，如图，设EF与PM交点为R，作RI⊥y轴，MS⊥y轴∵EO＝FO，∴RI＝FI75\n又∵∴RI＝2PI∴FI＝2PI，∴FP＝PI，PI＝2PF∴PF＝t-5,RI=2(t-5)∴S=S△OEF-S△PRF==（3）10如图作PM的中垂线交正方形的边为点H1,H2,则PH1=MH1,PH2=MH2，∴点H1,H2即为所求点设OH1=x，∵PH1=MH1,∴x2+52=(8-x)2+12，，∴H1()同理，设CH2=y，∵PH2=MH2,∴32+y2=(8-y)2+72，∴H2()20当PM＝PH3时，∵∴∴，∴30当PM＝MH4时，∵∴∴，∴综上，一共存在四个点，H1(),H2(),,…9分（4）∵∠PQN＝900∴∠CQP＝∠BQN＝900又∵∠CQP+∠CPQ＝900∴∠CPQ＝∠BQN，又∵∠C＝∠B＝900，∴△CPQ∽△BQN75\n设CQ＝m,则在Rt△CPQ中∵m2+CP2=(8-CP)2，∴∴又∵△CPQ的周长＝CP+PQ+CQ＝8+m∴△BQN的周长＝＝16∴△BQN的周长不发生变化，其值为16.24．（2022·山东省潍坊市一模，22，14）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，OB＝OC，tan∠ACO＝．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；(3)如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．CxxyyAOBDAOBCDG图1图2【答案】（1）由OC=OB=3，可知点C的坐标是，连接AC，在Rt△AOC中， ∵tan∠ACO＝75\n∴OA=OC×tan∠ACO=，故A设这个二次函数的表达式为将C代入得，解得，∴这个二次函数的表达式为。（2）①当直线MN在x轴上方时，设所求圆的半径为R（R>0），设M在N的左侧，∵所求圆的圆心在抛物线的对称轴上，∴N（R+1，R）代入中得，解得。②当直线MN在x轴下方时，设所求圆的半径为，由①可知N，代入抛物线方程可得。（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，把G（2，y）代入抛物线的解析式得G由A可得直线AG的方程为设，则，，当时，△APG的面积最大此时P点的坐标为，△APG的面积最大值为。25．（2022·河北省石家庄市42中一模，25，12）如图，⊙O的半径为6cm，射线PM与⊙O相切于点C，且PC=16cm．（1）请你作出图中线段PC的垂直平分线EF，垂足为Q，并求出QO的长；（2）在（1）的基础上画出射线QO，分别交⊙O于点A、B，将直线EF沿射线QM方75\n向以5cm/s的速度平移（平移过程中直线EF始终保持与PM垂直），设平移时间为t．当t为何值时，直线EF与⊙O相切？（3）直接写出t为何值时，直线EF与⊙O无公共点？t为何值时，·直线EF与⊙O有两个公共点？·CPMO【答案】（1）１０；（2）或； （３）当０＜ｔ＜或ｔ＞时，直线EF与⊙O无公共点， 当＜ｔ＜时，直线EF与⊙O有两个公共点．26．（2022·上海市金山区二模，24，12）已知抛物线过点,,三点(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为，求正切值；(3)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标.【答案】（1）由题意得：解得：75\n∴（2）∴∴，，∵∴∴（3）∵直线的解析式是：直线的解析式是：直线的解析式是：当是平行四边形的一条对角线时：直线的解析式是：直线的解析式是：，∴当是平行四边形的一条对角线时：同理可得∴当是平行四边形的一条对角线时：∴∴或或27．（2022·上海市长宁区二模，25，14）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于C点，顶点为D.过点C、D的直线与x轴交于E点，以OE为直径画⊙O1，交直线CD于P、E两点.(1)求E点的坐标；(2)联结PO1、PA.求证:～；(3)①以点O2(0，m)为圆心画⊙O2，使得⊙O2与⊙O1相切，当⊙O2经过点C时，求实数m的值；75\n②在①的情形下，试在坐标轴上找一点O3，以O3为圆心画⊙O3，使得⊙O3与⊙O1、⊙O2同时相切.直接写出满足条件的点O3的坐标(不需写出计算过程).【答案】(1)∴设直线CD:将C、D代入得解得∴CD直线解析式:(2)令y=0得解得∴又∵、∴以OE为直径的圆心、半径.设由得解得（舍）∴∴又∴∴～75\n(3)①据题意，显然点在点C下方当⊙O2与⊙O1外切时代入得解得（舍）当⊙O2与⊙O1内切时代入得解得（舍）∴28．（2022·山东省一模，24，12）如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒.（1）当点P在线段AO上运动时.①请用含x的代数式表示OP的长度；②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由.75\n【答案】（1）①由题意得∠BAO=30°，AC⊥BD∵AB=2∴OB=OD=1，OA=OC=∴OP=②过点E作EH⊥BD，则EH为△COD的中位线∴∵DQ=x∴BQ=2－x∴∴（2）能成为梯形，分三种情况：当PQ∥BE时，∠PQO=∠DBE=30°∴即∴x=此时PB不平行QE，∴x=时，四边形PBEQ为梯形.75\n当PE∥BQ时，P为OC中点∴AP=，即∴此时，BQ=2－x=≠PE，∴x=时，四边形PEQB为梯形.当EQ∥BP时，△QEH∽△BPO∴∴∴x=1（x=0舍去）此时，BQ不平行于PE，∴x=1时，四边形PEQB为梯形.综上所述，当x=或或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形.29．（2022·内蒙古乌海市二中一模，23，11）已知一次函数和反比例函数的图象交于点A(1，1).⑴求两个函数的解析式；⑵若点B是轴上一点，且△AOB是直角三角形，求B点的坐标.【答案】75\n⑴∵点A（1，1）在反比例函数的图象上,∴k=2，∴反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：．∵点A（1，1）在一次函数的图象上，∴b=－1，∴一次函数的解析式为.⑵∵点A（1，1），∴∠AOB=45°．∵△AOB是直角三角形，∴点B只能在x轴正半轴上．①当∠OBA=90°时，∵∠AOB1=45°，∴BA=OB，∴B（1，0）.②当∠OAB=90°时，∠AOB=∠ABO=45°,∴B是OB中点,∴B（2，0）．综上所述B点坐标为（1，0）或（2，0）．30．（2022·江西省高安市四中一模，25，10）如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图12）.探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由.探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系.75\n【答案】（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6∴AH=AC=×6=4又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB∴=，即=，∴HG=∴S△AHG=AH·HG=×4×=（2）①能为正方形∵HH′∥CD，HC∥H′D，∴四边形CDH′H为平行四边形又∠C=90°，∴四边形CDH′H为矩形又CH=AC－AH=6－4=2∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥AB∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合.当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积.过F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC===∴ME=FM=×2=，HF=DM=DE－ME=4－=∴直角梯形DEFH′的面积为（4+）×2=75\n∴y=（Ⅱ）∵当4＜t≤5时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积－矩形CDH′H的面积.而S边形CBGH=S△ABC－S△AHG=×8×6－=S矩形CDH′H=2t∴y=－2t（Ⅲ）当5＜t≤8时，如图，设H′D交AB于P.BD=8－t又=tan∠ABC=∴PD=DB=（8－t）∴重叠部分的面积y=S△PDB=PD·DB=·（8－t）（8－t）=（8－t）2=t2－6t+24∴重叠部分面积y与t的函数关系式：y=（0≤t≤4）－2t（4＜t≤5）t2－6t+24（5＜t≤8）31．（2022·江苏省宜兴市外国语学校一模，28，11）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC、BC的长为方程x2－14x＋a＝0的两根，且AC－BC＝2，D为AB的中点．（1）求a的值．（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q75\n每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒……若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∵AC、BC的长为方程x2－14x＋a＝0的两根，∴AC＋BC＝14.又∵AC－BC＝2，∴AC＝8，BC＝6，……2分∴a＝8×6＝48.（2）∵∠ACB＝90°，∴AB＝AC2＋BC2＝10.又∵D为AB的中点，∴CD＝12AB＝5.①当0＜t≤1时，S＝125t2－845t＋24；当1＜t≤52时，S＝－125t＋12；当52＜t≤3时，S＝－125t＋12；当3＜t＜4时，S＝125t2－1085t＋48.②在整个运动过程中，只可能∠PQC＝90°，∴∠PQB＝90°.当P在AD上时，若∠PQC＝90°，则求得t＝52秒，当P在DC上时，若∠PQC＝90°，则求得t＝52秒或103秒∴当t＝52秒或103秒时，△PCQ为直角三角形.32．（2022·江苏省如皋市一模，27，12）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，动正方形DEFG的顶点D，E分别在边AB，AC上的运动（D不与A，B重合），且边DE一直保持与边BC平行．（1）求△ABC的面积；（2）当边FG与边BC重合时，求正方形DEFG的边长；（3）设AD=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．75\n【答案】（1）过点A作AH⊥BC，垂足为H．（如图1）∵AB=AC=5，∴BH=CH=3．∴AH=4．∴S△ABC=×BC×AH=12．（2）设此时正方形的边长为a，（如图2）∵△ADE∽△ABC，∴，即．解得a=．故正方形DEFG的边长为．（3）如图2，∵△ADE∽△ABC，∴，即AD=2．这样自变量x的取值范围为2个部分，即0＜x≤2和2＜x＜5．75\n当0＜x≤2时，如图1，△ADE∽△ABC，∴，即DE=x．∴y=DE2==x2；当2＜x＜5时，如图3，△BDP∽△BAH，∴，即．∴DP=(5－x)．∴y=DE×DP=x×(5－x)=x－x2．故所求函数关系式为y=33．（2022·辽宁省大连市一模，25，12）25．如图16，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，4）、（m，0），且AO＝AB．（1）求m的值；（2）设P是边OB上的一个动点，过点P的直线l平分△AOB的周长，交△AOB的另一边于点Q．试判断由l及△AOB的两边围成的三角形的面积s是否存在最大（或最小）值，若存在，求出其值，说明此时所围成的三角形的形状，并求直线l的解析式；若不存在，说明理由．【答案】（1）作AD⊥x轴，则交点D的坐标为（3，0）∵AO=AB∴OB=2OD=6，即m=6．75\n（2）在Rt△AOD中，AO=设点P的坐标为（x，0），则PB=6－x①当点Q在AB上时,PB＋QB=(AO＋AB＋OB)=8，即QB=x＋2作QE⊥x轴，交点为E∵∠ABD=∠QBE，∠ADB=∠QEB∴Rt△ABD∽Rt△QBE∵，即∴S=．当时，最大值=，此时PB=QB=4，即△QPB是等腰三角形∴点P、Q的坐标分别为（2,0），（）设l的解析式为∴ ∴ 即l:y=2x－4．②当Q在AO上时，由对称性可知，当x=4时，最大值=，此时OP=OQ=4，△QOP是等腰三角形．75\n此时，点P、Q的坐标分别为（4,0）、设l的解析式为∴ ∴ 即l:y=－2x+8．34．（2022·江苏省阜宁市一模，29，12）29．已知二次函数的图象与轴交于点(，0)、点，与轴交于点．（1）求点坐标；（2）点从点出发以每秒1个单位的速度沿线段向点运动，到达点后停止运动，过点作交于点，将四边形沿翻折，得到四边形，设点的运动时间为．①当为何值时，点恰好落在二次函数图象的对称轴上；②设四边形落在第一象限内的图形面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值．【答案】（1）将A(，0)代入解得75\n∴函数的解析式为令，解得：∴B(，0)（2）①由解析式可得点二次函数图象的对称轴方程为△中∵∴∴，过点A′作轴于点，则∴解得则，∴②分两种情况：ⅰ）当时，四边形PQA′C′落在第一象限内的图形为等腰三角形QA’N．当时，有最大值Sⅱ）当时，设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形为四边形MOQA′．75\n当时，有最大值综上：当时，四边形PQA’C’落在第一象限内的图形面积有最大值是．35．（2022·浙江省义乌市一模，24，12）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．(1) 当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；(2) 如果抛物线的对称轴经过点C，请你探究：①当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；②设，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ∵ 点O是AB的中点， ∴ ．设点B的横坐标是x(x>0)，则，75\n解得 ，(舍去)．∴ 点B的横坐标是．(2) ① 当，，时，得 (＊) ．以下分两种情况讨论．OyxCBA(甲)11-1-1情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，．由此，可求得点C的坐标为(，)，点A的坐标为(，)，∵ A，B两点关于原点对称，∴ 点B的坐标为(，)．将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． 75\nOyxCBA(乙)11-1-1情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．经计算，A，B两点都不在这条抛物线上．② 存在．m的值是1或-1． (，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)36．（2022·江西省兴国市一模，24，9）如图13，对称轴为的抛物线与轴相交于点、.(1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标；(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l.点P是l上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为，当0＜S≤18时，求的取值范围；(3)在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使△OP为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.75\n【答案】（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称,∴点B坐标为（6，0）.将点B坐标代入得：36+12=0,∴=.∴抛物线解析式为当=3时，,∴顶点A坐标为（3，3）（说明：可用对称轴为,求值,用顶点式求顶点A坐标.）（2）设直线AB解析式为y=kx+b.∵A(3,3),B(6,0),∴解得,∴.∵直线∥AB且过点O,∴直线解析式为.∵点是上一动点且横坐标为,∴点坐标为（）75\n当在第四象限时（t＞0），=12×6×3+×6×=9+3.∵0＜S≤18,∴0＜9+3≤18,∴－3＜≤3.又＞0,∴0＜≤3.5分当在第二象限时（＜0）,作PM⊥轴于M，设对称轴与轴交点为N.则=－3+9.∵0＜S≤18,∴0＜－3+9≤18,∴－3≤＜3.又＜0,∴－3≤＜0.6分∴t的取值范围是－3≤＜0或0＜≤3.(3)存在，点坐标为（3，3）或（6，0）或（－3，－9）37．（2022·江西省兴国市一模，25，10）如图，过A（8，0）、B（0，75\n）两点的直线与直线交于点C．平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）．（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；（2）求S与t的函数关系式；（3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）C（4，）的取值范围是：0≤≤4（2）∵D点的坐标是（，），E的坐标是（，）∴DE=－=∴等边△DEF的DE边上的高为：∴当点F在BO边上时：=，∴=3当0≤<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：－75\nS===当3≤≤4时，重叠部分为等边三角形S==（3）存在，P（，0）说明：∵FO≥，FP≥，OP≤4∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,若FO=FP时，=2（12－3），=，∴P（，0）38．（2022·江苏省泰州市一模，28，12）如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝2t.则＝＝，又∵AO＝10，AB＝20，∴＝＝.∴＝，又∠CAB＝30°，∴△APQ∽△ABO，∴∠AQP＝90°，即PQ⊥AC.75\n当5﹤t≤10时，同理可由△PCQ∽△BCO可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC（考虑一种情况即可）∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC.（2）①如图，在RtAPM中，易知AM＝，又AQ＝2t，QM＝20－4t.由AQ＋QM＝AM得2t＋20－4t＝解得t＝，∴当t＝时，点P、M、N在一直线上②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.设l交AC于H.如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°.∴MH＝2NH，得20－4t－＝2×解得t＝2，（图1）（图2）如图2，当点N在CD上时，若PM⊥MN，则∠HMP＝30°.∴MH＝2PH，同理可得t＝.故当t＝2或时，存在以PN为一直角边的直角三角形.39．（2022·江苏省南京市玄武区一模，28，9）如图，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形ABCD和三角形EGF两张纸片，测得AB=5，AD=4，EF=．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．(1)请你求出FG的长度．75\n(2)在(1)的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为．y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值．(3)在(2)的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围(直接写出结果)．【答案】(1)∵在Rt△EGF中，EG=AB=5，EF=,∴FG=(2)当0≤x≤4时，；当4＜x≤10时，y=－2x+24，当y=10时，x=7或．(3)当0≤x≤4时，，顶点为(10，25)，∴当0≤x≤4时，0≤y≤16．当4＜x≤10时，y=－2x+24，4≤y＜16．∴当4≤y<16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积y可能相等．当0≤y＜4或y=16时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．40．（2022·江苏省南京市栖霞区一模，27，9）如图，已知O为原点，点A的坐标为（5.5,4），⊙A的半径为2.过A作直线l平行于x轴，交y轴于点B，点P在直线l上运动.(1)设点P的横坐标为12,试判断直线OP与⊙A的位置关系,并说明理由;(2)设点P的横坐标为a，请你求出当直线OP与⊙A相切时a的值(参考数据:，)75\n【答案】（1）连结OP，过点A作AC⊥OP，垂足为点C，则AP＝PB－AB＝12－5.5＝6.5，OB＝4，∵∠ACP＝∠OBP＝90°,∠APC＝∠OPB∴△APC∽△OPB,，∴直线OP与⊙A相离（2）设直线OP与⊙A相切与点H分两种情况①当点P在线段AB上（即当点P在点A的左侧时），如图（1）所示BP＝a，AP＝5.5－a，∵∠APH＝∠OPB,∠AHP＝∠OBP＝90°∴△APH∽△OPB得OP＝11－2a在Rt△OBP中，（11－2a）2＝a2+42解得a1＝3，a2＝(舍去)②当点P在点A的右侧时，如图（2）所示BP＝a，AP＝a－5.5，同理得△APH∽△OPB得OP＝2a－11………7分，在Rt△OBP中，（2a－11）2＝a2+42解得a1＝3(舍去)，a2＝75\n∴当直线OP与⊙A相切时，的值为3或41．（2022·江苏省南京市栖霞区一模，28，10）如图，抛物线的对称轴为过点（3，0）且与y轴平行的直线，抛物线与轴相交于点B、O.(1)求抛物线所对应的函数关系式，并求出顶点A的坐标；(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l，点P是l上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为，当0＜S≤18时，求的取值范围；(3)在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边，请你直接写出点Q的坐标（不必写过程）.【答案】（1）∵点B与O（0，0）关于抛物线的对称轴对称,∴点B坐标为（6，0）.将点B坐标代入得：36+12=0,∴=∴抛物线的函数关系式为.当=3时，,∴顶点A坐标为（3，3）（2）设直线AB的函数关系式为y=kx+b.∵A(3,3),B(6,0),∴解得,∴∵直线∥AB且过点O,∴直线的函数关系式为.75\n∵点P是上一动点且横坐标为,∴点P坐标为（）当P在第四象限时（t＞0），=12×6×3+×6×=9+3.∵0＜S≤18,∴0＜9+3≤18,∴-3＜≤3.又＞0,∴0＜≤3.5分当P在第二象限时（＜0）,作PM⊥轴于M，设对称轴与轴交点为N.则=-3+9.∵0＜S≤18,∴0＜-3+9≤18,∴-3≤＜3.又＜0,∴-3≤＜0……6分∴t的取值范围是-3≤＜0或0＜≤3.(3)存在，点Q坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）42．（2022·江苏省南京市浦口区一模，28，10）如图，已知直角梯形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，AB＝5，BC＝6，∠B＝53°．点O为BC边上的一个点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN．（1）当BO＝AD时，求BP的长；（2）在点O运动的过程中，线段BP与MN能否相等？若能，请求出当BO为多长时BP＝MN；若不能，请说明理由；（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围.ABCDOPMNABCD（备用图）(参考数据：cos53°≈0．6；sin53°≈0．8；tan74°3.5)75\n【答案】（1）∵AD//BC,BO=AD，∴四边形AB0D为平行四边形∴AB//OD,∠COD=∠ABO=53°，DO=AB=5在RtOCD中，,BO=BC-CO=3在RtPOB中，BO=PO,∴BP=（2）不存在.如图,过A点作AE⊥BC交BC于E点.若BP=MN，则△BOP≌△MON-∴∠BOP=∠MON=180°-2∠B=74°ABCDOPMNEDC=AE=在RtOCD中，.BO=BC-CO=在△POB中,BP=因为AB=5,所以BP>AB.又因为P点在边AB上，即BP＜AB.所以BP与MN不可能相等.（3）当⊙O与⊙C外切，CN取值范围为0<CN<6当⊙O与⊙C内切，CN取值范围为43．（2022·江苏省南京市六合区一模，28，9）如图1，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，边长为2cm的菱形DEFG两边DG、DE分别在AC、AB上．若菱形DEFG以1cm/s的速度沿射线AC方向平移．（1）经过秒菱形DEFG的顶点F恰好在BC上；（2）求菱形DEFG的面积；（3）设菱形DEFG与△ABC的重合部分为Scm2，菱形DEFG平移的时间为t秒．求S与t的函数关系式．【答案】（1）1．75\n（2）方法一：如图，连接GE、AF，交于点O，并延长AF交BC于点H．∵由AG=AE得∠AGE=∠AEG，由AB=AC得∠B=∠C，∴∠AEG=∠C=．∴GE∥BC，∴=，得GE=．∵菱形AEFG中，GE⊥AF，可得AH⊥BC，故CH=BC=3．∴Rt△ACH中，AH==4．∴=，得AO=，于是AF=．∴S菱形AEFG=´GE´AF=．方法二：易求S△ABC=12．由△AGE∽△ABC得=()2 ，即=()2 ．所以，S△AGE=得S菱形AEFG=．（3）①当0≤t≤1时，S=．②当1<t≤3时，AD=t，则CE=5–t–2=3–t，EN=EC=3–t，故FN=2–（3–t）=t–1．由△FMN∽△ABC可得=()2．即=()2，所以S△FMN=(t–1)2．所以S=S菱形AEFG–S△FMN=–(t–1)2．③当3<x≤5时，AD=t，则CD=5–t，由△DMC∽△ABC可得=()2．即=()2，所以S=(5–t)2．75\n④当t>5时，S=0．44．（2022·江苏省南京溧水县一模，28，9）已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．（1）设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；（3）连结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．【答案】（1）取中点，连结，为的中点，，．又，．，得；（2）过D作DP⊥BC，垂足为P，∠DAB=∠ABC=∠BPD=90°，∴四边形ABPD是矩形．以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，，又，∴DE=BE+AD-AB=x+4-2=x+2PD=AB=2，PE=x-4，DE2=PD2+PE2，∴（x+2）2=22+（x-4）2，解得：．∴线段的长为．（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得．由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．①当时，，．．，易得．得；75\n②当时，，．．又，．，即=，得x2=[22+（x-4）2]．解得，（舍去）．即线段的长为2．综上所述，所求线段的长为8或2．45．（2022·江苏省南京市建邺区一模，28，12）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为xs．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为ycm．（1）当x=s时，DE⊥AB；（2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点F运动路线的长；（3）当△BEF为等腰三角形时，求x的值．【答案】（1）（2）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．∴∠A＝∠B＝45°，AB=4，∴∠ADE＋∠AED＝135°；又∵∠DEF＝45°，∴∠BEF＋∠AED＝135°，∴∠ADE＝∠BEF；∴△ADE∽△BEF，∴＝，∴＝，∴y＝－x2+x∴y＝－x2+x＝－(x－2)2+75\n∴当x＝2时，y有最大值＝∴点F运动路程为cm（3）这里有三种情况：①如图，若EF＝BF，则∠B＝∠BEF；又∵△ADE∽△BEF，∴∠A＝∠ADE＝45°∴∠AED＝90°，∴AE＝DE＝，∵动点E的速度为1cm/s，∴此时x＝s；②如图，若EF＝BE，则∠B＝∠EFB；又∵△ADE∽△BEF，∴∠A＝∠AED＝45°∴∠ADE＝90°，∴AE＝3，∵动点E的速度为1cm/s∴此时x＝3s；③如图，若BF＝BE，则∠FEB＝∠EFB；又∵△ADE∽△BEF，∴∠ADE＝∠AED∴AE＝AD＝3，∵动点E的速度为1cm/s∴此时x＝3s；综上所述，当△BEF为等腰三角形时，x的值为s或3s或3s．75\n46．（2022·江苏省南京市白下区一模，28，12）如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．（1）若图1中，∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B＝90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．【答案】（1）理由：∵∠A＝50°，∴∠ADE＋∠DEA＝130°．∵∠DEC＝50°，∴∠BEC＋∠DEA＝130°．∴∠ADE＝∠BEC．∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC．∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．（若不用圆规画图，则必须在图上标注直角符号或对直角另有说明．）②对于任意的一个矩形，不一定存在强相似点，如正方形．(答案不惟一，若学生画图说明也可．)（3）第一种情况：∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，∠ADE＝∠BEC＝∠EDC，即△ADE∽△BEC∽△EDC．方法一：如图1，延长DE，交CB的延长线于点F，说明DE＝EF，说明AE＝BE．75\nABCDEF图1ABCDEF图2ABCDE图3方法二：如图2，过点E作EF⊥DC，垂足为F．因为∠ADE＝∠CDE，∠BCE＝∠DCE，所以AE＝EF，EF＝BE．所以AE＝BE．方法三：由△ADE∽△EDC可得＝，即AE＝．同理，由△BEC∽△EDC可得＝，即BE＝，所以AE＝BE．第二种情况：如图3，∠A＝∠B＝∠EDC＝90°，∠ADE＝∠BCE＝∠DCE，即△ADE∽△BCE∽△DCE．所以∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝60°，说明AE＝DE，BE＝CE，DE＝CE，（或说明BE＝DE，AE＝DE，）所以AE＝BE．综上，AE＝BE或AE＝BE．75\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生47．（2022·北京市延庆县一模，25，7）在中，，点在所在的直线上运动，作（按逆时针方向）．（1）如图1，若点在线段上运动，交于．①求证：；②当是等腰三角形时，求的长．（2）①如图2，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由；②如图3，若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．【答案】①证明：在中，∵∴∠B=∠C=45°又∠ADE=45°∴∠ADB+∠EBC=∠EBC+∠DEC=135°∴∠ADB=∠DEC∴②当是等腰三角形时,分以下三种情况讨论第一种情况：DE=AE∵DE=AE∴∠ADE=∠DAE=45°\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生∴∠AED=90°,此时，E为AC的中点，∴AE=AC=1.第二种情况：AD=AE（D与B重合）AE=2第三种情况：AD=AE如果AD=DE，由于，∴△ABD≌△DCE,∴BD=CE,AB=DC,设BD=CE=在中，∵，∴BC=,DC=－∴－=2,解得，=－2，∴AE=4－2综上所述：AE的值是1，2，4－2(2)①存在。当D在BC的延长线上，且CD=CA时，是等腰三角形.证明：∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′,∴∠ADC+∠EDC=∠EDC+∠DEC=135°,∴∠ADC=∠DEC,又CD=CA，∴∠CAD=∠CDA,∴∠CAD=∠CED,∴DA=DE′,∴是等腰三角形.②不存在.因为∠ACD=45°＞∠E,∠ADE=45°∴∠ADE≠∠E∴不可能是等腰三角形。48．（2022·北京市石景山区一模，25，8）25．已知二次函数的图象与轴交于点(，0)、点，与轴交于点．（1）求点坐标；\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生（2）点从点出发以每秒1个单位的速度沿线段向点运动，到达点后停止运动，过点作交于点，将四边形沿翻折，得到四边形，设点的运动时间为．①当为何值时，点恰好落在二次函数图象的对称轴上；②设四边形落在第一象限内的图形面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值．【答案】（1）将A(，0)代入解得∴函数的解析式为令，解得：∴B(，0)（2）①由解析式可得点二次函数图象的对称轴方程为△中∵∴∴，过点A′作轴于点，则∴解得则，∴②分两种情况：ⅰ）当时，四边形PQA′C′落在第一象限内的图形为等腰三角形QA’N．当时，有最大值Sⅱ）当时，设四边形PQA′C′落在\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生第一象限内的图形为四边形MOQA′．当时，有最大值综上：当时，四边形PQA’C’落在第一象限内的图形面积有最大值是．49．（2022·北京市密云县一模，19，5）已知如图，A(3,0),B(0,4),C为x轴上一点.(1)画出等腰三角形ABC;(2)求出C点的坐标.【答案】设C(x,0),(1)画图正确（2）①当A是顶点时，②当B是顶点时，③当C是顶点时，50．（2022·北京市海淀区一模，25，8）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=.点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设，则k=；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生【答案】（1）k=1；（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.由题意，tan∠BAC=，∴.∵D、E、B三点共线，∴AE⊥DB.∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°,∴∠QBC=∠EAQ.∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，∴∠ECA=∠BCG.∴.∴.∴GB=DE.∵F是BD中点，∴F是EG中点.在中，,∴.（3）情况1：如图，当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，∵∠ACB=90°，tan∠BAC=，且BC=6,∴AC=12，AB=.∵M为AB中点，∴CM=,∵AD=，∴AD=.∵M为AB中点，F为BD中点，\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生∴FM==2.∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=.情况2：如图，当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为.综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的三等分点时，线段CF的长度取得最大值为.51．（2022·北京市丰台区一模，24，分值）已知：如图，在□EFGH中，点F的坐标是（-2，-1），∠EFG=45°．（1）求点H的坐标;（2）抛物线经过点E、G、H,现将向左平移使之经过点F，得到抛物线,求抛物线的解析式；（3）若抛物线与y轴交于点A，点P在抛物线的对称轴上运动．请问：是否存在以AG为腰的等腰三角形AGP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∵在□ABCD中∴EH=FG=2，G（0，－1）即OG=1∵∠EFG=45°∴在Rt△HOG中，∠EHG=45°可得OH=1∴H（1，0）（2）∵OE=EH-OH=1∴E（－1，0），设抛物线解析式为=+bx+c∴代入E、G、H三点，\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生∴=1，b=0,，c=－1∴=－1依题意得，点F为顶点，∴过F点的抛物线解析式是=－1（3）∵抛物线与y轴交于点A∴A（0，3），∴AG=4情况1：AP=AG=4过点A作AB⊥对称轴于B∴AB=2在Rt△PAB中，BP=∴(-2,3+)或(-2,3-)情况2：PG=AG=4同理可得：(-2,-1+)或(-2,-1-)∴P点坐标为(-2,3+)或(-2,3-)或(-2,-1+)或(-2,-1-).52．（2022·北京市房山区一模，24，8）如图，抛物线（＞0）与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，且．（1）求此抛物线的解析式；（2）如果点D是线段AC下方抛物线上的动点，设D点的横坐标为x，△ACD的面积为S，求S与x的关系式，并求当S最大时点D的坐标；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点的平行四边形？若存在求点P坐标；若不存在，请说明理由．(备用图)【答案】（1）由已知可得C（0，-3），∵，∠COB=90°，∴，∴B（1,0）\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生∵抛物线（＞0）过点B，∴m+3m-3=0，∴m=∴抛物线的解析式为（2）如图1，∵抛物线对称轴为，B（1,0）∴A（-4,0）联结OD，∵点D在抛物线上∴设点D（x，），则==∴S=∴当x=-2时，△ACD的面积S有最大值为6.此时，点D的坐标为（-2，）．（3）①如图2，当以AC为边，CP也是平行四边形的边时，CP∥AE，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，此时P（-3，-3）.②如图3，当以AC为对角线，CP为边时，此时P点的坐标是（-3，-3）③如图4、图5，当以AC为边，CP是平行四边形的对角线时，点P、C到x轴的距离相等，则=3，解得，此时P（，3）（如图4）或（，3）（如图5）\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生（图3）（图2）（图4）（图5）综上所述，存在三个点符合题意，分别是（-3，-3），（，3），（，3）．53．（2022·北京市大兴区一模，18，5）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在一次函数y＝－x＋m的图象上，且AB＝OB＝5．求一次函数的解析式．【答案】∵AB＝OB，点B在线段OA的垂直平分线BM上，如图，当点B在第一象限时，OM＝3，OB＝5．在Rt△OBM中，.\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生∴ B（4，3）．∵ 点B在y＝－x＋m上，∴ m＝7．∴一次函数的解析式为.当点B在第二象限时，根据对称性，B'（－4，3）∵ 点B'在y＝－x＋m上，∴ m＝－1．∴一次函数的解析式为.综上所述，一次函数的解析式为或.54．（2022·北京市崇文区一模，24，8）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A、B的坐标分别为和，连结．（1）现将绕点按逆时针方向旋转90°，得到，（点A落到点C处），请画出，并求经过、、三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点的对应点为点，平移后的抛物线与原抛物线相交于点．为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连结，当取得最大值时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点在抛物线对称轴上运动时，是否存在点使为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生①若\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生则解得①若则解得②若则解得综上所述，存在点使为直角三角形，，，55．（2022·北京市朝阳区一模，23，7）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，，CA=CD，E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E与点A、D不重合），且∠FEC=∠ACB，设DE=x，CF=y.（1）求AC和AD的长；（2）求y与x的函数关系式；（3）当△EFC为等腰三角形时，求x的值.\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生【答案】（1）∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠ACB=∠CAD.∴tan∠ACB=tan∠CAD=.∴.∵AB=8，∴BC=6.则AC=10.过点C作CH⊥AD于点H，∴CH=AB=8,则AH=6.∵CA=CD,∴AD=2AH=12..（2）∵CA=CD,∴∠CAD=∠D.∵∠FEC=∠ACB，∠ACB=∠CAD，∴∠FEC=∠D.∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D，∴∠1=∠2.∴△AEF∽△DCE.∴，即.∴.（3）若△EFC为等腰三角形.①当EC=EF时，此时△AEF≌△DCE，∴AE=CD.由12-x=10，得x=2.②当FC=FE时，有∠FCE=∠FEC=∠CAE，∴CE=AE=12-x.在Rt△CHE中，由，解得.③当CE=CF时，有∠CFE=∠CEF=∠CAE，此时点F与点A重合，故点E与点D也重合，不合题意，舍去.综上，当△EFC为等腰三角形时，x=2或.\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生56．（2022·北京市昌平区一模，25，8）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果EF=2OG，求点Ｇ的坐标．（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∵OD平分∠AOC,∠AOC=90°∴∠AOD=∠DOC=45°∵在矩形ABCD中，∠BAO=∠B=∠BOC=90°,OA=BC=2,AB=OC=3∴△AOD是等腰Rt△∵∠AOE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90°∴∠AOE=∠BCD∴△AED≌△BDC∴AE=DB=1∴D(2,2),E(0,1),C(3,0)则过D、E、C三点的抛物线解析式为：（2）DH⊥OC于点H,∴∠DHO=90°∵矩形ABCD中,∠BAO=∠AOC=90°∴四边形AOHD是矩形∴∠ADH=90°.∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°∴∠1=∠3∵AD=OA=2，∴四边形AOHD是正方形.∴△FAD≌△GHD\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生∴FA=GH∴设点G（x，0），∴OG=x，GH=2-x∵EF=2OG=2x，AE=1，∴2-x=2x-1，∴x=1.∴G(1,0)(3)由题意可知点P若存在，则必在AB上，假设存在点P使△PCG是等腰三角形1）当点P为顶点，既CP=GP时，易求得P1（2,2），既为点D时，此时点Q、与点P1、点D重合，∴点Q1(2,2)2)当点C为顶点，既CP=CG=2时,易求得P2(3,2)∴直线GP2的解析式：求交点Q:可求的交点（）和（-1，-2）∵点Q在第一象限∴Q2（）3)当点G为顶点，既GP=CG=2时,易求得P3(1,2)∴直线GP3的解析式：求交点Q:可求的交点（）∴Q3（）所以，所求Q点的坐标为Q1(2,2)、Q2（）、Q3（）．\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生57．（2022·北京市一模，23，7）一开口向上的抛物线与x轴交于A，B两点，C（，）为抛物线顶点，且AC⊥BC．（1）若m是常数，求抛物线的解析式；（2）设抛物线交y轴正半轴于D点，抛物线的对称轴交轴于点。问是否存在实数m，使得△OD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）设抛物线的解析式为： ∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB为等腰直角三角形，又AB＝4，∴（m+2，0）代入，得a＝．∴解析式为：．（2）由（1）得D（0，m2），设存在实数m，使得△OD为等腰三角形．∵△OD为直角三角形，∴只能OD＝O．∴当点在轴正半轴，即m＞0时，m2－2＝．解得m＝或m＝（舍）．当点在轴负半轴，即m＜0时，m2－2＝．当解得m＝或m＝（舍）；当点在原点，即m＝0时，B、O、D三点共线（不合题意，舍）综上所述：存在实数m＝或m＝，使得△OD为等腰三角形．58．（2022·北京市一模，24，8）把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．（1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时， ．（2）将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为．其中\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生，问的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式．（图2，图3供解题用）【答案】（1）8 （2）的值不会改变． 理由如下：在与中， ＢＥＰＡＤ（Ｏ）ＣＱＦ 即·（3）情形1：当时，，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，·\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生ＢＥＰＡＤ（Ｏ）ＣＱＦＮＭＧ 由（2）知：得 于是 情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为， 由于，，易证：， 即解得 于是· 综上所述，当时， 当时，·59．（2022·浙江省义乌市一模，22，10）2022年3月10日12时58分云南盈江县发生5.8级地震，有1.8万人等待安置.如图（1）是某中学学生捐款情况制成的条形图，图（2）是该中学学生人数分布统计表.(1)该校共有学生▲人；(2)该校学生平均每人捐款▲元(精确到0.01元)；(3)在得知灾区急需帐篷后，学校立即与厂家联系购买帐篷送往灾区.已知用9万元刚好可以从厂家购进帐篷500顶.该厂家生产三种不同规格的帐篷，出厂价分别为甲种帐篷每顶150元，乙种帐篷每顶210元，丙种帐篷每顶250元.①若学校同时购进其中两种不同规格的帐篷，则学校的购买方案有哪几种？②若学校想同时购进三种不同规格的帐篷，必须每种帐篷都有，而且帐篷１０顶打包成一件，所以每种帐篷数都要求是10的倍数.请你研究一下是否可行?如果可行请给出符合条件的设计方案；若不可行，请说明理由.\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生【答案】(1)1450(2)64.12(3)解：设购买的帐篷数为甲种顶，乙种顶，丙种顶，①由题意分三种情况讨论：(i)，解得；(ii)解得(不合题意)；(iii)，解得.即有两种方案：甲、乙两种帐篷各250顶；甲种帐篷350顶，丙种帐篷150种.（5分）②由题意，可得，解得∵均为大于0且小于500的整数，同时都是10的倍数∴，，，.∴方案可行，符合条件的设计方案有：甲、乙、丙三种帐篷数的配置分别为甲270顶、乙200顶、丙30顶；甲290顶、乙150顶、丙60顶；甲310顶、乙100顶、丙90顶；甲330顶、乙50顶、丙120顶.60．（2022·浙江省义乌市一模，24，12）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生作任意角度的旋转．(1) 当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；(2) 如果抛物线的对称轴经过点C，请你探究：①当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；②设，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ∵ 点O是AB的中点， ∴ ．设点B的横坐标是x(x>0)，则，解得 ，(舍去)．∴ 点B的横坐标是．(2) ① 当，，时，得 (＊) ．以下分两种情况讨论．OyxCBA(甲)11-1-1情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，．由此，可求得点C的坐标为(，)，\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生点A的坐标为(，)，∵ A，B两点关于原点对称，∴ 点B的坐标为(，)．将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上．OyxCBA(乙)11-1-1情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．经计算，A，B两点都不在这条抛物线上．② 存在．m的值是1或-1．(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)61．（2022·浙江省宁波市七中一模，24，9）已知：如图，直线与x轴相交于点A，与直线相交于点P．（1）求点P的坐标．（2）请判断的形状并说明理由．（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：①S与t之间的函数关系式．②当t为何值时，S最大，并求S的最大值．\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生【答案】（1）解得：∴点P的坐标为(2，)（2）将代入F图1yOAxPEBD∴，即OA=4做PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2∵tan∠POA=∴∠POA=60°∵OP=∴△POA是等边三角形．（3）①当0<t≤4时，如图1在Rt△EOF中，∵∠EOF=60°，OE=t∴EF=t，OF=t∴S=·OF·EF=当4<t<8时，如图2设EB与OP相交于点C易知：CE=PE=t－4，AE=8－tF图2PxOBCEAy∴AF=4－，EF=(8－t)∴OF=OA－AF=4－（4－t）=t∴S=(CE+OF)·EF=(t－4+t)×(8－t）=－+4t－8②当0<t≤4时，S=，t=4时，S最大=2\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生当4<t<8时，S=－+4t－8=－(t－)+t=时，S最大=∵>2，∴当t=时，S最大=62．（2022·湖北省襄阳市一模，20，13）如图，直径为５的⊙M圆心在x轴正半轴上，⊙M和x轴交于A、B两点，和y轴交于C、D两点且CD＝4，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，顶点为N﹒（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）直线NC与x轴交于点E，试判断直线CN与⊙M的位置关系并说明理由；（3）设点Q是（1）中所求抛物线对称轴上的一点，试问在（1）中所求抛物线上是否存在点P使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由﹒ECxBOADy●MN【答案】（１）连接MC，∵直径AB⊥CD，∴OC=OD=2，又∵MC=AB=2.5在Rt⊿OMC中，OM2=MC2-OC2，∴OM=1.5，OA=1，OB=4，则有A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）a-b+c=0，16a+4b+c=0，C=-2.又由题意得y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)，点B(4,0)和C(0,-2)三点,解这个方程组得a=,b=-,c=-2.所求抛物线解析式为y=x2-x-2 . （２）配方得y=(x-)2-.顶点坐标为(,-). \n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生 作对称轴MN，过点N作NH⊥轴于H.在△CMN和△CHN中，CN2+CM2=（）2+（-2）2+（）2=，MN2=（）2=∴CN2+CM2=MN2，∴△MCN是直角三角形且∠MCN=900，又∴MC是半径，∴直线CN是⊙M的切线.（３）存在以Ａ、Ｂ、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．设P点坐标为（x,y）且在（１）中所求抛物线上，又由题意可知Q点在对称轴直线Ｘ＝上，∴点Q的横坐标为.分以下三种情况讨论：①当AB为平行四边形的边,点P在对称轴右侧时，QP=x-在平行四边形ABPQ中,AB=QP=5,∴x-=5,∴x=此时y=x2-x-2=∴点P的坐标为(,) ②当AB为平行四边形边,点P在对称轴左侧时，PQ=-x在平行四边形ABMN中,AB=PQ=5∴-x=5∴x=-此时y=x2-x-2=∴点P的坐标为(-,) ③当AB为对角线时,点P与抛物线顶点重合此时,点P的坐标为(,-) 综上所述点所求P的坐标为(,)或(-,)或(,-) 63．（2022·湖南省长沙市一模，26，10）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边A0与AB重合，得到△ABD(1)求点B的坐标；\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生(2)当点P运动到点(，0)时，求此时点D的坐标；(3)在点P运动的过程中是否存在某个位置，使△OPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点B的坐标是(2，2)(2)如图1，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．∴BG=BD·cos60°=×=．DG=BD·sin60°=×=．∴OH=EG=,DH=号．∴点D的坐标为(，)．(3)假设存在点P，在它的运动过程中，△OPD的面积等于．设点P的坐标为(t，0)，下面分三种情况讨论：①当t>0时，如图2，BD=OP=t，DG=t，∴DH=2+t．∵△OPD的面积等于，∴t(2+t)=，\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生解得t1=,t2=(舍去)．∴点P1的坐标为(，0)．②当-<t≦0时，如图3，BD=OP=-t,BG=-t∴DH=GF=2-(-t)=2+t∵△OPD的面积等于．∴-t(2+t)=，解得t1=-，t2=-．∴点P2的坐标为(一，0)，点P3的坐标为(-，0)③当t≤-时，如图D3-10,BD=0P=-t，DG=-t，∴DH=-t-2．∵OPD的面积等于，∴t(2+t)=解得t1=(舍去)，t2=．∴点P4的坐标为(，0)．综上所述，点P的坐标分别为P1(，0)，P2(一，0，P3(-，0)，P4(，0)\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生64．（2022·河南省三模，23，12）如图所示,在平面直角坐标系xoy中,矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且18a+c=0.(1)求抛物线的解析式.(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.①移动开始后第t秒时,设△PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围.②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标,如果不存在,请说明理由.xy【答案】（1）设抛物线的解析式为，由题意知点A（0，－12），所以，又18a+c=0，∵AB∥CD,且AB=6,∴抛物线的对称轴是∴所以抛物线的解析式为（2）①，②当时，S取最大值为9.这时点P的坐标（3，－12），点Q坐标（6，－6）\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：（Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，－18），将（3，－18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，－18）；（Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，－6），将（3，－6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件.（Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，－6），将（9，－6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件.综上所述，点R坐标为（3，－18）65．（2022·河南省五模，23，12）如图，函数L1:ｙ＝ａ（ｘ-2）２+4 (x>0)的图象顶点为M，过点B(4,0),将图象绕原点旋转180°后得到函数L2的图象，顶点为N,与x轴交于点A.（1）分别求出L1、L2的函数解析式.（2）P为抛物线L1上一动点,连接PO交L2于Q,连接PN、QN、PM、QM.求：平行四边形PMQN的面积S与P点横坐标x（0﹤x4）间关系式(3)求出平行四边形PMQN的面积S的最大值，及此时P点的坐标.【答案】（1）把B（4,0）代入y=a(x-2)2+4得a=-1抛物线L1:y=-x2+4x抛物线L2:y=x2+4x(2)根据P点位置进行分类讨论：\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生1.若P点在抛物线的AM段（2<x4）S平行四边形PMQN=4SΔPOM=4x2－8x2.若P点在抛物线的OM段（0<x<2）S平行四边形PMQN=4SΔPOM=-4x2+8x(3)当2<x4时，y随x的增大而增大当x=4时，S最大=32当0<x<2时，x=1时，S最大=4∴当x=4时，S最大=32，此时P点坐标为（4,0）66．（2022·广东省惠州市一模，22，9）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP.已知动点运动了x秒.（1）P点的坐标为（，）；（用含x的代数式表示）（2）试求⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。（3）请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。【答案】（１）(3—x,x)(2)设⊿MPA的面积为S，在⊿MPA中，MA=3—x，MA边上的高为x，其中，0≤x≤3.∴S=（3—x）×x=(—x2+3x)=—(x—)2+∴S的最大值为\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生此时x=.(3)延长ＮＰ交x轴于Ｑ，则有ＰＱ⊥ＯＡ①若ＭＰ＝ＰＡ∵ＰＱ⊥ＭＡ∴ＭＱ＝ＱＡ＝x.∴3x=3,∴x=1②若ＭＰ＝ＭＡ，则ＭＱ＝3—2x，ＰＱ=x，ＰＭ＝ＭＡ＝３—x在Ｒt⊿ＰＭＱ中，∵ＰＭ2＝ＭＱ2＋ＰＱ2∴(３—x)2=(3—2x)2+(x)2∴x=③若ＰＡ＝ＡＭ，∵ＰＡ＝x，ＡＭ＝３—x∴x=３—x∴x=综上所述，x=1，或x=，或x=。67．（2022·福建省南平市一模，26，14）如图，已知A（2，－１）为顶点的抛物线经过点B（4,0）．（1)求该抛物线的解析式；（2）设点D为抛物线对称轴与x轴的交点，点E为抛物线上一动点，点E作直线y=－2的垂线，垂足为N．①探索、猜想线段EN与ED之间的数量关系，并证明你的结论；②抛物线上是否有点E使△EDN为等边三角形？若存在，请求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．【提示：抛物线y=ax²+bx+c（a0）的对称轴是x=－，顶点坐标是】\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生【答案】（1）设抛物线的解析式为y=（x-h）2+k∵抛物线的顶点A（2，-1）且过点B（4，0）∴y=a（x-2）2-1，且0=4a-1，a=∴抛物线的解析式为y==…（2）猜想：DE=NE证明：易得D（2，0）当E与B重合时，DE=2,EN=2,∴DE=EN当E与O重合时，DE=2,EN=2,∴DE=EN当E与A重合时，DE=1,EN=1,∴DE=EN当点E不与B、O、A重合时，设点E坐标为，EN交x轴与点F在Rt△DEF中，DE²=DF²+EF²=（x－２）²+y²又∵NE=y＋２,∴NE²=y²＋4y＋4=y²++4=y²＋x²－4x+4=(x－2)²+y²----9分∴DE=NE\n2022中考模拟分类汇编-----分类讨论思想-----朱元生综上所述，DE=NE⑶答：存在当点E在x轴上时△EDN为直角三角形，点E在x轴下方时△EDN为钝角三角形，所以只当在E在x轴上方时△EDN才可能为等边三角形（注意：未作上述说明不扣分！）理由一：若△EDN为等边三角形，∵DE=NE=DN，且EN⊥x轴，∴EN=FN=2，∴y=x²-x=2解得，x=22∴点E坐标为（2＋2，2）和（2—2，2）理由二：若△EDN为等边三角形，∵DE=NE=DN，且EN⊥x轴，∴∠EFD=30°，EN=FN=2在Rt△DEF中，tan∠EDF=，∴DF===2-∵DA是抛物线的对称轴，且D（2,0）∴根据抛物线的对称性得点E的坐标为（2＋2，2）和（2—2，2）68．（2022·××省××市X模，题号，分值）【答案】
