知识点25：梯形一、选择题1.（2022·浙江省杭州市1模，题号7，3分）7．下列命题，正确的是（）A．如果｜a｜=｜b｜，那么a=bB．等腰梯形的对角线互相垂直C．顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形D．相等的圆周角所对的弧相等【答案】C2.（2022·北京市第3模，3，4分）3.下列命题正确的是（）A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是等腰梯形【答案】C3.（2022·北京市5模，6，3分）如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为()A、B、C、D、【答案】D4.（2022·武汉市2模，12，3分）12.如图3，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=9O°，E、F是BC上两点，若AD=ED，∠ADE=30°，∠FDC=15°，则下列结论：①∠AED=∠DFC;②BE=2CF；③AB-CF=EF;④SOAF:SDEF=AF:EF其中正确的结论是()A．①③B．②④C．①③④D．①②④【答案】C5.（2022·浙江省杭州市一模，10，3）（10）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（）A.2.5ABB.3ABC.3.5ABD.4AB32\n【答案】B6.（2022·××省常州市一模，4，2）4、用两个完全相同的直角三角形不能拼成下列图形的是（）A、平行四边形B、矩形C、等腰三角形D、梯形【答案】D7.（2022·河北省博野县一模，12，2）12．梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=【】A．2.5ABB．ABC．3.5ABD．4AB【答案】B8.（2022·××省兰州市二模，3，4）3．下列多边形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ）A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.等腰梯形【答案】B9.（2022·××省××市X模，4，3）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，沿DE裁剪将△ABC分为两块后拼接成特殊的四边形，那么不能拼成的图形是（）A．正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形【答案】B10．（2022·湖北省黄冈市模，15，3）如图，梯形中，点在上，点是的中点，且若则的长为（）A．B.C.D.32\n【答案】B11.（2022·湖北天门中学模，3，4）如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB=1，BC=2，则OA=（）．A．B．C．D．【答案】D12.（2022·湖北省天门中学，4，4）如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点．若AD=3，BC=9，则GO:BG=（）．A．1:2B．1:3C．2:3D．11:20【答案】A13.（2022·湖南省中考预测，2，3）2．如果一个四边形ABCD是中心对称图形，那么这个四边形一定是（ ）A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形【答案】D14.（2022·黄冈市中考模拟A卷，15，3）如图，梯形中，点在上，点是的中点，且若则的长为（）A．B.C.D.32\n【答案】B15.（2022·娄底市初中毕业数学学业考试，6，3）6．下列说法中，错误的是A．平行四边形的对角线互相平分B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的对角线互相垂直平分D．等腰梯形的对角线相等【答案】B16.（2022·深圳市一模，8，3）8.已知AC、BD是⊙O的两条直径，则四边形ABCD一定是A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形【答案】B17.（2022·浙江省杭州市1模，9，3）如图，圆内接四边形ABCD是由四个全等的等腰梯形组成，AD是⊙O的直径，则∠BEC的度数为（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B18.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】19.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】20．（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】二、填空题1.（2022·北京市5模，24，4分）24、如图，在等腰梯形中，，，，相交于点，且，顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是．【答案】1632\n2.（2022·海南省××市一模，16，3）16.梯形的高为4厘米，中位线长为5厘米，则梯形的面积为平方厘米。【答案】203.（2022·××省潍坊市一模，16，3）16.如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，A=900,AB=2,BC=3,AD=4,E为BC的中点，F为CD的中点，P为AD上一动点（不与A、D重合），由A向D运动，速度为1cm/s，设四边形PEFD的面积为y，当运动时间为x秒时，y与x的函数关系式是.【答案】y=－x4.（2022·××省××市X模，题号，分值）17.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是.【答案】S2=S1+S35.（2022·江苏省盐城射阳一模，17，3）17.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝4cm，则梯形ABCD的面积为．【答案】12cm6.（2022·安徽省淮北市“五校”第四次联考，5，4）5、下面图形：平行四边形，正三角形，正方形，等腰梯形，正六边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为（）A． B．C．D．【答案】A7.32\n8.（2022·××省××市X模，12，3）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，AB=1，∠ABC是锐角．点E在CD上，且AE⊥EB，设∠ABE=，∠EBC=．则___________________________．（用、的三角函数表示）【答案】9.（2022·启东中学1模，17，3）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°且DC＝2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是_______．【答案】①③④10．（2022启东中学2模，16，3）如图所示，在梯形ABCD中，DC∥AB，DA＝CB．若AB＝10，DC＝4，tanA＝2，则这个梯形的面积是_______．【答案】4211.（2022·启东中学4模，17，3）图是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指钝角）是_______度．【答案】12012.（2022·苏州市3模，16，3）分别以梯形ABCD的上底AD、下底BC的长为直径作⊙O1、⊙O232\n，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是_______．【答案】外切13.（2022·盐城市一模，13，3）13、顺次连接等腰梯形各边中点所成的四边形是▲．【答案】菱形14.15.（2022上海市一模，6，4）下列命题中，错误的是A．一组对边平行的四边形是梯形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是菱形【答案】A16.（2022·上海市东新区，17，3）17．已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，AC⊥AB，那么=▲．【答案】17.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】18.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】19.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】20．（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】32\n三、解答题1.（2022·北京市第1模，24，12分）24.（本题满分12分）如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒。（1）当点P在线段AO上运动时.①请用含x的代数式表示OP的长度；②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由.【答案】解：（1）①由题意得∠BAO=30°，AC⊥BD∵AB=2∴OB=OD=1，OA=OC=∴OP=②过点E作EH⊥BD，则EH为△COD的中位线∵DQ=x∴BQ=2－x（2）能成为梯形，分三种情况：当PQ∥BE时，∠PQO=∠DBE=30°∴即∴x=此时PB不平行QE，∴x=时，四边形PBEQ为梯形.当PE∥BQ时，P为OC中点∴AP=，即∴此时，BQ=2－x=≠PE，∴x=时，四边形PEQB为梯形.当EQ∥BP时，△QEH∽△BPO∴∴∴x=1（x=0舍去）此时，BQ不平行于PE，∴x=1时，四边形PEQB为梯形.综上所述，当x=或或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形.32\n2.（2022·北京市4模，18，8分）18、城市规划期间，欲拆除一电线杆（如图所示），已知距电线杆水平距离14米的处有一大坝，背水坡的坡度，坝高为2米，在坝顶处测得杆顶的仰角为．，之间是宽为2米的人行道．试问：在拆除电线杆时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由（在地面上，以点为圆心，以长为半径的圆形区域为危险区域）．（，）【答案】AB≈10.66m,BE=12m,BE>AB,无危险，不需封人行道。3.（2022·北京市2模，18，6分）18．（本题6分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，O为梯形ABCD外一点，OA、OB分别交线段DC于点F、E，且OA＝OB。（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明。【答案】（1）全等三角形有ΔOAD≌ΔOCB；ΔODF≌ΔOCE；ΔADF≌ΔBCE；ΔODE≌ΔOCF；四对中选出三对即可。）（2）证明略4.（2022·北京市2模，24，12分）24．（本题12分）（本题12分）已知抛物线y=－x2+bx+c经过点A（0，4），且抛物线的对称轴为直线x=2。（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线的顶点为B，在抛物线上是否存在点C，使得A、B、O、C四点构成的四边形为梯形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。32\n（3）试问在抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与对称轴相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出对称轴被⊙P所截得的弦EF的长度；若不存在，请说明理由。【答案】（1）由题意得，∴b=4、c=4∴y=－x2+4x+4（2）y=－(x－2)2+8,B(2,8),①AB∥OC时，直线AB:y=2x+4,则CO为y=2x解得，∴②AC∥OB时，直线OB:y=4x,则AC为y=4x+4解得，C(0,4)与点A重合，舍去。32\n（3）①当点P在x轴上方时，y=－x2+4x+4=3，解得x1=2+,x2=2－,P1(2+,3),P2(2－,3)此时P到对称轴直线x=2的距离为＜3，即⊙P与对称轴相交。对称轴被⊙P所截得的弦EF的长度为4。②当点P在x轴下方时，y=－x2+4x+4=－3，解得x1=2+,x2=2－,P3(2+,－3),P4(2－,－3)此时P到对称轴直线x=2的距离为＞3，即⊙P与对称轴不相交。其他解法相应给分。5.（2022·武汉市2模，22，8分）22.（本题满分8分）已知：如图8，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，AE是△ABC的边BC上的高，DF⊥BC，F为垂足．(1)求证：BF=EC;(2)若C点是AD的中点，且DF=3AE=3，求BC的长．【答案】(1)证明：过0作OH⊥BC于N，BH=CH，∵AE⊥BC,DF⊥BC,OH⊥BC,∴AE//OH//DF、而OA=OD,∴OH是梯形AEFD的中位线，则EH=FH,∴BE=CF,∴BF=EC;(2)解：连DC，则△ACD是等腰直角三角形，∵∠ABE=∠ADC=45°,∴AE=BE=l,∴△AEC≌△DFC,∴EC=DF=3,∴BC=2.6.（2022·河南省郑州市一模，21，10）【答案】(1)猜想AB=BC．……………………1分理由：过D点作DＭ⊥BC，垂足为点Ｍ，则∠DMC=90°.可得四边形ABMD是矩形,则AB=DM.∵△DCE是等边三角形，∴DE=DC=CE,32\n且∠DCE=∠CED=∠CDE=60°.∵∠DCB=75°,∴∠BCE=∠DCB-∠DCE=75°-60°=15°.…………………………3分而∠CDM=90°-75°=15°,∴∠CDM=∠BCE.在△DMC和△CBE中，∠CDM=∠BCE，∠DMC=∠CBE=90°，DC=CE，∴△DＭC≌△CBE，则DＭ=BC.……………………5分∴AB=BC.…………………………6分（2）△BAF为等边三角形.理由：∵∠FBC=30º，∴∠ABF=60º.∵∠FBC=30º，∠DCB=75º，∴∠BFC=75º，故BC=BF.∵AB=BC，故AB=BF.………………………8分而∠ABF=60º，∴AB=BF=FA.∴△BAF为等边三角形.……………………7.（2022·××省重庆市一模，26，10）26．如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动,设P、Q运动的时间为t秒(t＞0)．(1)试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；(2)在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．求出此时△APQ的面积．(3)在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．(4)伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点F．当DF经过原点O时，请直接写出t的值．【答案】解：(1)在Rt△AOB中，OA＝4，OB＝3∴AB＝①P由O向A运动时，OP＝AQ＝t，AP＝4－t过Q作QH⊥AP于H点，由QH//BO得32\n∴即(0<t≤4)②当4<t≤5时，AP＝t－4AQ=tsin∠BAO=OH=∴=··············(4分)(2)由题意知，此时△APQ≌△DPQ∠AQP＝900∴cosA=当0<t≤4∴即当4<t≤5时，t=－16(舍去)∴···············(6分)(3)存在，有以下两种情况①若PE//BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE过E、P分分别作EM⊥AB于M,PN⊥AB于N则有BM=QN,由PE//BQ得∴32\n又∵AP=4－t,∴AN=∴由BM=QN,得∴ ∴···································(8分)②若PQ//BE，则等腰梯形PQBE中BQ=EP且PQ⊥OA于P点由题意知∵OP+AP=OA∴∴t··············(10分)由①②得E点坐标为(4)①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO∴OQ=BQ=t∴BQ=AQ=AE∴······················(11分)②当P由A向O运动时，OQ=OP=8－tBQ=5－t,在Rt△OGQ中，OQ2=RG2+OG2即(8－t)2=∴t=5·························(12分)32\n8.（2022·海南省××市一模，24，13）24.（本题满分13分）已知：如图8，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A(0,6)，D(4，6），且AB＝.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC=S梯形ABCD?若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.(图8)【答案】(1)B(-2,0)(2)(3)存在。当y=0时，∴∴D(6,0)设点P的纵坐标为y,BC=8,AD=4.∴∴y=±9当y=9时，，此方程无实数解；当y=-9时，，解得所以，P点的坐标为或32\n9.（2022·××省齐齐哈尔市一模，23，6）23．（本小题满分6分）综合实践活动课上，老师让同学们在一张足够大的纸板上裁出符合如下要求的梯形，即“梯形ABCD，AD∥BC，AD＝2分米，AB＝分米，CD＝2分米，梯形的高是2分米”．请你计算裁得的梯形ABCD中BC边的长度．【答案】如图AE和DF为梯形ABCD的高，EF＝AD＝2分米应分以下三种情况（1）如图1，利用勾股定理可求出BE＝1，CF＝2∴BC＝BE＋EF＋FC＝5分米（2）如图2，利用勾股定理可求出BE＝1，CF＝2∴BC＝EF－BE＋FC＝3分米（3）如图3，利用勾股定理可求出BE＝1，CF＝2，可得到C与E重合∴BC＝1分米10．（2022·××省潍坊市一模，21，9）21.（本题满分9分）已知，如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC.（1）求证：BG=FG(2)若AD=DC=2,求AB的长。【答案】解：(1)连结EC，∵DE⊥AC∴∠EAF+∠FEA=900,∠ACB+∠EAF=900∴∠AEF=∠ACB,∵AE=AC,∴∠AEC=∠ACE,∴∠GEC=∠GCE,∴EG=GC,∵∠EBG=∠GFC=900,∠BGE=∠FGC,∴△BEG≌△FCG,∴BG=FG分(2)∵AD=CD,DE⊥AC,∴DE是线段AC的垂直平分线，则AE=CE,△AEC为等边三角形，则∠EAC=600,在Rt△AFD中，AD=2,∠DAF=300,∴AF=从而有AB=AF=32\n11.（2022·××省兰州市一模，24，12）24、（12分）如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点,,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.(1)求直线AB的解析式;(2)若S梯形OBCD＝,求点C的坐标;(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）直线AB解析式为：y=x+．（2）∵ ,＝，∴由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD．∴ ＝CD×AD＝＝．可得CD＝．∴ AD=１，OD＝２．∴C（２，）．（3）当∠OBP＝Rt∠时，如图①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，∴（3，）．②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1．∴（1，）．当∠OPB＝Rt∠时32\n③过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°过点P作PM⊥OA于点M．设Ｐ（x，x+），得OM＝x，PM＝x+由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．===．∴x+＝x，解得x＝．此时，（，）．④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°． ∴ PM＝OM＝．∴ （，）（由对称性也可得到点的坐标）．当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是：（3，），（1，），（，），（，）．12.（2022·苏州市5模，29，9）如图(1)，在直角梯形OABC中，BC∥OA，∠OCB＝90°，OA＝6，AB＝5，cos∠OAB＝．(1)写出顶点A、B、C的坐标；(2)如图(2)，点P为AB边上的动点（P与A、B不重合），PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分别为M，N．设PM＝x，四边形OMPN的面积为y．①求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②是否存在一点P，使得四边形OMPN的面积恰好等于梯形OABC的面积的一半？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】(1)A(6，0)，B(3，4)，C(0，4)(2)①0<x<4②存在P点(，2)32\n13.（2022·福建省三明市X模，23，分值）23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°,BC＝6,AD＝3,∠DCB＝30°,点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动。已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在BC的上方作等边△EFG，设E点移动距离为。（本题满分14分）(1)△EFG的边长是_____________（用含有的代数式表示），当＝2时，点G的位置在__________。(2)若用表示△EFG与梯形ABCD重叠部分面积，求①当时，与之间的函数关系式；②当时，与之间的函数关系式；（3）探求（2）中得到的函数在取何值时，存在最大值，并求出最大值。CBEFDAGCBEFDAG备用图【答案】14.（2022·河北省博野县一模，22，9）22．（本小题满分9分）如图,已知直线y=x与双曲线y=(k＞0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线y=(k＞0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；yOBxA（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=(k＞0)于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．32\n【答案】解：(1)∵点A横坐标为4，∴当x=4时，y=2∴点A的坐标为（4，2）………2分∵点A是直线与双曲线（k>0）的交点，∴k=4×2=8………3分(2)∵点C在双曲线上，当y=8时，x=1∴点C的坐标为（1，8）………4分过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMONS矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4S△AOC=S矩形ONDM－S△ONC－S△CDA－S△OAM=32－4－9－4=15………6分（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，∴OP=OQ，OA=OB∴四边形APBQ是平行四边形∴S△POA=S平行四边形APBQ=×24=6设点P的横坐标为m（m>0且），得P（m，）………7分过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，∵点P、A在双曲线上，∴S△POE=S△AOF=4若0＜m＜4，∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，∴S梯形PEFA=S△POA=6∴解得m=2，m=－8（舍去）∴P（2，4）………8分若m＞4，∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，∴S梯形PEFA=S△POA=6∴，32\n解得m=8，m=－2（舍去）∴P（8，1）∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）………9分15.（2022·××省××市X模，题号，分值）26．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO的边OC落在x轴的正半轴上，且AB∥OC，BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8．正方形ODEF的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形ABCO的面积．将正方形ODEF沿x轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形ABCO的重叠部分面积为S．（1）求正方形ODEF的边长；（2）①正方形ODEF平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S（S＞0）的变化情况是；A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大后减小D．先减小后增大②当正方形ODEF顶点O移动到点C时，求S的值；AyxBCODEFy（备用图）AxBCO（3）设正方形ODEF的顶点O向右移动的距离为x，求重叠部分面积S与x的函数关系式．【答案】解：（1）∵SODEF=SABCO=（4+8）×6=36 设正方形的边长为x，∴x2=36，x=6或x=-6（舍去）．（2）①C．②S=（3+6）×2+6×4=33．（3）①当0≤x＜4时，重叠部分为三角形，如图①．可得△OM∽△OAN，∴，．∴．②当4≤x＜6时，重叠部分为直角梯形，如图②．S=（x-4+x）×6×=6x-12③当6≤x＜8时，重叠部分为五边形，如图③．可得，MD=（x-6），AF=x-4．S=（x-4+x）-×（x-6）（x-6）=-x2+15x-39．④当8≤x＜10时，重叠部分为五边形，如图④．S==-x2+15x-39-（x-8）×6=-x2+9x+9．⑤当10≤x＜14时，重叠部分为矩形，如图⑤．S=［6-（x-8）］×6=-6x+84．（用其它方法求解正确，相应给分）32\nABCOxyDEF（图②）ABCOxyDEFM（图③）ABCOxyDEFMN（图①）AOxBCyDEFM（图④）xABCOyDEF（图⑤）．16.（2022·张家港市二中一模，6，6）ADCHFEBG第6题图6．（本题6分）如图，在等腰梯形中，是边上的一点，过点作交边于点是的中点，连结并延长交的延长线于点求证：【答案】17.（2022·兰州市市三模，25，12）25.（12分）已知：在Rt△ABO中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,若以O为坐标原点,OA所在直线为轴,建立如图所示平面直角坐标系,点B在第一象限内,将Rt△ABO沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.（1）求点C的坐标；（2）若抛物线经过C、A两点,求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一动点,过P作轴的平行线,交抛物线于点M,问：是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为很等腰梯形？若存在,请求出此时点P的坐标；若不存在,请说明理由.第25题图CBA32\n【答案】（1）点C（）；（2）抛物线的解析式为：（3）存在,此时点P为18.（2022·××省福州市X模，21，14）已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=DC=2，点M从点B开始，以每秒1个单位的速度向点C运动；点N从点D开始，沿D—A—B方向，以每秒1个单位的速度向点B运动．若点M、N同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP⊥BC与P，交BD于点Q．（1）点D到BC的距离为；（2）求出t为何值时，QM∥AB；（3）设△BMQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（4）求出t为何值时，△BMQ为直角三角形．【答案】19.（2022·河南省××市2模，21，10）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，点P是斜边AB上一个动点，点D是CP的中点，延长BD至E，使DE=BD，连结AE．⑴求四边形PCEA的面积；⑵当AP的长为何值时，四边形PCEA是平行四边形；⑶当AP的长为何值时，四边形PCEA是直角梯形．32\n【答案】作CH⊥AB，垂足为H，则CH=．连结EP，因为CD=DP，BD=DE，得□PBCE．则CE=PB，EP=CB=2．⑴；⑵当AP=2时，得□PCEA，∵AP=2=PC=EC，且EC∥AP；⑶当AP=3时，P、H重合，EC∥AP，∠CPA=90°，AP=3≠1=PB=EC，得直角梯形PCEA；当AP=1时，△APE是直角三角形，∠EAP=90°，EC∥AP，AP=1≠3=PB=EC，得直角梯形PCEA．20．（2022·河南省1模，21，分值）21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，AD=1，AB=5，BC=4，点P是线段AB上一个动点，点E是CD的中点，延长PE至F，使EF=PE．⑴判定四边形PCFD的形状；⑵当AP的长为何值时，四边形PCFD是矩形；⑶求四边形PCFD的周长的最小值．【答案】解：⑴；⑵，△APD∽△BCP．x:4=1:（5−x）．解得x1=1，x2=4；⑶延长DA到G，使AG=AD．当点G、P、C共线时CP+PD最小，值为GC=．所以周长的最小值为．21.（2022·宁夏贺兰一中2模，23，6）如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面（图中i=l:是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），∠B=600，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD的面积.(结果保留三个有效数字)32\n【答案】过点A作DC的平行线交BC于点F∵i=l:∴∠AFB＝∠C＝300∵∠B=600，∴∠BAF＝900.∵AB＝6∴BF＝12，DE＝∴BC＝BF+FC＝16.∴梯形ABCD的面积＝（2022·北京市第一次月考，19，6）19．如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA＝7，AB＝4，∠COA＝60°，点P为x轴上的—个动点，但是点P不与点O、点A重合．连结CP，D点是线段AB上一点，连PD．(1)点B的坐标___________；(2)当点P运动到什么位置时，△OCP为等腰三角形，写出点P的坐标___________；(3)当∠CPD＝∠OAB，且＝，求这时点P的坐标.32\n【答案】(1)(5，)；(2)(4，0)，(－4，0)(3)设P(x，0)，∵＝，AB＝4∴AD＝1.5，∵∠CPD＝∠OAB＝∠COA＝60°，∴∠OCP＝∠APD，∴⊿OCP∽⊿APD∴PO：AD＝OC：AP∴∴x＝1或x＝6，即P(1，0)或(6，0)（2022·湖南长沙市，23，8）23．如图1－13，某堤坝的横截面是梯形AB—CD，背水坡AD的坡度i(即tana)为1:1.2，坝高为5m，现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽lm，形成新的背水坡EF，其坡度为1:1.4，已知堤坝总长度为4000m．(1)完成该工程需要多少土方?(2)该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成，按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30％，乙队工作效率提高40％，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方?【答案】解(1)作DG⊥AB于点G，作EH⊥AB于点H．∵CD∥AB，∴EH=DG=5m，∵，∴AG=6m，∵，∴FH=7m，∴FA=FH+GH－AG=7+1－6=2(m)．∴S梯形ADEF=(ED+AF)·EH=(1+2)×5=7.5(m2)，32\nV=7.5×4000=30000(m3)．(2)设甲队原计划每天完成xm3土方，乙队原计划每天完成ym3土方．20(x+y)=30000根据题意，得15[(1+30%)x+(1+40%)y=30000．x+y=1500化简，得1.3x+1.4y=2000．x=1000解之，得y=500答：甲队原计划每天完成1000m3土方，乙队原计划每天完成500m3土方．（2022·卢湾区，23，12）已知：如图，梯形中，∥，是的中点，，联结、相交于点，.（1）求证：；（2）求证：四边形是菱形.【答案】证明：（1）∵BD⊥CD，∴，∵是的中点，∴，………………………………………（2分）∵，∴EF⊥BD，即，∴∥，…………（2分）∵∥，∴四边形是平行四边形，………………………………（1分）∴.………………………………………………………………………（1分）（2）∵四边形是平行四边形，∴，…………………………（2分）∴=，又∥，∴四边形是平行四边形，………………（2分）∵，∴四边形是菱形.…32\n（2022·珠海市香洲区，18，7）18.有一水库大坝的横截面是梯形ABCD，AD∥BC，EF为水库的水面，点E在DC上，某课题小组在老师带领下想测量水的深度，他们测得背水坡AB的长为12米，迎水坡DE的长为2米，∠BAD=135°，∠ADC=120°，求水深.（精确到0.1米，）【答案】解：分别过作于于过作于则四边形为矩形．……1分∴在中，∴……4分在中，……5分∴……6分答：水深约为6.7米．（其它解法可参照给分）……7分（2022·石家庄市，26，12）如图，直角梯形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，AD=10，CD=8，BC=16，E为BC上一点，且CE=6，过点E做EF⊥AD于点F，交对角线BD于点M。动点P从点D出发，沿折线DAB方向以2个单位长度/秒的速度向终点B匀速运动，运动时间为t秒。(1)求DE的长；(2)设△PMA的面积为S，求S与t的函数关系式（写出t的取值范围）；（3）当t为何值时，△PMA为等腰三角形。32\n【答案】解：(1)∵∠C=90°，CD=8，CE=6，∴DE=10；……………………………………………………………1分(2)①当点P在DA上时，即0≤t≤5时，∵四边形ABCD为直角梯形，∴AD∥BC，∠C=90°。又∵EF⊥AD，∴∠C=∠FEB=90°，∴tan∠DBC=，∴ME=BEtan∠DBC=5，∴MF=3，∴S△APM=×AP×MF=×3×(10－2t)=－3t+15(0≤t≤5)；………………3分②当点P在AB上时，即5≤t≤10时，∵AD∥BC，且AD=BE，∴四边形ABED为平行四边形，又∵AD=DE=10，∴四边形ABED为菱形，∴AB=BE，∠ABD=∠DBE，BM=BM，∴△ABM≌△EBM；∴∠BAM=∠BEM=90°，AM=ME=5，∴S△APM=×AP×MA=×5×(2t－10)=5t－25(5≤t≤10)；……………………5分ABECDFMMPH(3)（ⅰ）当点P在DA上时，①若MA=MP，∵MF⊥AD，∴AP=2AF，又∵AM=5，FM=3，∴AF=4，∴AP=2AF=8，8=10－2t，∴t=1；…………………………………7分②若AM=AP，∴AP=5,5=10－2t，∴t=；…………………………………………………………8分③若PM=PA，过点P作PH⊥AM于点H,∵∠PHA=∠MFA=90°,∠PAH=∠MAF,32\n∴△AHP∽△AFM，∴AH=,∴AM=2AH，，∴t=；………………10分（ⅱ）当点P在AB上时，∵∠BAM=90°，∴只有AM=AP，∴2t－10=5，∴t=；综上所述，当t=1或t=或t=或t=时，△PMA为等腰三角形．…………12分32\n（2022·山西大学附中3月月考，24，10）24．（本题10分）已知：如图所示，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；BAOCyx（3）在（2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点．是否存在以为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点坐标是（2，4）（2）D（1，3），（3）存在，（2022·上海市静安区2模，21，10）已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°．求：（1）求∠CDB的度数；（第21题图）ABCD（2）当AD＝2时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．32\n【答案】（1）30度；（2）BD＝，梯形ABCD的面积＝（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】32
