50分类讨论一、选择题1.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】2.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】二、填空题1.（2022北京市解密卷1模，15，4）在△ABC中，AB=AC=12cm，BC=6cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为.【答案】7秒或17秒2.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】三、解答题1.（2022北京市解密卷1模，24，12）如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒。（1）当点P在线段AO上运动时.①请用含x的代数式表示OP的长度；②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由.【答案】解：（1）①由题意得∠BAO=30°，AC⊥BD13\n∵AB=2∴OB=OD=1，OA=OC=∴OP=……………2分②过点E作EH⊥BD，则EH为△COD的中位线∴∵DQ=x∴BQ=2－x∴…………………………3分（2）能成为梯形，分三种情况：当PQ∥BE时，∠PQO=∠DBE=30°∴即∴x=此时PB不平行QE，∴x=时，四边形PBEQ为梯形.…………………………2分当PE∥BQ时，P为OC中点∴AP=，即∴此时，BQ=2－x=≠PE，∴x=时，四边形PEQB为梯形.…………2分当EQ∥BP时，△QEH∽△BPO∴∴∴x=1（x=0舍去）此时，BQ不平行于PE，∴x=1时，四边形PEQB为梯形.………………………………2分综上所述，当x=或或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形.……………1分2.（2022北京市解密卷3模，24，12）yxODEABC已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．【答案】解：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得解得∴抛物线的解折式为．（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为13\n则E（，）．又∵点E在直线上，yxODEABCP1FP2P3M∴．解得（舍去），．∴E的坐标为（4，3）．（Ⅰ）当A为直角顶点时过A作交轴于点，设．易知D点坐标为（，0）．由得即，∴．∴．（Ⅱ）同理，当为直角顶点时，点坐标为（，0）．）（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作轴于，设．由，得．．由得．解得，．∴此时的点的坐标为（1，0）或（3，0）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）（3）抛物线的对称轴为．∵B、C关于对称，∴．要使最大，即是使最大．由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大．易知直线AB的解折式为．13\n∴由得∴M（，－）．3.（2022·福建省福州市模拟，22，14分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.（1）求抛物线的解析式.（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设S=PQ2(cm2)①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.（第22题）【答案】解:(1)据题意知:A(0,－2),B(2,－2)，D（4，—）,则解得∴抛物线的解析式为:(2)①由图象知:PB=2－2t,BQ=t,∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2+t2,即S=5t2－8t+4(0≤t≤1)②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.∵S=5t2－8t+4(0≤t≤1),∴当S=时,5t2－8t+4=,得20t2－32t+11=0,解得t=，t=（不合题意，舍去）13\n此时点P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）若R点存在，分情况讨论:【A】假设R在BQ的右边,这时QRPB,则，R的横坐标为3,R的纵坐标为—即R(3,－)，代入,左右两边相等，∴这时存在R(3,－)满足题意.【B】假设R在BQ的左边,这时PRQB,则：R的横坐标为1,纵坐标为－即(1,－)代入,左右两边不相等,R不在抛物线上.【C】假设R在PB的下方,这时PRQB,则：R(1，—)代入,左右不相等,∴R不在抛物线上.综上所述,存点一点R(3,－)满足题意.（3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—）4.（2022·广东省模拟，22，9分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，为直线上一动点，将直线绕点逆时针方向旋转交直线于点；yAPBQCOx（1）当点在线段上运动（不与重合）时，求证：OA·BQ=AP·BP；（2）在（1）成立的条件下，设点的横坐标为，线段的长度为，求出关于的函数解析式，并判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。（3）直线上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】22.（1）证明：∵四边形OABC为矩形∴∠OAP=∠QBP=90°,yAPBQCOx∵∠OPQ=90°,∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP∴∠BPQ=∠AOP,∴△AOP∽△BPQ∴∴OA·BQ=AP·BP－－－－－3分(2)由（1）知OA·BQ=AP·BP∴3×BQ=m(4－m)∴BQ=∴CQ=3－=13\n即L=(0＜m＜4)=∴当m=2时，L（最小）=－－－6分(图1)(3)∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ为等腰三角形，则PO=PQ.当点P在线段AB上时，如图(1)△AOP≌△BPQ∴PB=AO=3△∴AP=4－3=1∴(1,3)当点P在线段AB的延长线上时，如图（2）此时△QBP≌△PAO∴PB=AO=3∴AP=4+3=7（图2）∴(7,3)当点P在线段AB的反向延长线上时，如图（3）此时∵PB＞AB＞AO,∴△PQB不可能与△OPA全等,即PQ不可能与PO相等,此时点P不存在.综上所述，知存在(1,3),(7,3).－－－－－9分（图3）5.（2022·浙江省杭州市1模，223，10分）如图，在平面直角坐标系中，直线L：y=-2x-8分别与x轴、y轴相交于A、B两点，点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P。（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与X轴的位置关系，并说明理由；（2）当K为何值时，以⊙P与直线L的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？13\n【答案】（１）由直线L的解析式可知A（-4，0），B（0，-8）设OP=X，则BP=8-X，AP=8-X由勾股定理得X2+42=（8-X）2解得X=3---------------2分∴OP=R=3∴⊙P与X轴相切--------------2分（2）分两种情况讨论：①当圆心P在线段OB上由⊿AOB∽⊿PEB得把AO=4，AB=4，PE=代入比例式得PB=--------------------2分∴OP=8－∴K=－8-----1分②当圆心P在线段OB的延长线上时：由⊿AOB∽⊿PEB同样可得PB=∴OP=8＋∴K=－－8（2分）13\n∴当K=－8或－－8时，以⊙P与直线L的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形。--------------1分6.（2022·浙江省宁波市七中一模，25，10分）25．小王同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是小王同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐．（填“不变”、“变大”或“变小”）（2）小王同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?（图①）（图②）（图③）【答案】（1）变小.2分（2）问题①：解：∵∴∵∴连结设∴∴在中，∴13\n即时，3分问题②：解：设在中，（Ⅰ）当为斜边时，由得，（Ⅱ）当为斜边时，由得，（不符合题意，舍去）.（Ⅲ）当为斜边时，由得，∴方程无解.另解：不能为斜边.∵∴∴中至少有一条线段的长度大于6.∴不能为斜边.∴由（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）得，当时，经线段的长度为三边长的三角形是直角三角形.5分7.（2022·甘肃省兰州市二模，30，12分）阅读材料，回答问题APBCDQ如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从A向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从D向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤6），那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积；你有什么发现？（3）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？【答案】（1）对于任意时刻的t有：AP=2t，DQ=t，AQ=6-t，当AQ=AP时，△AQP为等腰直角三角形……2分即6-t=2t，∴t=2，∴当t=2时，△QAP为等腰直角三角形.……4分（2）在△AQC中，AQ=6-t，AQ边上的高CD=12，13\n∴S△AQC=在△APC中，AP=2t，AP边上的高CB=6，∴S△APC=………6分∴四边形QAPC的面积SQAPC=S△AQC+S△APC=36-6t+6t=36（cm2）经计算发现：点P、Q在运动的过程中，四边形QAPC的面积保持不变.………8分（3）根据题意，应分两种情况来研究：①当时，△QAP∽△ABC，则有，求得t=1.2（秒）……9分②当时，△PAQ∽△ABC，则有，求得t=3（秒）……11分∴当t=1.2或3秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.……12分APBCDQ图118.（2022·甘肃省兰州市一模，24，12分）如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点,,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.(1)求直线AB的解析式;(2)若S梯形OBCD＝,求点C的坐标;(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.13\n【答案】（1）直线AB解析式为：y=x+．（2）∵ ,＝，∴由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD．∴ ＝CD×AD＝＝．可得CD＝．∴ AD=１，OD＝２．∴C（２，）．（3）当∠OBP＝Rt∠时，如图①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，∴（3，）．②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1．∴（1，）．当∠OPB＝Rt∠时③过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°过点P作PM⊥OA于点M．设Ｐ（x，x+），得OM＝x，PM＝x+由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．===．∴x+＝x，解得x＝．此时，（，）．④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°． ∴ PM＝OM＝．∴ （，）（由对称性也可得到点的坐标）．当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是：（3，），（1，），（，），（，）．13\n9.（2022·河北省一模，26，12分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO的边OC落在x轴的正半轴上，且AB∥OC，BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8．正方形ODEF的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形ABCO的面积．将正方形ODEF沿x轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形ABCO的重叠部分面积为S．（1）求正方形ODEF的边长；（2）①正方形ODEF平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S（S＞0）的变化情况是；A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大后减小D．先减小后增大②当正方形ODEF顶点O移动到点C时，求S的值；AyxBCODEFy（备用图）AxBCO（3）设正方形ODEF的顶点O向右移动的距离为x，求重叠部分面积S与x的函数关系式．【答案】解：（1）∵SODEF=SABCO=（4+8）×6=36 设正方形的边长为x，∴x2=36，x=6或x=-6（舍去）．（2）①C．②S=（3+6）×2+6×4=33．（3）①当0≤x＜4时，重叠部分为三角形，如图①．可得△OM∽△OAN，∴，．∴．②当4≤x＜6时，重叠部分为直角梯形，如图②．S=（x-4+x）×6×=6x-12③当6≤x＜8时，重叠部分为五边形，如图③．可得，MD=（x-6），AF=x-4．S=（x-4+x）-×（x-6）（x-6）=-x2+15x-39．④当8≤x＜10时，重叠部分为五边形，如图④．S==-x2+15x-39-（x-8）×6=-x2+9x+9．⑤当10≤x＜14时，重叠部分为矩形，如图⑤．S=［6-（x-8）］×6=-6x+84．（用其它方法求解正确，相应给分）ABCOxyDEF（图②）ABCOxyDEFM（图③）ABCOxyDEFMN（图①）13\nAOxBCyDEFM（图④）xABCOyDEF（图⑤）．13
