知识点47原创专题一、选择题1.（2022·北京市，题号7，分值3）小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜3分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开7分钟；（5）用烧开的水煮面条和菜要3分钟。以上各工序除（4）外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用（▲）A.14分钟B.13分钟C.12分钟D.11分钟【答案】C2.（2022·北京市，题号9，分值3）视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A．平移B．旋转C．对称D．位似标准对数视力表0.14.00.124.10.154.2【答案】D3.（2022·河南省1模，题号5，分值3）如图，以原点为圆心的圆与反比例函数的图象交于、、、四点，已知点的横坐标为1，则点的横坐标【】A． B．C．D．【答案】C21\n4.（2022·大庆省1模，题号10，分值3）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2,l2，l3之间的距离为3,则AC的长是（）A．B．C．D．7l1l2l3ACB【答案】A5.（2022·杭州市1模，题号9，分值3）如图，圆内接四边形ABCD是由四个全等的等腰梯形组成，AD是⊙O的直径，则∠BEC的度数为（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B6.（2022·杭州市2模，题号10，分值3）如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是（▲）21\nAGBHCFDEA．6B．8C．9.6D．10【答案】C7.（2022·启东中学3模，题号10，分值4）10．如图5所示，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDEF，点P沿直线AB从右向左移动，当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有()A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C8.（2022·湖北省天门市1模，题号7，分值3）如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90º，点A的坐标为(1，2)．将△AOB绕点A逆时针旋转90º，点O的对应点C恰好落在双曲线y＝(x＞0)上，则k＝（）A．2B．3C．4D．6【答案】B9.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】10．（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】11.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】21\n12.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】13.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】14.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】15.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】16.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】17.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】18.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】19.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】20．（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】二、填空题1.（2022杭州市1模，题号12，分值4分）如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数的图象，则阴影部分的面积是 ．21\n【答案】2.（2022杭州市1模，题号16，分值4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于 ．【答案】3.（2022·1模，题号14，分值3）如图，⊙P的半径为2，圆心P在函数（x＞0）的图象上运动，当⊙P与坐标轴相切时，点P的坐标为.【答案】（2，3）或（3，2）4.（2022·启东市X模，题号，分值）16．如图5所示，半径为2的两圆⊙O1和⊙O2均与y轴相切于点O，反比例函数21\n（k>0）的图像与两圆分别交于点A、B、C、D，则图中阴影部分的面积是_______．【答案】5.（2022·河南省2模，题号13，分值3）如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线上的任意一点，PA⊥x轴于点A．则=__________．【答案】26.（2022·湖北省黄冈市1模，题号9，分值3）如图，在Rt中，，．将绕直角顶点C按顺时针方向旋转，得，斜边分别与BC、AB相交于点D、E，直角边与AB交于点F．若，则至少旋转30°度才能得到，此时与的重叠部分（即四边形CDEF）的面积为．【答案】30、21\n7.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】8.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】9.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】10．（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】11.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】12.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】13.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】14.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】15.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】16.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】17.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】18.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】19.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】21\n20．（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】三、解答题1.（2022年安次区，题号23，分值10分）阅读材料：如图23—1，的周长为，面积为S,内切圆的半径为，探究与S、之间的关系．连结，，又，，∴∴解决问题：（1）利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径；（2）若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），如图23—2且面积为，各边长分别为，，，，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）若一个边形（为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为，各边长分别为，，，，，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．21\n答案：（1），三角形为直角三角形……………2分面积，……………4分（2）设四边形内切圆的圆心为，连结，则，……………8分（3）……………10分2.（2022·××省××市X模，题号，分值）22．（本题10分）阅读材料并解答问题：与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，，与正边形各边都相切的圆叫做正边形的内切圆，设正边形的面积为，其内切圆的半径为，试探索正边形的面积．（结果可用三角函数表示）OBACr图①如图①，当时，设切圆O于点，连结，，21\n，，．在中，，，．(1)如图②，当时，仿照（1）中的方法和过程可求得：；（2）如图③，当时，仿照（1）中的方法和过程求；（3）如图④，根据以上探索过程，请直接写出．OBACr图②OBACr图③OBACr图④【答案】解：（1）．2分（2）如图③，当时，设切于点，连结，，，OBACr图③，，，，，．7分21\n（3）．10分3.（2022·河南省1模，题号19，分值9）如图，是一台名为帕斯卡三角的仪器，当实心小球从入口落下，它依次碰到每层菱形挡块时，会等可能的向左或向右落下．⑴分别求出小球通过第2层的位置、第3层的位置、第4层的位置、第5层的位置的概率；⑵设菱形挡块的层数为，则小球通过第层的从左边算起第2个位置的概率是多少？【答案】略解：⑴、、、位置的概率分别为：、、、；⑵4.（2022·杭州市1模，题号21，分值8）2022年3月10日，云南盈江县发生里氏5．8级地震。萧山金利浦地震救援队接到上级命令后立即赶赴震区进行救援。救援队利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），试确定生命所在点C的深度。（结果精确到0.1米，参考数据：）【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D.∵探测线与地面的夹角为30°和60°∴∠CAD=30°，∠CBD=60°在Rt△BDC中，21\n∴在Rt△ADC中，∴∵∴∴答：生命所在点C的深度大约为2.6米。5.（2022·苏州市1模，题号25，分值8）如图，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点，教练船静候于O点，训练时要求A、B两船始终关于O点对称．以O为原点，建立如图所示的坐标系，x轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A、B两船可近似看成在双曲线y＝上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美，训练中当教练船与A、B两船恰好在直线y＝x上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南45°方向上，A船测得AC与AB的夹角为60°，B船也同时测得C船的位置（假设C船位置不再改变，A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示）．(1)发现C船时，A、B、C三船所在位置的坐标分别为A(_______，_______)、B(_______，_______)和C(_______，_______)；(2)发现C船，三船立即停止训练，并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援，设A、B两船的速度相等，教练船与A船的速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到？请说明理由．21\n【答案】(1)A(2，2)，B(－2，－2)，C(2，－2)(2)教练船没有最先赶到6.（2022·安徽省马鞍山市1模，题号22，分值12）已知：，（＞）是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题：（1）利用配方法求，的值，并直接写出，的值；（2）猜想：当n≥3时，，，之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性；（3）根据（2）中的猜想，直接写出的值．【答案】解：（1）移项，得，配方，得，即，开平方，得，即，21\n所以，，． 于是，，．（2）猜想：． 证明：根据根的定义，，两边都乘以，得 ， ① 同理，， ②①＋②，得，因为 ，，， 所以 ，即．（3）47．理由：由（1）知，，，由（2）中的关系式可得： ，，，， ，．即．7.（2022·福州市1模，题号19，分值11）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．(l)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tan∠ACB＝，BC＝2，求⊙O的半径．21\n【答案】19.8.（2022·湖北省黄冈市1模，题号22，分值6）2022年2月中旬，沿海各地再次出现用工荒，甲乙两人是技术熟练的工人，他们参加一次招聘会，听说有三家企业需要他们这类人才，虽然对三家企业的待遇状况不了解，但是他们一定会在这三家企业中的一家工作。三家企业在招聘中有相同的规定：技术熟练的工人只要愿意来，一定招，但是不招在招聘会中放弃过本企业的工人。甲乙两人采用了不同的求职方案：甲无论如何选位置靠前的第一家企业；而乙则喜欢先观察比较后选择，位置靠前的第一家企业，他总是仔细了解企业的待遇和状况后，选择放弃；如果第二家企业的待遇状况比第一家好，他就选择第二家企业；如果第二家企业不比第一家好，他就只能选择第三家企业．如果把这三家企业的待遇状况分为好、中、差三个等级，请尝试解决下列问题：(1)好、中、差三家企业按出现的先后顺序共有几种不同的可能？21\n(2)你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己找到待遇状况好的企业的可能性大？请说明理由？【答案】解：（1）按出现的先后顺序共有6种不同的情况（2）乙找到好工作的可能性大。9.（2022·湖北省天门市1模，题号20，分值7）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交与水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为0.2m,AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长.(参考数据：)FEODCBA【答案】解：∵OD⊥ADFEODCBA∴∠AOD+∠OAC+∠CAD=90°∵∠OAC=32°，∠AOD=40°∴∠CAD=18°∴i==tan18°=1：3在Rt△OAB中，=tan32°21\n∴OB=AB·tan32°=2×=1.24∴BF=OB-OF=1.24-0.2=1.04(m)10．（2022·湖北省天门市2模，题号23，分值10）我市“建设社会主义新农村”工作组到小板大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜。通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌装置，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需要种子、化肥、农药等开支0.3万元。每公顷蔬菜平均可卖7.5万元。（1）基地的菜农共修建大棚x（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y（万元）,写出y关于x的函数关系式。（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获利5万元收益，工作组应建议他修建多少公顷大棚？（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年收益外，其他设施3年内不需增加投资仍可继续使用。如果按三年计算，是否大棚面积越大收益越大？修建面积为多少是可以获得最大利润？请帮工作组为基地修建大棚提一条合理化建议。【答案】11.（2022·湖南1模，题号25，分值12）王老师给出了一个二次函数的若干特点，要求甲、乙、丙三名同学按照这些特点求出它的解析式并画出它的图像，然后根据图像再说出一些特征． 甲同学首先求出解析式、画完图像并回答，他说：①抛物线的顶点为（1，－8）；②抛物线与y轴的交点在x轴的下方；③抛物线开口向上；乙同学第二个求出解析式并画出图像，他回答：①抛物线的对称轴为直线x＝1；②抛物线经过四个象限；③抛物线与x轴的两个交点间的距离为6； 丙同学最后一个完成任务，他说了他的看法：①甲、乙的各种说法都不对；②抛物线过（－1，5）和（5，5）；③抛物线不过（－1，0）．王老师听了他们的意见，作出了评价，他说：“与正确的函数的图像比较，你们三个人中，有一个人三句话都回答正确了，还有一个同学有两句话是对的，另外一个同学很遗憾，回答得都不对” 请你根据王老师的评价，分析一下，哪一位同学的说法都是正确的，并根据正确的说法，求出这条抛物线的解析式．【答案】解：（１）老师说，三个同学中，只有一个同学的三句话都是错的，所以丙的第一句话和老师的话相矛盾，因此丙的第一句话是错的，同时也说明甲、乙两人中有一个人是全对的；21\n（２）如果丙的第二句话是正确的，那么根据抛物线的对称性可知，此抛物线的对称轴是直线ｘ＝2，这样甲的第一句和乙的第一句就都错了，这样又和（１）中的判断相矛盾，所以乙的第二句话也是错的；根据老师的意见，丙的第三句也就是错的．也就是说，这条抛物线一定过点（－1，0）；（３）由甲乙的第一句话可以断定，抛物线的对称轴是直线ｘ＝1，抛物线经过（－1，0），那么抛物线与ｘ轴的两个交点间的距离为4，所以乙的第三句话是错的；由上面的判断可知，此抛物线的顶点为（1，－8），且经过点（－1，0）设抛物线的解析式为：ｙ＝ａ（ｘ－1）－8∵抛物线过点（－1，0）∴0＝ａ（－1－1）－8解得：ａ＝2∴抛物线的解析式为ｙ＝2（ｘ－1）－8即：ｙ＝2ｘ－4ｘ－612.（2022·娄底市1模，题号22，分值8）近年来，政府大力投资改善学校的办学条件，并切实加强对学生的安全管理和安全教育．某中学新建了一栋教学大楼，进出这栋教学大楼共有2道正门和2道侧门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生；当同时开启一道正门和两道侧门时，3分钟可以通过840名学生．（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门分别可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%．安全检查规定：在紧急情况下，全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼的教学室里最多有1500名学生，试问建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由．【答案】13.（2022·石家庄市2模，题号23，分值10）动手操作：如图1，把矩形AA′B′B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点重合，点B与点重合。探究与发现：21\n（1）如图2，若圆柱的地面周长是30cm,,高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝带到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是cm；（丝线的粗细忽略不计）（2）如图3，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？实践与应用：如图4，现有一个圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外面缠绕一层装饰带，为使带子全部包住杯子且不重叠，需要将带子的两端沿AE,CF方向进行裁剪，如图5所示，若带子的宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，则。【答案】解：，探究与发现：（1）50；AA′C（2）如图，在Rt△AA′C中，AA′=30，A′C==10，∴AC=，∴丝线至少为cm．实践与应用：21\n．14.（2022·湖北省枝江市2模，题号23，分值10）如图甲，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF＝90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．（1）若m＝n时，如图乙，求证：EF＝AE；（2）若m≠n时，如图丙，试问边OB上是否还存在点E，使得EF＝AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若m＝tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF＝(t＋1)AE成立？并求出点E的坐标．FOAxyCEB甲FOAxyCEB丙FOAxyCEB乙【答案】解：（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形．如图，在OA上取点G，使AG=BE，则OG=OE．∴∠EGO=45°，从而∠AGE=135°．由BF是外角平分线，得∠EBF=135°，∴∠AGE=∠EBF．∵∠AEF=90°，∴∠FEB+∠AEO=90°．在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO=90°，∴∠EAO=∠FEB，∴△AGE≌△EBF，∴EF=AE．………………………………3分（2）在边OB上不存在点E，使EF=AE成立．理由如下：假设存在点E，使EF=AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．HxOEBAyCF由（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．∴FH=OE，EH=OA．∴点F的纵坐标为a，即FH=a．由BF是外角平分线，知∠FBH=45°，∴BH=FH=a．又由C（m，n）有OB=m，∴BE=OB－OE=m－a，xOEBAyCFG∴EH=m－a+a=m．21\n又EH=OA=n，∴m=n，这与已知m≠n相矛盾．因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立．………………………………6分（3）如（2）图，设E（a，0），FH=h，则EH=OH－OE=h+m－a．由∠AEF=90°，∠EAO=∠FEH，得△AOE∽△EHF，∴EF=（t+1）AE等价于FH=（t+1）OE，即h=（t+1）a，且，即，整理得nh=ah+am－a2，∴．21
