知识点15：二次函数概念、性质和图像一、选择题1.（2022年安次区一模，11，2）抛物线的图象与x轴一个交点的横坐标是P，那么该抛物线的顶点坐标是A．（0，－2）B． C． D．【答案】D2.（2022年北京市解密预测中考模拟试题1，6，3）已知二次函数，则函数值y的最小值是（▲）A.3B.2C.1D.－1【答案】C3.（2022年北京市解密预测中考模拟试题2，10，3）从右图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,观察得出了下面五条信息:①c﹤0;②abc﹥0③a－b+c﹥0④2a－3b=0⑤c－4b﹥0.你认为其中正确的信息个数有………………（▲）A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C4.（2022年北京市解密预测中考模拟试题4，9，3）若抛物线与轴的交点坐标为，则下列说法不正确的是（）Ａ．抛物线的开口向上Ｂ．抛物线的对称轴是直线 Ｃ．当时的最大值为 Ｄ．抛物线与轴的交点坐标为、【答案】C5.（2022年北京市解密预测中考模拟试题5，10，3）二次函数的图像如图所示，则点在（）（第10题图）yxOA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C6.（2022年江苏省盐城市射阳春季摸底考试，7，3）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(3，－2)，那么该抛物线有()84\nA.最小值3B.最大值3C.最小值－2D.最大值－2【答案】D7.（2022张家港市二中一模，一9，3）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,下列结论正确的是(▲)O1xyA.ac＜0B.当x=1时,y＞0C.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于1的实数根D.存在一个大于1的实数x0,使得当x＜x0时,y随x的增大而减小;当x＞x0时,y随x的增大而增大.【答案】D8.（2022泰顺七中模拟卷，9，4）将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．B．C．D．【答案】A9.（2022年河北省模拟考试，7，2）如图是二次函数图象的一部分，该图象在轴右侧部分与轴交点的坐标是【】yOx-1-212-33-112-2（第7题图）A．（，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（3，0）84\n【答案】B10．（2022潍坊中考一模，11，3）二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b2－4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为84\n【答案】D11.（2022江苏省启东中学二模，10，4）根据下表中的二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图像与x轴()A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧D．无交点【答案】B12.（2022年兰州市一模，14，4）二次函数图象如图所示，下列结论错误的是A、B、C、当时，函数值随x增大而增大；当时，函数值随x增大而减小D、二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根【答案】B13.（2022兰州市三模，2，3）抛物线的顶点坐标是…………………………（ ）A、B、C、D、【答案】C14.（2022兰州市二模，14，4）二次函数y＝x2－3x+6的顶点坐标是（ ） A.（－3，6） B.（3，6） C. D.【答案】D84\n15.（2022兰州市二模，15，4）若二次函数y＝ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，则（ ） A.a＞0，b＞0，c＝0 B.a＞0，b＜0，c＝0 C.a＜0，b＞0，c＝0 D.a＜0，b＜0，c＝0【答案】A16.（2022镇江市外国语学校3月模拟题，16，3）已知抛物线（＜0＝过A（，0）、O（0，0）、B（，y1）、C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．＞B．C．＜D．不能确定【答案】A17.（2022安徽省淮北市五校联考四模，8，4）关于x的函数y=(a－5)x2－4x－1与x轴有交点，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠5【答案】AO图518.（2022石家庄市42中中考模拟数学试题)，10，2）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图5所示，下列结论：①a＞0；②函数的对称轴为直线；③当时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0【答案】B19.（2022深圳市初中毕业生学业考试模拟题一，5，3）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图3所示，给出以下结论：①a+b+c<0；②a-b+c<0；③b+2a<0；④abc>0.其中所有正确结论的序号是A.③④B.②③C.①④D.①②③【答案】B20．（2022昆山市第二学期调研测试试卷，10，3）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0<x1<1，2<x2<3时，y1与y2的大小关系正确的是 A．y1≥y2B．y1>y2C．y1<y2D．y1≤y2【答案】B84\n21．（2022湖南省模拟题，5，3）二次函数ｙ＝（2ｘ－1）＋2的顶点的坐标是（ ）A．（1，2） B．（1，－2） C．（，2） D．（－，－2）【答案】C22．（2022湖北省枝江市十校联考试题，14，3）抛物线图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为(▲)xxxxx第15题图【答案】D11Oxy21．（2022湖北省天门市麻洋中学三模，7，3）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤【答案】D22．（2022湖北省天门市麻洋中学三模，8，3）对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于An、Bn两点，以表示这两点间的距离，则的值是()A．B．C．D．【答案】ByxO84\n23．（2022湖北省天门市麻洋中学一模，8，3）已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D24．（2022福州市数学模拟试卷，6，4）图6(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图6(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式A．B．C．D．【答案】C25．（2022福州市数学模拟试卷，8，4）根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧D．无交点【答案】B26．（2022北京四中第一次月考，7，4）如图，抛物线84\n与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若，则b的值为()A．B．C．D．【答案】A27．（2022北京四中第一次月考，8，4）已知抛物线满足：(1)；(2)；(3)与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论不正确的是()．A．B．C．D．【答案】D28．（2022年宁夏贺兰一中二模，2，3）已知二次函数的图象如下图所示，ａ、ｂ、ｃ满足（）Ａ．a＜0,b＜0,c＞0B.a＜0,b＜0,c＜0C．a＜0,b＞0,c＞0D.a＞0,b＜0,c＞0【答案】A29．（2022年宁夏贺兰一中二模，5，3）已知抛物线，图象与y轴交点的坐标是（）A．（0，3）B.（0，-3）C.（0，）D.（0，-）【答案】C30．（2022年上海杨浦区二模，5，4）根据下表中关于二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴84\n（▲）x…－1012…y…－1－2…（A）只有一个交点；（B）有两个交点，且它们分别在y轴两侧；（C）有两个交点，且它们均在y轴同侧；（D）无交点．【答案】B31．（2022年上海卢湾区二模，3，4）抛物线的顶点坐标是（）A．(1，0)；B．(–1，0)；C．(–2，1)；D．(2，–1)．【答案】A32．（2022年大庆市六十三中数学月考题，7，3）二次函数的图象与轴交于、两点，与轴相交于点．下列说法中，错误的是（）A．是等腰三角形B．点的坐标是C．的长为2D．随的增大而减小【答案】D33．（2022年大庆市六十三中数学月考题，8，3）已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（ ）A．B．C．D．【答案】C二、填空题1.（2022年北京市解密预测中考模拟试题5，21，4）将抛物线的图像向右平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为___________【答案】y=(x-3)22.（2022年重庆一中3月月考，14，4）小颖同学想用“描点法”画二次函数的图象，取自变量x的5个值，分别计算出对应的y值，如下表：…012……112－125…由于粗心，小颖算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x=．【答案】23.（2022年河北省中考一模，15，3）抛物线y=（x+1）2-2的顶点坐标是．【答案】(-1,-2)84\n4.（2022张家港市二中一模，二8，3）二次函数的图象关于原点O（0,0）对称的图象的解析式是_________________。【答案】5.（2022年大田二中中考模拟，15，4）若二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解▲．y(第15题图)Ox13【答案】-16.（2022泰顺七中模拟卷，12，5）二次函数的对称轴为直线．【答案】xyA0B1A1A2B2B3A37.（2022江苏省常州市中考模拟题，18，3）二次函数的图像如右图所示，点位于坐标原点，，，，…，在y轴的正半轴上，，，，…，在二次函数第一象限的图像上，若△,△，△，…，△都为等边三角形，请计算△的边长＝；△的边长＝；△的边长＝。【答案】1，2，20228.（2022镇江市外国语学校3月模拟题，8，2）抛物线y=x2－2x－3的与y轴交点坐标是__________.顶点坐标是__________．【答案】（0，-3），（1，-4）84\n9.（2022宁波七中3月模拟题，17，3）已知二次函数y=ax2+bx+c，当自变量x取两个不同的值x1,x2时，函数值相等，则当自变量x取x1+x2时的函数值为__________________.（用含a，b，c的代数式表示）【答案】c10．（2022安徽省淮北市五校联考四模，11，5）抛物线y=2x2+4x-1顶点坐标是____________。【答案】（-1，-3）11.（2022石家庄市42中中考模拟数学试题，15，3）若把函数y=化为y=的形式，其中为常数，则=．【答案】-312.（2022山东省青州市中考数学模拟试卷，18，3）如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线＝1，若其与轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式＞0的解集是【答案】x＞3或x＜－113.（2022娄底市初中毕业学业考试，14，4）二次函数y＝(x－1)2－2的图象的对称轴是直线___________．【答案】x=114.（2022湖北省天门中学模拟试题，9，4）如图是二次函数在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①＞0；②++＜0；③2-＜0；④2+8＞4中正确的是（填序号）．______.【答案】②④15.（2022北京四中第一次月考，12，4）已知抛物线过点A(－2，－1)，B(1，2)，对于任何非0的实数a，抛物线都不过点P(m，m2＋1)，则m的值是______.【答案】－2或016.（2022江苏省苏州市五模，17，3）抛物线y＝ax2＋bx＋c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的解析式是_______．84\n【答案】17.（2022江苏省苏州市四模，17，3）已知二次函数y＝2x2－4x＋3当自变量x取两个不同的值x1，x2时函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为______．【答案】318.（2022兰州市一模，7，4）抛物线的顶点坐标是________________【答案】（2，0）19.（2022兰州市一模，11，4）抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是__________【答案】－3﹤x﹤120.（2022山东省荷泽二模，3，2）平移二次函数的图象，使它经过原点，写出一个平移后所得图象表示的二次函数的解析式__________.【答案】21.（2022年宁夏贺兰一中二模，19，3）把二次函数y=－2x2＋4x+3化成y=a（x+h）2+k的形式是其开口方向是.【答案】，向下22.（2022上海闵行区二模，13，4）将二次函数的图像沿着y轴向上平移3个单位，那么平移后的二次函数图像的顶点坐标是▲.【答案】（1，0）23.（2022年浦东新区中考数学预测卷，1，4）请写出一个图像的对称轴为y轴，且经过点（2,-4）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是▲．（第13题）OxyAP【答案】等（满足即可）24．（2022年河南省二模，13，3）如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线84\n上的任意一点，PA⊥x轴于点A．则=__________．【答案】2（第12题图）25.（2022杭州市一模，12，4）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为．【答案】-1，326.（2022杭州市一模，15，4）二次函数y=x2-2x-3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是_________．【答案】y=-x2-2x+3（写成顶点式也对）27.（2022杭州市二模，16，4）如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30o，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是.【答案】(，)(，)(3，)(2，2)28.（2022兰州市一模，18，4）某同学利用摆占法画二次函数的图象时，列出的部分数据如下表：X01234y30－203经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解析式：【答案】84\n三、解答题1.（2022年北京市解密预测中考模拟数学试卷2，24，12）已知抛物线y=－x2+bx+c经过点A（0，4），且抛物线的对称轴为直线x=2。（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线的顶点为B，在抛物线上是否存在点C，使得A、B、O、C四点构成的四边形为梯形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。（3）试问在抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与对称轴相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出对称轴被⊙P所截得的弦EF的长度；若不存在，请说明理由。【答案】（1）由题意得，∴b=4、c=4∴y=－x2+4x+4（2）y=－(x－2)2+8,B(2,8),①AB∥OC时，直线AB:y=2x+4,则CO为y=2x解得，∴……(2分)②AC∥OB时，直线OB:y=4x,则AC为y=4x+4解得，C(0,4)与点A重合，舍去。（3）①当点P在x轴上方时，y=－x2+4x+4=3，解得x1=2+,x2=2－,P1(2+,3),P2(2－,3)此时P到对称轴直线x=2的距离为＜3，即⊙P与对称轴相交。对称轴被⊙P所截得的弦EF的长度为4。②当点P在x轴下方时，y=－x2+4x+4=－3，解得x1=2+,x2=2－,P3(2+,－3),P4(2－,－3)此时P到对称轴直线x=2的距离为＞3，即⊙P与对称轴不相交。yxODEABC2.（2022年北京市解密预测中考模拟试题3，24，12）已知：直线84\n与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．【答案】（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得解得∴抛物线的解折式为．（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为则E（，）．又∵点E在直线上，yxODEABCP1FP2P3M∴．解得（舍去），．∴E的坐标为（4，3）．（Ⅰ）当A为直角顶点时过A作交轴于点，设．易知D点坐标为（，0）．由得即，∴．84\n∴．（Ⅱ）同理，当为直角顶点时，点坐标为（，0）．）（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作轴于，设．由，得．．由得．解得，．∴此时的点的坐标为（1，0）或（3，0）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）（3）抛物线的对称轴为．∵B、C关于对称，∴．要使最大，即是使最大．由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大．易知直线AB的解折式为．∴由得∴M（，－）．3.（2022年北京市解密预测中考模拟试题5，28，12）如图（1），在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点84\n的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图（2），若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积._y_（1）_y_x_O_E_D_C_B_A_O_A_C_D_（2）10【答案】（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）将A、B、C三点的坐标代入得解得：所以这个二次函数的表达式为：方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）设该表达式为：将C点的坐标代入得：所以这个二次函数的表达式为：（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）84\n（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3）理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：∴E点的坐标为（－3，0）由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形∴存在点F，坐标为（2，－3）方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：∴E点的坐标为（－3，0）∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合∴存在点F，坐标为（2，－3）（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），则N（r+1，－r），代入抛物线的表达式，解得∴圆的半径为或．（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，－3），直线AG为．设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．当时，△APG的面积最大此时P点的坐标为，．4.（2022年杭州市第一次中考模拟考试，24，12）已知：如图，直线：经过点一组抛物线的顶点（为正整数）依次是直线84\n上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：（为正整数），设（1）求的值；（2）求经过点的抛物线的解析式（用含的代数式表示）；（3）定义：若抛物线的顶点及抛物线与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的的值．yOMxnl123…【答案】解：（1）∵在上，∴，∴．（2）由（1）得：，∵在上，∴当时，，∴．解法一：∴设抛物线表达式为：，又∵，∴，∴，∴，∴经过点的抛物线的解析式为：．解法二：∵，∴，，84\n∴设，把代入：，得，∴抛物线的解析式为．（3）存在美丽抛物线．由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵，∴等腰直角三角形斜边的长小于2，∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1．∵当时，，yOMxnl123…当时，，当时，，∴美丽抛物线的顶点只有．①若为顶点，由，则；②若为顶点，由，则，5.（2022年江苏省盐城市射阳春季摸底考试，28，12）已知：在平面直角坐标系中xOy中，一次函数y＝kx－6k的图象与x轴交于点A，抛物线y＝ax＋bx＋c经过O、A两点．(1)试用含a的代数式表示b；(2)设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA长为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰好与OD相切，求⊙D的半径长及抛物线的解析式；4321-1-2-3-4－1－2－3－4123456Oxy(3)设点B是满足(2)84\n中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠POA＝∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A(6，0)b＝－6a(2)①当a＞0，解得OD＝3，，解得抛物线解析式为y＝x－2x②当a＜0，解得OD＝3，解得抛物线的解析式为y＝－x＋2x综上，⊙D的半径为3，抛物线的解析式为y＝x－2x或y＝－x＋2x(3)抛物线在x轴上方的部分存在点P，使∠PDA＝，设点P的坐标为(x，y)，且y＞0．①当点P在抛物线y＝x－2x上时，P(6＋，2＋1)；②当点P在抛物线y＝－x＋2x上时，P(6－，2－1)综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为(6＋，2＋1)或(6－，2－1)6.（2022年桂林市中考适应性检测题，26，12）如图所示,在平面直角坐标系xoy中,矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且18a+c=0.OAPBQxCy(1)求抛物线的解析式.(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.①移动开始后第t秒时,设△PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围.②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标,如果不存在,请说明理由.84\n【答案】（1）设抛物线的解析式为，由题意知点A（0，－12），所以，又18a+c=0，∵AB∥OC，且AB=6,∴抛物线的对称轴是∴所以抛物线的解析式为（2）①，t的取值范围:②当时，S取最大值为9。这时点P的坐标（3，－12），点Q坐标（6，－6）若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：（Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，－18），将（3，－18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，－18）；（Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，－6），将（3，－6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件。（Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，－6），将（9，－6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件。综上所述，点R坐标为（3，－18）7.（2022齐齐哈尔中考数学一模，22，6）二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过坐标原点，且与x轴交于A(－2,0)．（1）求此二次函数解析式及顶点B的坐标；（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP＝3，直接写出点P的坐标．【答案】（1）解：将A、O两点坐标代入解析式，有c＝0，－4－2b＋c＝0∴c＝0，b＝－2解析式是：y＝－x2－2x顶点B坐标(－1，1)（2）P1(－3，－3)P2(1，－3)yxBACO8.（2022张家港市二中一模，三11，9）如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴交于点，的面积为．（1）求该二次函数的关系式；（2）过84\n轴上的一点作轴的垂线，若该垂线与的外接圆有公共点，求的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)≤m≤(3)存在,D(，)或D（，9）9.（2022年大田二中中考模拟，22，12）如图1，中，，，点在线段上运动，点、分别在线段、上，且使得四边形是矩形．设的长为，矩形的面积为，已知是的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）．（1）求的长；（2）当为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值．为了解决（1）这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？李明：因为抛物线上的点是表示图1中的长与矩形面积的对应关系，那么，（12，36）表示当时，的长与矩形面积的对应关系.赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！O孔明：哦，这样就可以算出，问题（1）就可以解决了.请你完成问题（1）和问题（2）。84\n图2【答案】（1）16（2）AP=8时，矩形的面积最大，最大值为4810．（2022江苏省常州市中考模拟题，30，12）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.【答案】(1)点A的坐标为（4，8）将A(4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx8=16a+4b得0=64a+8b解得a=-,b=4∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=∴PE=AP=t．PB=8-t．∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.84\n∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8.∴EG=-t2+8-(8-t)=-t2+t.∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.②共有三个时刻.t1=，t2=，t3=40-16．11.（2022潍坊中考一模，24，14）已知：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=－1与轴交于A、B两点，与y轴交于点其中A（－3,0）、C（0，－2）（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得⊿PBC的周长最小．请求出点P的坐标．（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E连接PD、PE．设CD的长为m，⊿PDE的面积为s．求s与m之间的函数关系式．试说明s是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）由题意知：B（1,0）可设y=a（x＋3）（x－1）=a（x2＋2x－3）=ax2＋2ax－3a（a0）∴－3a=－2a=从而y=x2＋x－2（2）连接AC交对称轴于点P由A（－3，0）、C（0，－2）得直线AC：y=－x－284\n令x=－1得：y=－∴点P（－1，－）。（3）存在最大值，理由：∵即∴∴即∴OE=3－m连结==∵∴当时，12.（2022兰州市一模，25，12）已知：如图，抛物线的顶点C在以D（―2，―2）为圆心，4为半径的圆上，且经过⊙D与轴的两个交点A、B，连结AC、BC、OC。（1）求点C的坐标；（2）求图中阴影部分的面积；（3）在抛物线上是否存在点P，使DP所在直线平分线段OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）如图，作CH⊥轴，垂足为H，∵直线CH为抛物线对称轴，∴H为AB的中点。∴CH必经过圆心D（―2，―2）。∵DC=4，∴CH=6∴C点的坐标为（―2，―6）。84\n（2）连结AD，在Rt△ADH中，AD=4，DH=2，∴，。。。6分∴∴∴阴影部分的面积（3）又∵，H点坐标为（―2，0），H为AB的中点，∴A点坐标为（―2―2，0），B点坐标为（，0）。又∵抛物线顶点C的坐标为（―2，―6），设抛物线解析式为∵B（，0）在抛物线上，∴，解得。∴抛物线的解析式为设OC的中点为E，过E作EF⊥轴，垂足为F，连结DE，∵CH⊥轴，EF⊥轴，∴CH∥EF∵E为OC的中点，∴。即点E的坐标为（―1，―3）。设直线DE的解析式为，∴，解得，∴直线DE的解析式为。若存在P点满足已知条件，则P点必在直线DE和抛物线上。设点P的坐标为（，），∴，即点P坐标为（，），∴，解这个方程，得，∴点P的坐标为（0，－4）和（－6，2）。13.（2022兰州市四模，25，22）已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；84\n（3）求△ABC的面积；（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 ∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得 解得∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8 （3）∵AB＝8，OC＝8∴S△ABC＝×8×8=32（4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC∴＝ 即＝∴EF＝过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝∴＝ ∴FG＝·＝8－m∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）84\n＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m 自变量m的取值范围是0＜m＜8 （5）存在．理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8 且－＜0，∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）∴△BCE为等腰三角形．14.（2022兰州市三模，19，6）已知二次函数的图象与轴交于A、B两点,且经过C（1，－2）,求点A、B的坐标和的值.【答案】令,得，∵，∴∴A（－1，0），B（3，0），再将点C的坐标代入函数式可得：15.（2022兰州市三模，25，12）已知：在Rt△ABO中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,若以O为坐标原点,OA所在直线为轴,建立如图所示平面直角坐标系,点B在第一象限内,将Rt△ABO沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.（1）求点C的坐标；（2）若抛物线经过C、A两点,求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一动点,过P作轴的平行线,交抛物线于点M,问：是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为很等腰梯形？若存在,请求出此时点P的坐标；若不存在,请说明理由.CBA84\n【答案】（1）点C（）；（2）抛物线的解析式为：（3）存在,此时点P为.yOxPABC16.（2022兰州市二模，29，10）一名篮球运动员传球，球沿抛物线y＝－x2+2x+4运行，传球时，球的出手点P的高度为1.8米，一名防守队员正好处在抛物线所在的平面内，他原地竖直起跳的最大高度为3.2米， 问：（1）球在下落过程中，防守队员原地竖直起跳后在到达最大高度时刚好将球断掉，那么传球时，两人相距多少米？ （2）要使球在运行过程中不断防守队员断掉，且仍按抛物线y＝－x2+2x+4运行，那么两人间的距离应在什么范围内？（结果保留根号）【答案】当y=1.8米时则有：，∴，解得：，，当y=3.2米时则有：，∴，解得：，，所以两人的距离为：AC==.84\n（2）由（1）可知：当y=1.8米时，有，，当y=3.2时，有，，∴，，∴，∴两人之间的距离在到之间.17.（2022杭州市上城区一模，24，12）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.（1）求抛物线的解析式.（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设S=PQ2(cm2)①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.（第24题）（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.【答案】(1)据题意知:A(0,－2),B(2,－2)，D（4，—）,则解得∴抛物线的解析式为:……3分（三个系数中，每对1个得1分）(2)①由图象知:PB=2－2t,BQ=t,∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2+t2,即S=5t2－8t+4(0≤t≤1)……2分（解析式和t取值范围各1分）②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.∵S=5t2－8t+4(0≤t≤1),∴当S=时,5t2－8t+4=,得20t2－32t+11=0,84\n解得t=，t=（不合题意，舍去）此时点P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）若R点存在，分情况讨论:【A】假设R在BQ的右边,这时QRPB,则，R的横坐标为3,R的纵坐标为—即R(3,－)，代入,左右两边相等，∴这时存在R(3,－)满足题意.【B】假设R在BQ的左边,这时PRQB,则：R的横坐标为1,纵坐标为－即(1,－)代入,左右两边不相等,R不在抛物线上.【C】假设R在PB的下方,这时PRQB,则：R(1，—)代入,左右不相等,∴R不在抛物线上.综上所述,存点一点R(3,－)满足题意.（3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—）18.（2022海南省一模，24，13）已知：如图8，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A(0,6)，D(4，6），且AB＝.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC=S梯形ABCD?若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.(图8)84\n【答案】(1)B(-2,0)(2)(3)存在。当y=0时，∴∴D(6,0)设点P的纵坐标为y,BC=8,AD=4.∴∴y=±9当y=9时，，此方程无实数解；当y=-9时，，解得所以，P点的坐标为或19.（2022宁波七中3月模拟题，26，12）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．CEDGAxyOBF（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．【答案】（1）由题意，得解得，b=－1．所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（－1，）．（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小，即最小为DH+CH=DH+HB=BD=．而．∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH=．设直线BD的解析式为y=k1x+b，则解得，b1=3．84\n所以直线BD的解析式为y=x+3．由于BC=2，CE=BC∕2=，Rt△CEG∽△COB，得CE:CO=CG:CB，所以CG=2.5，GO=1.5．G（0，1.5）．同理可求得直线EF的解析式为y=x+．联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．（3）设K（t，），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．则KN=yK－yN=－（t+）=．所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=KN（t+3）+KN（1－t）=2KN=－t2－3t+5=－（t+）2+．即当t=－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．20．（2022安徽省淮北市五校联考四模，23，14）在平面直角坐标系中，已知，，且以为直径的圆交轴的正半轴于点，过点作圆的切线交轴于点．（1）求过三点的抛物线的解析式（2）求点的坐标（3）设平行于轴的直线交抛物线于两点，问：是否存在以线段为直径的圆，恰好与轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由？yxOCDBA1284\n【答案】解：（1）令二次函数，则过三点的抛物线的解析式为（2）以为直径的圆圆心坐标为（-1.5，0）CD为圆切线C⊥CD∠O′CO+∠DCO=90°坐标为（8/3，0）（3）存在抛物线对称轴为直线设满足条件的圆的半径为，则的坐标为或而点在抛物线上84\n故存在以为直径恰好与轴相切的圆，该圆的半径为或21．（2022珠海市香洲区中考模拟试卷，22，9）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）[图14(2)、图14(3)为解答备用图.(1)k=_______，点A的坐标为___________，点C的坐标为_____________.(2)设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1），A（-1，0），B（3，0）．（2）如图14（2）抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM．则△AOC的面积=，△MOC的面积=，△MOB的面积=6，∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．(说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．)图14（3）（3）如图14（3），设D（m，），连结OD．则0＜m＜3，＜0．且△AOC的面积=，△DOC的面积=，22．（2022岱山县中考一模，24，12）已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC.（1）求∠PCB的度数；84\n（2）若P，A两点在抛物线y=－x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；（3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标.【答案】(1)∠PCB=30°(2)点C（0，1）满足上述函数关系式，所以点C在抛物线上.（3）Ⅰ、若DE是平行四边形的对角线，点C在y轴上，CD平行x轴，∴过点D作DM∥CE交x轴于M,则四边形EMDC为平行四边形，把y=1代入抛物线解析式得点D的坐标为（，1）把y=0代入抛物线解析式得点E的坐标为（，0）∴M(,0);N点即为C点，坐标是(0,1);Ⅱ、若DE是平行四边形的边，则DE=2,∠DEF=30°,过点A作AN∥DE交y轴于N，四边形DANE是平行四边形，∴M(,0),N(0,-1);同理过点C作CM∥DE交y轴于N，四边形CMDE是平行四边形，∴M(,0),N(0,1).23．（2022广东省模拟卷，23，12）如图，已知关于的一元二次函数（）的图象与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，顶点为．⑴求出一元二次函数的关系式；⑵点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为．若，的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；⑶探索线段上是否存在点，使得为直角三角形，如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由．（第23题）OxyBM·CAPD84\n【答案】⑴、．得，所以；⑵易得．设：，则得所以．所以，（）．⑶存在．在中，是锐角，当时，，得矩形．由，解得，所以；当时，，此时，即．．解得，因为，所以，所以．24．（2022盐城市九年级质量监测题，22，10）已知抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A.请直接写出使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并直接写出这个最短总路径的长.【答案】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c∵它过点A（0,3）、B（1,0）、C（5,0）c=384\n∴a+b+c=025a+5b+c=0解得a=b=c=3∴抛物线的解析式为；（2）∵线段OA的三等分点为D（0，1）或（0，2）；当点D为（0，1）时，利用待定系数法（略）可求得直线DC的解析式为当点D为（0，2）时，同理可得直线DC的解析式为；（3）点E（2，0），点F（3，）.最短总路径的长为25．（2022盐城市初级中学一模，28，12）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长．（3）过点作圆的切线交的延长线于点，在抛物线上找一点Q，使△BDQ的面积与△BDP的面积相等，求点Q的坐标．OxyNCDEFBMA84\n【答案】（1）(2)(3)(－2,－5)25．（2022年石家庄市初中毕业班调研检测，22，9）如图，已知抛物线与x轴交于点A(－1,0),E(3,0),与y轴交于点B,且该函数的最大值是4.（1）抛物线的顶点坐标是（，）（2）求该抛物线的解析式和B点的坐标；（3）设抛物线顶点是D，求四边形AEDB的面积；（4）若抛物线与上图中的抛物线关于x轴对称，请直接写出m的值。【答案】（1）(1，4)；(2)设抛物线的解析式为，∵抛物线顶点坐标为(1，4)，∴，又∵抛物线过点A(－1，0)，∴，解得a=－1．∴（或为所求）．当x=0时，y=3，∴B(0，3)．（3）过点D作DH⊥x轴于点H,∵A(－1，0)，B(0，3)，∴OA=1，OB=3，∴S△AOB=×OA×OB=；又∵D(1，4)，E(3，0)，∴DH=4，EH=2∴S△DHE=×DH×HE=4；又∵B(0，3)，D(1，4)，∴S梯形BOHD=×(OB+DH)×OH=；∴S四边形AEDB=S△AOB+S梯形BOHD+S△DHE=9．(4)m=1．26．（2022石家庄市42中中考模拟数学试题，22，9）已知反比例函数y＝84\n的图象与二次函数y＝ax2＋x－1的图象相交于点（2，2）（1）求a和k的值；（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什么？【答案】（1）；（2）过顶点．27．（2022深圳市初中毕业生学业考试模拟题一，22，10）如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；M（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）A（—1，0）B（3，0）C（0，3）（2）y=x+3，证明AD=CN，AD∥CN可得（3）假设存在，设PE=m，则PM=4—m过点P作PF⊥DM于点F，则PF=PA=（∵∠M=45度）∴解得m=∴存在，P点的坐标为（1，）28．（2022山西大学附中年3月九年级数学月考试题，24，10）已知：如图所示，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；（3）在（2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点．是否存在以为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．BAOCyx84\n【答案】29．（2022山东省青州市中考数学模拟试卷，25，12）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）.已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；(第25题（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.【答案】（1）解：设抛物线为.∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.(第25题)∴抛物线为.(2)答：与⊙相交.证明：当时，，.∴为（2，0），为（6，0）.∴.84\n设⊙与相切于点，连接，则.∵，∴.又∵，∴.∴∽.∴.∴.∴∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.∴抛物线的对称轴与⊙相交.(3)解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.可求出的解析式为、m.设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.∴.∵,∴当时，的面积最大为.此时，坐标为（3，）.30．（2022娄底市2022初中毕业学业考试，24，8）已知：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标是(－2,0)，点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长(OC＜OB)是方程x2－10x＋24＝0的两个根．（1）求B、C两点的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．【答案】（1）B(6,0)C(0,4)（2）31．（2022昆山市第二学期调研测试试卷，28，10）已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝－1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（－3，0）、C(0，－2) (1)求这条抛物线的函数解析式 (2)已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，请求出点P的坐标84\n (3)若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE//PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)存在，P（－1，－）(3)，存在最大值，为32．（2022黄冈市中考模拟试题数学A卷，25，15）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G。EGQPOyxCBA求直线AC的解析式；设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标；过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由。【答案】(1)(2)(3)一共四个点，(0，)，(0，0)，(0，)，（0，－2）。（4）当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值。84\n 33．（2022年长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷，25，10）如图4—13，对称轴为直线x=一的抛物线经过点A(－6，0)和点B(0，4)．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)设点E(x，y)是抛物线上的一个动点，且位于第三象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求□OEAF的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当□OEAF的面积为24时，请判断□OEAF是否为菱形?②是否存在点E，使□OEAF为正方形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+)2+k(k≠0)，则依题意得：a+k=0a+k=4解之得：a=，k=－即：y=(x+)2－，顶点坐标为(－，－)．(2)∵点E(x，y)在抛物线上，且位于第三象限．∴S=2S△OAE=2××0A×(－y)=－6y=－4(x+)2+25(－6<x<－1)．84\n当S=24时，即－4(x+)2+25=24，解之得：x1=－3,x2=－4COOBAyx∴点E为(－3，－4)或(－4，－4)当点E为(－3，－4)时，满足OE=AE，故□OEAF是菱形；当点E为(－4，－4)时，不满足OE=AE，故□OEAF不是菱形．②当0E⊥AE且OE=AE时，□OEAF是正方形，此时点E的坐标为(－3，－3)，而点E不在抛物线上，故不存在点E，使□OEAF为正方形。34．（2022年湖北武汉3月月考，25，12）如图抛物线y=x2-(a+1)x+a交x轴于A(1，0)、B两点，交y轴于C点。（1）若S△ABC=3，求抛物线解析式。COOBAyx（2）在（1）的条件下，将直线AC绕平面内一点旋转90°交抛物线于M、N两点，（M在N左侧）若MN=AC时，求M、N坐标。COOBAyxCOOBAyx（3）若对称轴交线段BC于P，交AB于S，动点T在对称轴正半轴上运动，直线AT交BC于Q，设TS=b，且PB2=PQ·PC，求b与a之间的函数关系式。【答案】（1）84\n（2）(3)35．（20222022湖北省枝江市十校联考试题，24，11）如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝|CE－EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由．（2）令m＝，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若CO＝1，CE＝，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx2＋bx＋c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式．ACBFOEGHyMNQx（4）在（3）的条件下，若抛物线y＝mx2＋bx＋c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）EO＞EC，理由如下：由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC，故EO＞EC…2分（2）m为定值∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC)·CO∴（3）∵CO=1，∴EF=EO=∴cos∠FEC=∴∠FEC=60°，∴84\n∴△EFQ为等边三角形，作QI⊥EO于I，EI=，IQ=∴IO=∴Q点坐标为∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)，Q，m=1∴可求得，c=1∴抛物线解析式为（4）由（3），当时，＜AB∴P点坐标为∴BP=AO方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：①时，∴K点坐标为或②时，∴K点坐标为或故直线KP与y轴交点T的坐标为方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°①当∠RTP=30°时，84\n②当∠RTP=60°时，∴36．（2022湖北省天门中学模拟试题，17，12）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为(－１，０)，（５，０），（０，２）．（１）求过A、B、C三点的抛物线解析式．（２）若点P从Ａ点出发，沿ｘ轴正方向以每秒１个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转９０°得到线段PF,连接FB．若点P运动的时间为ｔ秒，（０≤ｔ≤６）设△PBF的面积为S．①求S与ｔ的函数关系式．②当ｔ是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？xy（３）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．备用图yx备用图yx【答案】（１）（２）①②当时，△PBF的面积最大，最大面积是（3）能，F（，）或F（5，2）37．（2022湖北省天门市麻洋中学三模，25，10）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示－，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、84\n轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．CBAOyx图1DM图2O1A1OyxB1C1DM【答案】（1）对称轴：直线解析式：或顶点坐标：M（1，）（2）由题意得3得：①得：②把②代入①并整理得：(S＞0)(事实上，更确切为S＞6)当时，解得：(注：S＞0或S＞6不写不扣分)把代入抛物线解析式得∴点A1（6，3）（3）存在…解法一：易知直线AB的解析式为，可得直线AB与对称轴的CBAOyx图1-1DMEPQFG交点E的坐标为∴BD=5，DE=，DP=5－t，DQ=t84\n当∥时，得下面分两种情况讨论:设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G①当时，如图1-1∵△FQE∽△FAG∴∠FGA＝∠FEQCBAOyx图1-2DMEFPQG∴∠DPQ＝∠DEB易得△DPQ∽△DEB∴∴得∴(舍去)②当时，如图1-2∵△FQE∽△FAG∴∠FAG＝∠FQE∵∠DQP＝∠FQE∠FAG＝∠EBD∴∠DQP＝∠DBE易得△DPQ∽△DEB∴∴，∴∴当秒时，使直线、直线、轴围成的三角形与直线、直线、抛物线的对称轴围成的三角形相似解法二：可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得,,∴,.38．（2022湖北省天门市麻洋中学二模，25，10）如图所示，平面直角坐标系中,抛物线y=ax+bx+c经过A(0,4)、B(-2,0)、C(6,0).过点A作AD∥x轴交抛物线于点D,过点D作DE⊥x轴，垂足为点E.点M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴负半轴上，且F(0,-2).(1)求抛物线的解析式，并直接写出四边形OADE的形状；(2)当点P、Q从C、F两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿CB、FA方向运动，点P运动到O时P、Q两点同时停止运动.设运动的时间为t秒,在运动过程中，以P、Q、O、M四点为顶点的四边形的面积为S,求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)在抛物线上是否存在点N，使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点N的坐标；不存在，说明理由.84\n（第25题备用图）【答案】（1）∵抛物线经过A(0,4)、B(-2,0)、C(6,0)∴得到c=44a-2b+c=036a+6b+c=0解得a=-,b=,c=4∴抛物线的解析式为y=-x+x+4（或y=-（x+2）（x-6）或y=-(x-2)+.）四边形OADE为正方形.（2）根据题意可知OE=OA=4OC=6OB=OF=2∴CE=2∴CO=FA=6∵运动的时间为t∴CP=FQ=t过M作MN⊥OE于N,则MN=2当0≤t＜2时，OP=6-t,OQ=2-t∴S=+=(6-t)×2+(6-t)(2-t)=(6-t)(4-t)∴S=t-5t+12.当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形.(不写也可)84\n当2＜t＜6时，连接MO,ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45∵FQ=CP=t,FO=CE=2∴OQ=EP∴△QOM≌△PEM∴四边形OPMQ的面积S==×4×2=4综上所述，当0≤t＜2时，S=t-5t+12；当2＜t＜6时，S=4（3）存在N(1,5),N(5,),N(2+,-2),N(2-,-2)39．（2022湖北省天门市麻洋中学一模，22，8）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?【答案】（1）A、B、C的坐标分别为，，（2）（3）设抛物线的解析式为，代入，可得，∴平移后的抛物线的解析式为。∴平移了个单位40．（2022年黄冈市中考模拟试题，25，15）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G。求直线AC的解析式；设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标；EGQPOyxCBA过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由。84\n【答案】(1)(2)(3)一共四个点，(0，)，(0，0)，(0，)，（0，－2）。（4）当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值。41．（2022福州市数学模拟试卷，22，14）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的对称轴是，并且经过（－2，－5）和（5，－12）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是线段BC上一点（不与点B、C重合），若以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标；（3）点P在y轴上，点M在此抛物线上，若要使以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你求出所有点M的坐标，并说明理由。84\n【答案】（1）由题意，得解这个方程组，得。∴抛物线的解析式为y=－x2+2x＋3.（2）令，得.解这个方程，得.．令，得．．．过点作轴于点．∵．要使或，已有，则只需或成立．若成立，则有．在中，由勾股定理，得．∴．．点的坐标为．若成立，则有在中，由勾股定理，得．∴．．AyxBEOCD点的坐标为．84\n点的坐标为或．（3）点M的坐标为或或．42．（2022北京四中第一次月考考试试卷，18，5）已知二次函数的图象经过两点P，Q.如果都是整数，且，求的值.【答案】点P、Q在二次函数的图象上，解得：，.由知：解得.又为整数，所以，，.43．（2022北京四中第一次月考考试试卷，24，8）已知抛物线．(1)求证此抛物线与轴有两个不同的交点；(2)若是整数，抛物线与轴交于整数点，求的值；(3)在(2)的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与轴的两个交点中右侧交点为B．若M为坐标轴上一点，且MA＝MB，求点M的坐标．【答案】(1)证明：令，则．因为，所以此抛物线与轴有两个不同的交点．(2)因为关于的方程的根为，由为整数，当为完全平方数时，84\n此抛物线与轴才有可能交于整数点．设(其中为整数)，所以 ．因为与的奇偶性相同，所以或解得．经检验，当时，关于的方程有整数根．所以．(3)当时，此二次函数解析式为，则顶点的坐标为()．抛物线与轴的交点为、．设抛物线的对称轴与轴交于，则．在直角三角形中，由勾股定理，得，由抛物线的对称性可得，．又，即．所以△为等腰直角三角形．则．所以为所求的点．若满足条件的点在轴上时，设坐标为．过作轴于，连结、．则．84\n由勾股定理，有；．即．解得．所以为所求的点．综上所述满足条件的点的坐标为()或()44．（2022北京101中2月月考试卷，23，7）已知抛物线开口向下，且经过A（0，1）和M（2,–3）两点.（1）若抛物线的对称轴为直线x=–1，求此抛物线的解析式；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC＝90°，求此时a的值.【答案】（1）由题意得，消去得.∵=–1，∴a=，b=–1.∴抛物线的解析式为.（2）∵抛物线开口向下,对称轴在y轴的左侧，∴<0，<0.∴<0.即<0.解得>-1.∴a的取值范围是–1<<0.（3）∵∠BAC=90°，OA⊥BC于O，∴OA2=OB·OC.∵，=1，∴抛物线的解析式为.由抛物线开口向下，且经过A（0，1）知:它与x轴两个交点B、C分别在原点的两旁.设B(，0)、C(，0)（<0），则、是方程的两根，∴.∴OB·OC=.又OA=1，∴.解得.45．（2022江苏省苏州市五模，27，9）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点C、D是抛物线上的一对对称点．(1)求抛物线的解析式；84\n(2)求点D的坐标，并在图中画出直线BD；(3)求出直线BD的一次函数解析式，并根据图象回答：当x满足什么条件时，上述二次函数的值大于该一次函数的值．【答案】(1)(2)D(－2，3)画出直线BD如图(3)BD的解析式为当－2<x<1时，二次函数的值大于该一次函数的值46．（2022江苏省苏州市三模，29，9）如图，抛物线y＝x2＋4x与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连结AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上一动点．(1)求点A的坐标；(2)以点A、B、O、P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；(3)设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当4＋6≤S≤6＋8时，求x的取值范围．84\n【答案】(1)(－2，－4)(2)四边形ABP1O为菱形时，P1（－2，4）；四边形ABOP2为等腰梯形时，P2（，－）；四边形ABP3O为直角梯形时，P3（－，）；四边形ABOP4为直角梯形时，P4（，）(3)或47．（2022江苏省苏州市六模，29，9）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝2．(1)求A、B、C三点的坐标；(2)求此抛物线的表达式；(3)连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连结CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由，【答案】(1)B(2，0)，C(0，8)，A(－6，0)(2)(3)自变量m的取值范围是0<m<8(4)存在△BCE为等腰三角形48．（2022年江苏省启东中学一模，28，13）如图17所示，已知点B(l，3)、C(l，0)，直线y＝x＋k经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD．(1)填空：A点坐标为(_______，_______)，D点坐标为（_______，_______）．(2)若抛物线y＝x2＋bx＋c经过C、D两点，求抛物线的解析式．84\n(3)将(2)中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴？若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由．[提示：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝－，顶点坐标是()]．【答案】（1）A（－2，0）D（－2，3）（2）（3）抛物线向上平移个单位能使直线EM∥x轴49．（2022年江苏省启东中学三模，27，9）已知抛物线y1＝x2－2x＋c的部分图像如图12a所示．(1)求c的取值范围．(2)若抛物线经过点（0，－1），试确定抛物线的解析式．(3)若反比例函数y2＝的图像经过(2)中抛物线上点(1，a)，试在图12b所示的直角坐标系中，画出该反比例函数及(2)中抛物线的图像，并利用图像比较y1与y2的大小．【答案】（1）c<0（2）（3）如图当x=-1或x=1或x=2时,y1=y2；当-l<x<0或l<x<2时，y2>y184\nxyOBACD（第24题图）El50．（2022上海闵行区二模，24，12）如图，已知：抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，并且OA=OC.（1）求这条抛物线的解析式；（2）过点C作CE//x轴，交抛物线于点E，设抛物线的顶点为点D，试判断△CDE的形状，并说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴l上，且△MCD的面积等于△CDE的面积，请写出点M的坐标（无需写出解题步骤）．【答案】（1）当x=0时，得y=-3．∴C（0，-3）．∵OA=OC，∴OA=3，即得A（-3，0）．由点A在抛物线上，得．解得b=2．∴所求抛物线的解析式是．（2）由CE//x轴，C（0，-3），可设点E（m，-3）．由点E在抛物线上，得．解得m1=-2，m2=0．∴E（-2，-3）．84\n又∵，∴顶点D（-1，-4）．∵，，CE=2，∴CD=ED，且．∴△CDE是等腰直角三角形．（3）M1（-1，-2），M2（-1，-6）．ACBOxy51．（2022静安区“学业效能实证研究”学习质量调研卷，24，12）如图,二次函数的图像与轴、轴的交点分别为A、B，点C在这个二次函数的图像上，且∠ABC=90º，∠CAB=∠BAO，．（1）求点A的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．（第24题图）【答案】（1）二次函数的图像轴的交点为B（0，2），在Rt△AOB中，∵OB=2，，∴OA=4，∴点A的坐标（4，0）．（2）过点C作CD⊥轴，垂足为D，∵∠CDB=∠ABC=∠AOB=90º，∴∠CBD=180º–∠ABC–∠ABO=90º–∠ABO=∠BAO．∴△CDB∽△BOA，∵∠CAB=∠BAO，∴，∴．∴OC=1，BD=2，∴OD=4．∴C（1，4）．∵点A、C在二次函数的图像上，∴84\n∴∴二次函数解析式为．52．（2022年上海杨浦区二模，24，12）已知抛物线①经过点A（-1,0）、B（4,5）、C（0,-3），其对称轴与直线BC交于点P。（1）求抛物线①的表达式及点P的坐标；（2）将抛物线①向右平移1个单位后再作上下平移，得到的抛物线②恰好过点P，求上下平移的方向和距离；（3）设抛物线②的顶点为D，与y轴的交点为E，试求∠EDP的正弦值。xyO11【答案】（1）据题意设抛物线的表达式为，则，解得，∴抛物线的表达式为-∴对称轴为直线据题意设直线BC的解析式为，则，∴直线BC的解析式为，∴P（1，-1）（2）设抛物线①向右平移1个单位后再向上平移m个单位得抛物线②，则抛物线②的表达式为∵抛物线②过点P，∴，∴∴再将它向上移动2个单位可得到抛物线②O11PDExyH（3）∵抛物线①向右移动1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线②，∴抛物线②的表达式是即84\n，∴D（2,-2），E（0,2）∵P(1,-1)，∴直线DP过点O，且与x轴夹角为45°，过点E作EH⊥DP于点H，∴∠EOH=45°∵E（0,2）,∴EH=，而ED=∴sin∠EDP=53．（2022年上海奉贤区二模，24，12）已知：直角坐标系xoy中，将直线沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B(-3，0)及y轴上的C点．若抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），且经过点C，（1）求直线及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；第24题图11【答案】⑴沿轴向下平移3个单位长度后经过轴上的点，∴C（0，-3）设直线的解析式为．∵B(-3，0)在直线上，∴-3k-3=0解得．∴直线的解析式为．抛物线过点，∴解得∴抛物线的解析式为．⑵由．可得D(-2，1)，A（-1，0）．84\n，，，．可得是等腰直角三角形．，．设抛物线对称轴与轴交于点，∴AF=AB=1．过点作于点．．可得，．在与中，，，．，．解得．点在抛物线的对称轴上，点的坐标为或．yxOABC（图5）54．（2022年上海市模拟试卷，23，12）如图5，一次函数的图像与轴、轴分别相交于点A和点B，二次函数的图像经过A、B两点．（1）请求出一次函数与二次函数的解析式；（2）若点C在这个二次函数的图像上，且点C的横坐标为5，求tan∠CAB的值．【答案】（1）由题意可得点B的坐标为（0，6）∴m=6∴一次函数的解析式：由题意可得点A的坐标为（8，0）∴∴84\n∴二次函数的解析式为（2）∵点C在这个二次函数的图像上，且点C的横坐标为5，∴∴点C的坐标为（5，6）作CH⊥AB，垂足为点H∵点B与点C的纵坐标相等∴BC∥x轴∴∠CBH=∠BAO又∵∠CHB=∠BOA=90°∴△CHB∽△BOA，∵OB=6，OA=8∴AB=10∴∴CH=3，BH=4，AH=6∴55．（2022年上海市模拟试卷，25，14）如图8，已知抛物线与坐标轴交于三点，点的横坐标为，过点的直线与轴交于点，点是线段上的一个动点，于点．若（）．（1）请求出值；（2）请直接用含的式子写出点的坐标；（3）依点的变化，是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．（图8）（备用图1）（备用图2）84\n【答案】（1），（2），（3）存在的值，有以下三种情况： （Ⅰ）， ，则 （Ⅱ） 得 （Ⅲ） 解法一：过作，又 则 又， 解法二：在中， 84\n 又，t2=0舍去综上所述，当或或时，为等腰三角形56．（2022年上海市普陀区二模，24，12）如图8，在平面直角坐标系xOy中，半径为的与x轴交于、两点，且点C在x轴的上方．（1）求圆心C的坐标；（2）已知一个二次函数的图像经过点、B、C，求这二次函数的解析式；（3）设点P在y轴上，点M在（2）的二次函数图像上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标.图8【答案】（1）联结AC，过点C作，垂直为H，由垂径定理得：AH=＝2，则OH＝1．由勾股定理得：CH＝4．又点C在x轴的上方，∴点C的坐标为．（2）设二次函数的解析式为由题意，得解这个方程组，得84\n∴这二次函数的解析式为y=－x2+2x＋3．（3）点M的坐标为或或57．（2022年浦东新区中考数学预测卷，24，12）如图，已知在直角坐标平面内，点A的坐标为（3,0），第一象限内的点P在直线y=2x上，∠PAO=45度．（1）求点P的坐标；（2）如果二次函数的图像经过P、O、A三点，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的顶点坐标M；（3）如果将第（2）小题中的二次函数的图像向上或向下平移，使它的顶点落在直线y=2x上的点Q处，求△APM与△APQ的面积之比．xyO123123（第24题图）【答案】（1）过点P作PH⊥OA，垂足为点H．∵点P在直线上，∴设点P的坐标为．∵∠PAO=45°，PH⊥OA，∴∠PAO=∠APH=45°．∴PH=AH=2x．∵点的坐标为（3,0），∴．∴．∴点P的坐标为（1,2）．（2）设所求的二次函数解析式为．∵图像经过P（1,2）、O（0,0）、A（3,0）三点，∴解得∴所求的二次函数解析式为．顶点M的坐标为（，）．84\n（3）根据题意，得点Q的坐标为（，3）．∵，，，∴，．∴△APM与△APQ的面积之比为．另解：根据题意，得点Q的坐标为（，3）．设图像的对称轴与直线AP相交于点N，则点N的坐标为（，）．∴，．∴．∴，．∴△APM与△APQ的面积之比为．58．（2022年上海卢湾区二模，24，12）已知：抛物线经过点，，且对称轴与轴交于点.（1）求抛物线的表达式；(第24题图)（2）如图，点、分别是轴、对称轴上的点，且四边形是矩形，点是上一点，将沿着直线84\n翻折，点与线段上的点重合，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，点是对称轴上的点，直线交于点，，求点坐标.【答案】（1）由题意得解，得∴.（2）∵与重合，，∴，，∴，又，∴，∵，∴∽，∴，∵四边形是矩形，∴，，设，则，∴，∴，解，得，∴，∴.（3）过点作，垂足为点.∵，∴，∵，，∴∥，84\n∴，∴，∴.∴经过点，的直线的表达式为，∴.59．（2022年河南省二模，23，11）如图，已知二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点，连结、．⑴求证：；⑵过点作∥轴，交二次函数图象于点，若点在线段上以每秒1个单位的速度由点向点运动，同时点在线段上也以每秒1个单位的速度由点向点运动，连结线段，设运动时间为秒（）．①是否存在时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；②是否存在时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（第23题）OxyBCADMN【答案】⑴A（2，0），B（8，0），C（0，−4）．∵OC/OA=OB/OC=2，∠AOC=∠COB=90°，∴；⑵D（10，−4），CD=10．BM=6−t，CN=10−t．①当四边形ACNM是平行四边形时，AM=CN．此时，t=10−t，得t=5；当四边形ACNM是等腰梯形时，MB=ND．6−t=t，得t=3；②∵BC2=80，BD2=AC2=20，CD2=100，∴BC2+BD2=AC2，∴BC⊥BD．只需MN∥BD．此时，四边形MNDB是平行四边形，6−t=t，得t=3．60．（2022年河南省一模，23，11）如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．为二次函数图象上的一个动点，过点P作轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．⑴求出二次函数的解析式；⑵当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值．84\n⑶当时，探索是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由．（第23题）OxyBCAPD84\n【答案】⑴设，A点坐标代入得，函数为．⑵，，当时，．⑶当时，仅有OC=PC，此时，，解得，；当时，，OC=，．①当OC=PC时，．解得，；②当OC=OP时，，解得m1=5，m2=3（舍去），；③当PC=OP时，，解得，．61．（2022年杭州市一模，24，12）如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F， 使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）令y=0，解得或∴A（-1，0）B（3，0）；（2分）将C点的横坐标x=2代入得y=-3，∴C（2，-3）（1分）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1（1分）（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（∵P点在E点的上方，PE=（2分）=－(x－1/2)2+9/4（1分）∴当时，PE的最大值=（1分）84\n（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0）F2（-3，0）F3（+4，0）F4（-+4，0）(共4分，对1个得1分)62．（2022年杭州市二模，24，12）ABCDGo第24题如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=，直线y=经过点C，交y轴于点G。（1）点C、D的坐标分别是C（），D（）；（2）求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线y=平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）。平移后是否存在这样的抛物线，使⊿EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。【答案】（1）（2）由二次函数对称性得顶点横坐标为，代入一次函数，得顶点坐标为（，），∴设抛物线解析式为，把点代入得，∴解析式为（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则∴可设解析式为①当FG=EG时，FG=EG=2m，代入解析式得：，得m=0(舍去)，，84\n此时所求的解析式为：；②当GE=EF时，FG=4m，代入解析式得：，得m=0(舍去)，，此时所求的解析式为：；③当FG=FE时，不存在；63．（2022年杭州市模拟试卷，24，12）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.（1）求抛物线的解析式.（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设S=PQ2(cm2)①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.（第24题）【答案】(1)据题意知:A(0,－2),B(2,－2)，D（4，—）,则解得∴抛物线的解析式为:(2)①由图象知:PB=2－2t,BQ=t,∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2+t2,即S=5t2－8t+4(0≤t≤1)②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.84\n∵S=5t2－8t+4(0≤t≤1),∴当S=时,5t2－8t+4=,得20t2－32t+11=0,解得t=，t=（不合题意，舍去）此时点P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）若R点存在，分情况讨论:【A】假设R在BQ的右边,这时QRPB,则，R的横坐标为3,R的纵坐标为—即R(3,－)，代入,左右两边相等，∴这时存在R(3,－)满足题意.【B】假设R在BQ的左边,这时PRQB,则：R的横坐标为1,纵坐标为－即(1,－)代入,左右两边不相等,R不在抛物线上.【C】假设R在PB的下方,这时PRQB,则：R(1，—)代入,左右不相等,∴R不在抛物线上.综上所述,存点一点R(3,－)满足题意.（3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—）64．（2022年荆州中考数学模拟试题，24，12）已知：如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．第24题图84\n【答案】(1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入y＝x2＋bx＋c得得解析式y＝x2－x＋1(2)设C(x0，y0)，则有解得∴C(4，3)．由图可知：S＝S△ACE－S△ABD．又由对称轴为x＝可知E(2，0)．∴S＝AE·y0－AD×OB＝×4×3－×3×1＝(3)设符合条件的点P存在，令P(a，0)：第24题图当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F．∵Rt△BOP∽Rt△PFC，∴．即．整理得a2－4a＋3＝0．解得a＝1或a＝3∴所求的点P的坐标为(1，0)或(3，0)综上所述：满足条件的点P共有二个65．（2022年黄冈中考数学模拟试题，23，14）如图1，已知抛物线的顶点为，且经过原点，与轴的另一个交点为．（1）求抛物线的解析式；（2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；（3）连接，如图2，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与84\n相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．图1图2【答案】（1）（2）D（2，－1）或D（6，－5）（3）不存在66．（2022年广东省模拟试题，18，7）已知二次函数．⑴求证：无论取何实数，此二次函数的图像与轴都有两个交点；⑵若此二次函数图像的对称轴为，求它的解析式；【答案】（1）证明：令y=0,则,∵△===∵≥0,∴＞0∴无论取何实数，此二次函数的图像与轴都有两个交点.(2).∵对称轴为x=，∴k=2∴解析式为67．（2022年大庆市六十三中数学月考题，28，8）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为点在轴上．已知某二次函数的图象经过、、三点，且它的对称轴为直线点为直线下方的二次函数图象上的一个动点（点与、不重合），过点作84\n轴的平行线交于点（1）求该二次函数的解析式；xyBFOACPx=1（第25题）（2）若设点的横坐标为用含的代数式表示线段的长．（3）求面积的最大值，并求此时点的坐标．【答案】（1）设二次函数的解析式为，由抛物线的对称性知点坐标为依题意得：xyBFOACPx=1（第25题）解得：所求二次函数的解析式为（2）点的横坐标为点的纵坐标为设直线的解析式为依题意，得故直线的解析式为点的坐标为84\n（3）的面积=当时，的最大面积为把代入得点的坐标为68．（2022年河南中考最新数学模拟试题，23，12）如图，已知关于的一元二次函数（）的图象与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，顶点为．⑴求出一元二次函数的关系式；⑵点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为．若，的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；⑶探索线段上是否存在点，使得为直角三角形，如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由．（第23题）OxyBM·CAPD【答案】⑴、．得，所以；84\n⑵易得．设：，则得所以．所以，（）．⑶存在．在中，是锐角，当时，，得矩形．由，解得，所以；当时，，此时，即．．解得，因为，所以，所以．69．（2022年兰州市一模，28，12）如图，已知二次函数的图象经过两点C（－2，5）与D（2，－3），且与x轴交于A、B两点，其顶点为M。(1)求点M的坐标；(2)求△ABM的面积；(3)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；(4)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与些图象有两个公共点时，m的取值范围是什么？【答案】(1)（1，－4）(2)8(3)存在，P（4，5）或P（－2，5）(4)－3<m<170．（2022年黄冈市黄州中学模拟试题，25，12）如图，已知抛物线84\n的顶点坐标为Q（2，－1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D。（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；PABC(0,3)Q(2,-1)DxyO（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）（2）P（1，0）或（2，－1）（3）存在，F（2＋，1）或（2－，1）71．（2022年黄冈市启黄中学一模，25，14）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程的两个根，且抛物线的对称轴是直线(1)求A、B、C三点的坐标；(2)求此抛物线的表达式；(3)连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由。【答案】(1)A（－6，0），B（2，0），C（0，8）(2)(3)，自变量m的取值范围0<m<8(4)当m=4时，S存在最大值8，此时△BCE为等腰三角形84
