知识点6：二次根式一、选择题1.（2022·江西省××市三模，3，3）函数的自变量x的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A2.（2022·浙江省义乌市一模，2，3）函数y=中自变量的取值范围是()A．≥2.5B．≠-1且≠2.5C．>2.5D．<2.5【答案】C3.（2022·浙江省义乌市一模，9，3）已知是半径为1的⊙的一条弦，且．以弦为一边在⊙内作正△，点为⊙上不同于点A的一点，且，的延长线交⊙于点，则的长为（）．A．B．1C．D．【答案】B4.（2022·湖北省枣阳市一模，4，3）在实数，0，，，，中，无理数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B5.（2022·云南省玉溪市一模，1，3）下列说法错误的是（）.的平方根是.是无理数.是有理数 .是分数【答案】D6.（2022·云南省玉溪市一模，7，3）如图，菱形由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则线段的长为（）．3．6．．ABCD第7题图【答案】D7.（2022·浙江省宁波市一模，1，3）下列运算正确的是（）\nA．B．C．·=D．【答案】D8.（2022·浙江省宁波市一模，2，3）估计69的立方根的大小在（）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间【答案】C9.（2022·浙江省宁波市一模，10，3）如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（）A．2B．1C．D．【答案】C10．（2022·浙江省宁波市一模，12，2）将弧沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8C．D．2CADB【答案】A11.（2022·江苏省盐城市一模，4，3）如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（）A.4的算术平方根B.4的立方根C.8的算术平方根D.8的立方根【答案】C12.（2022·江苏省徐州市一模，4，2）2的平方根是（）A．4B．C．D．【答案】D\n13.（2022·江苏省太仓市一模，4，3）下列运算正确的是（）A．B．C．D．3＋＝3【答案】B14.（2022·山东省青岛市一模，1，3）下列各数中，最小的数是（）A．－B．1C．0D．－1【答案】A15.（2022·江苏省建湖县一模，1，3）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D．【答案】D16.（2022·江苏省建湖县一模，2，3）已知x＜1，则化简的结果是（）A.x－1B.x＋1C.－x－1D.1－x【答案】D17.（2022·江苏省建湖县一模，8，3）若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（ ）A．± B．4 C．±或4 D．4或－【答案】D18.（2022·广东省××市一模，3，3）函数中，自变量x的取值范围是（）．A．x<2B．x≤2C．x>2D．x≥2【答案】D19.（2022·浙江省东阳市一模，1，3）比-1小的实数是（）A．5B．0C．D．—【答案】D20．（2022·江苏省扬州市一模，1，3）36的算术平方根是()A．6B．±6C．D．±【答案】A21.（2022·江苏省扬州市一模，2，3）下列计算正确的是()A.－=B.(+2)(－2)=1C.÷=3D.=－3【答案】C\n22.（2022·浙江省杭州市一模，1，3）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】D23.（2022·湖北省黄冈市一模，11，3）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】D24.（2022·湖北省黄冈市一模，15，3）如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为（ ）A、 B、4 C、 D、1＋ 【答案】A25.（2022·湖北省黄冈市黄州区一模，10，3）下列运算正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】D26.（2022·湖北省枣阳市一模，4，3）在实数，0，，，，中，无理数有：（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B27.（2022·湖北省孝感市一模，2，3）化简的结果为（） A．B．C．D．【答案】A\n28.（2022·湖北省孝感市一模，4，3）要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（）A．x＞－1B．x＜1C．x≥1D．x≤1【答案】C29.（2022·湖北省孝感市一模，6，3）已知x．y是实数，＋y2－6y＋9＝0，则xy的值是（）A．4B．－4C．D．－【答案】B30．（2022·湖北省襄阳市一模，2，3）在实数0、、、、中，无理数有：（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B31.（2022·湖北省黄冈市三模，11，3）16的算术平方根是（） A．－４ B．±４ C．４ D．２【答案】C32.（2022·河南省新密市一模，1，4）下列说法正确的是（）A．是分数B．实数a的倒数是C．负数没有平方根D．绝对值等于本身的数只有正数【答案】C33.（2022·广东省四会市一模，1，3）无理数－的相反数是（）A．－B．C．D．－【答案】B34.（2022·广东省惠州市一模，1，3）4的平方根是（）A．2B．±2C．D．±【答案】B35.（2022·河南省××市一模，1，3）下列运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】C36.（2022·河南省××市一模，4，3）方程，当时，m的取值范围是（）A．B．≥2C．D．≤2【答案】C\n37.（2022·河南省××市二模，2，3）函数中，自变量x的取值范围是()A．x＞5B．x≥5C．x<5D．x≤5【答案】C38.（2022·河南省××市三模，1，3）下列各组数中，互为相反数的一组是()A．B．C．D．【答案】C39.（2022·河南省××市三模，5，3）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(2，0)，点P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（）A．（1，）B．（1,2-）C．(2,-1)D．(,2-)ABCP60°B’yOx(第5题)【答案】B40．（2022·河南省××市五模，3，3）下列计算中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】B41.（2022·河南省××市六模，2，3）以下关于的说法，正确的是（）A．是有理数B．5＜＜6C．D．以上说法都不对【答案】C42.（2022·湖南省长沙市一模，1，3）的平方根是（）A．B．2C．±2D．【答案】C43.（2022·湖南省长沙市二模，5，3）下列运算正确的是（）\nA．B．C．D．【答案】C44.（2022·湖南省长沙市二模，10，3）直线（，为常数）的图象如图3，化简：︱︱－得 （ ）Ａ． B．5 C．－１ D．图3【答案】D45.（2022·江苏省苏州市11模，5，3）下面四个数中与最接近的数是()A．2B．3C．4D．5【答案】B46.（2022·江苏省苏州市11模，7，3）过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则CM的长等于()A．3cmB．5cmC．cmD．cm【答案】D二、填空题1.（2022·福建省南平市一模，11，3）若根式有意义，则实数ｘ的取值范围是_______．【答案】≥52.（2022·江西省××市六模，11，3）计算：．（结果保留根号）【答案】3.（2022·江西省××市三模，9，3）计算：______．【答案】04.（2022·江西省××市三模，11，3）如图，已知⊙O的半径为2cm，点C是直径AB的延长线上一点，且，过点C作⊙O的切线,切点为D,则CD=cm．\n第11题图【答案】5.（2022·江西省××市四模，13，3）如图,小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少为________.图2图1第13题【答案】6.（2022·湖北省枣阳市一模，15，3）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m．【答案】7.（2022·云南省楚雄州双柏县一模，12，3）函数中自变量x的取值范围是___________．【答案】x≥-3且x≠08.（2022·云南省玉溪市一模，13，3）如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，则．\nαBACD【答案】9.（2022·浙江省宁波市一模，14，3）在函数中，自变量x的取值范围是．【答案】≤310．（2022·江苏省盐城市一模，9，3）使有意义的x的取值范围是【答案】≥211.（2022·江苏省徐州市一模，11，2）计算的结果是．【答案】12.（2022·江苏省盐城市一模，9，3）求值：＝．【答案】1213.（2022·江西省吉安市一模，9，3）求值：＝．【答案】014.（2022·江苏省南京市一模，11，3）计算（≥0）的结果是．【答案】415.（2022·江苏省昆山市一模，11，3）函数y＝中自变量x的取值范围是．【答案】≥16.（2022·广东省汕头市一模，11，4），，，…，这20个数中所有的整数之和为．【答案】1017.（2022·江苏省扬州市一模，15，3）如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心Ο，若⊙O的半径为4cm，则弦AB的长度等于cm.\n【答案】418.（2022·江苏省扬州市一模，16，3）为方便行人，打算修建一座高5米的过街天桥，若天桥的斜面的坡度为i=1:1.5，则斜坡的长度为______________米（结果保留根号）.5mi=1:1.5【答案】19.（2022·湖北省黄冈市一模，1，3）3的平方根是_________.【答案】20．（2022·湖北省黄冈市一模，3，3）函数年的自变量的取值范围是_________.【答案】≤221.（2022·江西省××市一模，13，3）在函数中，自变量x的取值范围是_________.【答案】≥322.（2022·湖北省黄冈市黄州区一模，1，3）－0.125的倒数是___________，立方根是___________.【答案】－8；－0.523.（2022·湖北省黄冈市黄州区一模，3，3）函数中自变量ｘ的取值范围是_________.【答案】≤2且≠－124.（2022·湖北省黄冈市黄州区一模，7，3）先化简,再求得它的近似值为.(精确到0.01，≈1.414，≈1.732)【答案】5.2025.（2022·湖北省黄冈市黄州区二模，2，3）若实数a．b满足，则a+b\n的值为 ．【答案】126.（2022·广东省清远市一模，14，3）计算：.【答案】527.（2022·湖北省孝感市一模，15，3）若，则 ；若，则 。【答案】≥0≤028.（2022·湖北省襄阳市一模，11，4）计算：（－2022）0+(sin30°)－1+︱tan30°－︱=_______.【答案】+329.（2022·广东省惠州市一模，8，4）函数中，自变量的取值范围是．【答案】30．（2022·福建省晋江市一模，8，4）4的算术平方根是.【答案】231.（2022·河南省××市四模，10，3）若，将分解因式得.【答案】32.（2022·河南省××市五模，7，3）│-│=.【答案】33.（2022·河南省××市六模，7，3）的立方根与9的算术平方根的和等于.【答案】034.（2022·湖南省长沙市二模，11，3）函数的自变量x的取值范围是______________。【答案】x≥135.（2022·江苏省苏州市10模，12，3）若代数式＝3－x，则实数x的取值范围是_______．【答案】x≤3\n36.（2022·江苏省苏州市11模，13，3）若，则x的取值范围是______．【答案】x≥3三、解答题1.（2022·重庆市X模，17，6）计算【答案】原式2.（2022·江西省××市六模，18，6）如图，边长为2的等边△OAB在第一象限，写出B点的坐标，并求过O、A、B三点的二次函数的解析式．【答案】解：作于H，则OH=1，∴A（2，0），设过O、A、B三点的二次函数的解析式为，把代入：，解得：，∴3.（2022·江西省××市四模，18，6）在平面直角坐标中,直角三角板,将直角顶点放在点（，1）处，∥,求经过点C的反比例函数的解析式.\nyABCxO第18题【答案】解：因为，所以所以点设经过点C的反比例函数的解析式.所以，即.所以经过点C的反比例函数的解析式4.（2022·江西省××市一模，17，6）先化简，再求值：，其中a＝3，b＝6．【答案】解：原式=（a++b）－（a－+b）=4当a=3,b=6时，原式=4=125.（2022·浙江省义乌市一模，17，6）计算：【答案】解：原式＝6.（2022·浙江省义乌市一模，24，12）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．(1) 当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；(2) 如果抛物线的对称轴经过点C，请你探究：①当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；\n②设，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．OyxCBA(第24题)11-1-1【答案】解：(1) ∵ 点O是AB的中点， ∴ ．设点B的横坐标是x(x>0)，则，解得 ，(舍去)．∴ 点B的横坐标是．(2) ① 当，，时，得 (＊) ．以下分两种情况讨论．情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，．OyxCBA(甲)11-1-1由此，可求得点C的坐标为(，)，点A的坐标为(，)，∵ A，B两点关于原点对称，∴ 点B的坐标为(，)．将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上．情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，\nOyxCBA(乙)11-1-1点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．经计算，A，B两点都不在这条抛物线上．② 存在．m的值是1或-1．(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)7.（2022·湖北省枣阳市一模，18，5）先化简，再求值：，其中，.【答案】解：原式＝＝＝当，时，原式＝1.8.（2022·云南省楚雄州双柏县一模，16，6）计算：【答案】解：原式9.（2022·云南省楚雄州双柏县一模，24，12）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4,0），B（0,-4），C（2,0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．\nyAOCMBx第24题图【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则有：yAOCMBxD∴抛物线的解析式y=x2+x﹣4（2）过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为（m，n）.则AD=m+4，MD=﹣n，n=m2＋m﹣4.∴S=S△AMD+S梯形DMBO－S△ABO=(m+4)(﹣n)＋(﹣n＋4)(﹣m)－×4×4=﹣2n﹣2m﹣8=﹣2(m2＋m﹣4)﹣2m﹣8=﹣m2-4m(－4<m<0)∴S最大值=4（3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：（-4，4），（4，-4），（-2+，2-），（-2-，2＋）10．（2022·江苏省盐城市一模，19，8）计算：【答案】解：===11.（2022·江苏省盐城市一模，20，8）先化简，再求值：，然后以，1，-1中选取一个你认为合适的值作x的值代入求值。【答案】原式=，\n（x≠±1），当x=时，原式=。12.（2022·江苏省徐州市一模，19，6）计算：【答案】原式===．13.（2022·江苏省太仓市一模，19，5）计算：【答案】原式14.（2022·江苏省太仓市一模，20，5）已知x＝＋1，求的值．【答案】原式，把x＝＋1代入，原式15.（2022·山东省青岛市一模，24，12）如图，等边三角形ABC的边长为8cm，动点P从点A出发以2cm/秒的速度沿AC方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以1cm/秒的速度沿CB方向向终点B运动，过点P、Q分别作边AB的垂线段PM、QN，垂足分别为点M、N．设P、Q两点运动时间为t秒（0＜t＜4），四边形MNQP的面积为Scm2．（1）当点P、Q在运动的过程中，t为何值时，ΔPCQ是直角三角形？（2）求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t，使四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．QPCMNABA【答案】解：（1）点P、Q在运动的过程中，t＝时，PQ∥AB当CP＝CQ时，PQ∥AB，即8－2t＝t解得t＝（2）根据题意得，AP＝2t，QB＝8－t,△APM和△QNB是直角三角形，四边形MNQP是直角梯形．\n在Rt△APM和Rt△QNB中所以MN＝AB－AM－BN＝（3）假设存在某一时刻，使四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的，即S＝S△ABC整理得：解得，（舍去）答：当时，四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的．16.（2022·江苏省盐城市一模，19，6）计算：．【答案】原式17.（2022·海南省××市一模，19，4）计算：【答案】原式18.（2022·江苏省昆山市一模，19，5）计算：【答案】原式19.（2022·江苏省建湖县一模，19，6）计算：【答案】原式\n20．（2022·浙江省东阳市一模，17，6）计算：-(2022-)0-6sin60o。【答案】解：原式=3-1-6×（3分）=-121.（2022·广东省汕头市一模，14，7）计算：．【答案】解：原式=2－+1＋8+=11－＋=1122.（2022·江苏省扬州市一模，19，8）计算：【答案】原式=3－2+1－2×=123.（2022·浙江省杭州市一模，17，3）计算：【答案】原式=-3+2+1-1=-124.（2022·浙江省杭州市一模，18，6）一个三角形的三边长分别为、、．（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．【答案】解：（1）（2）当时，25.（2022·江西省××市一模，17，5）计算:【答案】解:原式==1+－1=26.（2022·广东省清远市一模，24，8）如图5，四边形是正方形，是延长线上的一点，且.（1）求证：平分；（2）设AE交CD于点F，正方形ABCD的边长为1，求DF的长.（结果保留根号）\nABCDE图5F【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线ABCDE图5F∴又∵∴∴∴∴平分(2)解：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90o，∠D=∠DCE=90o∴∴CE=AC=又∵∠AFD=∠EFC∴△AFD∽△EFC∴设，则∴∴27.（2022·湖北省枣阳市一模，18，5）先化简，再求值：，其中，.【答案】解：原式＝＝＝当，时，原式＝1\n28.（2022·湖北省孝感市一模，19，6）计算：【答案】原式29.（2022·湖北省仙桃市一模，16，4）计算【答案】原式30．（2022·广东省四会市一模，16，6）计算：||【答案】原式==31.（2022·广东省四会市一模，20，7）先化简，再求值：，其中.【答案】解：原式====当时，原式===．32.（2022·广东省惠州市一模，11，6）计算：+（－1）2022++.【答案】解：原式==33.（2022·广东省惠州市一模，13，6）化简并求值：已知：x=+1，求的值.【答案】解：原式===\n当x=+1时，原式=.34.（2022·安徽省马鞍山市二模，15，8）计算：【答案】解：原式=2+2-2—8=—635.（2022·安徽省马鞍山市二模，16，8）图中有两个正方形，A、C两点在大正方形的对角形上，ΔHAC是等边三角形，若AB=2，求EF的长。FEHGAADBCO【答案】解：第一步：求出OA=，得AC=AH=2第二步：求出OH=，得出OE=OF=OH=第三步：求出EF=236.（2022·××省××市X模，20，10）小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工（如图甲所示），他想在现有的6块瓷砖余料中（如图乙所示）挑选2块或3块进行铺设．请你帮小明设计两种不同的铺设方案（在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用的每块余料的编号）．\n【答案】37.（2022·福建省晋江市一模，18，9）计算：.【答案】解：原式===38.（2022·安徽省蚌埠市一模，17，14）在△ABC中，∠A,∠B,∠C对应的边分别是其中CD⊥AB于D，BD–AD,求△ABC三边的长。【答案】39.（2022·河南省××市四模，23，11）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于点B、C，抛物线经过B、C两点，并与轴交于另一点A.（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设P(x,y)是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线轴与点M，交直线BC于点N.①若点P在第一象限内.试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值，若不存在，请说明理由；②求以BC为底边的等腰三角形△PBC的面积.yBxOCNPAM\n【答案】解：（1）∵B(4,0)C(0,4)点B、C在抛物线上，∴解得：b=3,c=4,∴所求函数关系式为（2）①∵点P（x,y）在抛物线上，且PNx轴，∴设点P的左边为（，）同理可设点N的坐标为（x,-x+4）又点P在第一象限，∴PN=PM-NM=()-(-x+4)==∴当x=2时，线段PN的长度的最大值为4②以BC为底边的等腰△PBC则PB=PC，点P在线段BC的垂直平分线上，又由①知，OB=OC∴BC的中垂线也是的平分线，交BC于点Q∴设点P的坐标为（a,a）又点P在抛物线上，于是有∴，解得，∴设点P的坐标为：当点P的坐标为时，点P在第一象限，OP=，OQ=∴PQ=,S=当点P的坐标为时，点P在第三象限，OP=，∴PQ=,S=∴等腰△PBC的面积为.40．（2022·河南省××市五模，16，8）计算：【答案】解：原式=2-4+2-+=0\n41.（2022·河南省××市六模，16，8）计算【答案】解：42.（2022·河南省××市七模，16，8）计算：.【答案】解：原式==4+(-2)+1-3=043.（2022·湖南省长沙市一模，19，6）计算：【答案】原式=3一一(1+)+1+︱1一︱．=3一一1一+1+一l．=一l．44.（2022·湖南省长沙市一模，20，6）先化简，再求值：，其中x=2【答案】解：原式==∴当x=2时，原式=一．45.（2022·湖南省长沙市二模，19，6）计算：【答案】46.（2022·江苏省苏州市10模，19，5）计算：．【答案】47.（2022·江苏省苏州市10模，29，9）如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC＝BC．(1)求抛物线的对称轴；\n(2)写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；(3)若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在点P，使△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)满足条件的P点有三个:48.（2022·江苏省苏州市11模，19，5）计算：．【答案】449.（2022江苏省苏州市11模，20，5）先化简，再求值：(2a＋1)2－2(2a＋1)＋3，其中a＝．【答案】1050．（2022·江苏省苏州市11模，29，9）在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连结BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连结BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．(1)当点P在线段ED上时(如图(1))，求证：BE＝PD＋PQ；(2)若BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(3)在(2)的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连结QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G(如图(3))，求线段PG的长．\n【答案】(1)略(2)(3)
