知识点17与二次函数有关几何方面应用一、选择题1.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】2.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】3.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】4.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】5.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】6.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】7.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】8.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】9.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】10．（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】11.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】12.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】13.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】14.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】15.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】51\n16.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】17.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】18.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】19.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】20．（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】二、填空题第1题图1.（2022·福建省泉州市晋江初中学业质量检查，17，4）如图，抛物线:的对称轴为直线,将抛物线向上平移5个单位长度得到抛物线,则抛物线的顶点坐标为；图中的两条抛物线、直线与轴所围成的图形(图中阴影部分)的面积为.【答案】,2.（2022·江苏省盐城市高中阶段教育招生统一考试仿真卷，18，3）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=x2-2上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为__________。第2题图PyxO51\n【答案】（0，-2）（-2，2）（2，2）；3.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】4.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】5.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】6.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】7.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】8.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】9.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】10．（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】11.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】12.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】13.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】14.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】15.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】16.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】51\n17.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】18.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】19.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】20．（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】三、解答题1.（2022·广东省清远市初中毕业生学业考试一模，25，9）如图1，抛物线过点A（，0）、B（，0）、C（0，），、是方程的两根，且，点是此抛物线的顶点.（1）求这条抛物线的表达式；（2）填空：（1）问题中抛物线先向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的抛物线是____________；（3）在第一象限内，问题（1）中的抛物线上是否存在点，使.ABCDO图1【答案】(1)设此抛物线的表达式为ABCDO图1E由得∵，∴，∴点的坐标为（4，0），点的坐标为（，0）∵抛物线经过点（0，），∴又∵抛物线经过、两点，∴51\n解得：，∴设此抛物线的表达式为（2）y=(x-3)２-6或y=x2-6x+3（3）存在由得点的坐标是（1，）过点作⊥轴，垂足为，设点的坐标为（，）∵又∵∴∴∵点在抛物线上，∴解得：，（舍去）∴点的坐标为（，2）2.（2022·河南省中招考试说明解密预测试卷六，23，11）如图，二次函数的图像与x轴的交点是A(m，0)、B(n，0)，与y轴的交点是C（0，2）．（1）求m，n的值；（2）设P(x，y)(0＜x＜n)是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．①线段PQ的长度是否存在最大值？如果有，最大值是多少？如果不存在，请说明理由.yAOBPxCQ②当以O、A、Q为顶点的三角形是直角三角形时，求出点P的坐标．【答案】（1）∵抛物线过C(0,2)∴c=2……………………………1分∵抛物线过A(m，0)、B(n，0)∴m,n分别是一元二次方程的两根yAOBPxCQ图1解，得51\n∴（2）①设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b．则有解得∴直线BC的函数表达式为y＝－x＋2．∵0＜x＜6∴PQ＝yQ－yP＝(－x＋2)－(x2－x＋2)＝－x2＋x＝－(x－3)2＋1∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值，最大值为1．②当∠OAQ＝90°时，点P与点A重合，∴P1(3，0)．当∠QOA＝90°时，点P与点C重合，∴x＝0（不合题意）．yAOBPxCQ图2D当∠OQA＝90°时，设PQ与轴交于点D，如图2．∵∠QOD＋∠OQD＝90°，∠OQD＋∠AQD＝90°．∴∠QOD＝∠AQD．又∵∠ODQ＝∠QDA＝90°，∴△ODQ∽△QDA．∴＝，即DQ2＝OD·DA．3.（2022·河南中招考试说明解密预测试卷四，23，11）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于点B、C，抛物线经过B、C两点，并与轴交于另一点A.（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设P(x,y)是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线轴与点M，交直线BC于点N.yBxOCNPAM①若点P在第一象限内.试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值，若不存在，请说明理由；②求以BC为底边的等腰三角形△PBC的面积.51\n【答案】（1）∵B(4,0)C(0,4)点B、C在抛物线上，∴解得：b=3,c=4,∴所求函数关系式为（2）①∵点P（x,y）在抛物线上，且PNx轴，∴设点P的左边为（，）同理可设点N的坐标为（x,-x+4）又点P在第一象限，∴PN=PM-NM=()-(-x+4)==∴当x=2时，线段PN的长度的最大值为4②以BC为底边的等腰△PBC则PB=PC，点P在线段BC的垂直平分线上，又由①知，OB=OC∴BC的中垂线也是的平分线，交BC于点Q∴设点P的坐标为（a,a）又点P在抛物线上，于是有∴，解得，∴设点P的坐标为：当点P的坐标为时，点P在第一象限，OP=，OQ=∴PQ=,S=当点P的坐标为时，点P在第三象限，OP=，51\n∴PQ=,S=∴等腰△PBC的面积为.4.（2022·河南中招考试说明解密预测试卷五，23，12）如图，函数L1:ｙ＝ａ（ｘ-2）２+4 (x>0)的图象顶点为M，过点B(4,0),将图象绕原点旋转180°后得到函数L2的图象，顶点为N,与x轴交于点A.（1）分别求出L1、L2的函数解析式.（2）P为抛物线L1上一动点,连接PO交L2于Q,连接PN、QN、PM、QM.求：平行四边形PMQN的面积S与P点横坐标x（0﹤x4）间关系式(3)求出平行四边形PMQN的面积S的最大值，及此时P点的坐标.AOBMPQNxy【答案】（1）把B（4,0）代入y=a(x-2)2+4得a=-1抛物线L1:y=-x2+4x抛物线L2:y=x2+4x(2)根据P点位置进行分类讨论：1.若P点在抛物线的AM段（2<x4）S平行四边形PMQN=4SΔPOM=4x2－8x2.若P点在抛物线的OM段（0<x<2）S平行四边形PMQN=4SΔPOM=-4x2+8x(3)当2<x4时，y随x的增大而增大当x=4时，S最大=32当0<x<2时，x=1时，S最大=4∴当x=4时，S最大=32，此时P点坐标为（4,0）.5.（2022·安徽省蚌埠市七中高一自主招生考试，19，18）如图，二次函数（）的图象与反比例函数y=图象相交于点，已知点的坐标为，点在第三象限内，且51\n的面积为（为坐标原点）.①求实数的值；②求二次函数（）的解析式；③设抛物线与轴的另一个交点为，点为线段OD上的动点（与OD不重合），过E点作EF∥OB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S与m的函数关系式；xyAOBFED④在③的基础上，试说明S是否存在最大值；若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】①；②y=x2＋3x;③S=－m2＋m;④存在，Smax=,.6.（2022·福建省南平市九年级适应性检测，26，14）如图，已知A（2，－１）为顶点的抛物线经过点B（4,0）．（1)求该抛物线的解析式；（2）设点D为抛物线对称轴与x轴的交点，点E为抛物线上一动点，点E作直线y=－2的垂线，垂足为N．①探索、猜想线段EN与ED之间的数量关系，并证明你的结论；②抛物线上是否有点E使△EDN为等边三角形？若存在，请求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．【提示：抛物线y=ax²+bx+c（a0）的对称轴是x=－，51\n顶点坐标是】【答案】（1）设抛物线的解析式为y=（x-h）2+k∵抛物线的顶点A（2，-1）且过点B（4，0）∴y=a（x-2）2-1，且0=4a-1，a=∴抛物线的解析式为y==…（2）猜想：DE=NE证明：易得D（2，0）当E与B重合时，DE=2,EN=2,∴DE=EN当E与O重合时，DE=2,EN=2,∴DE=EN当E与A重合时，DE=1,EN=1,∴DE=EN（上述三种情况未讨论或讨论不完整，扣1分）当点E不与B、O、A重合时，设点E坐标为，EN交x轴与点F在Rt△DEF中，DE²=DF²+EF²=（x－２）²+y²又∵NE=y＋２,∴NE²=y²＋4y＋4=y²++4=y²＋x²－4x+4=(x－2)²+y²∴DE=NE综上所述，DE=NE⑶答：存在当点E在x轴上时△EDN为直角三角形，点E在x轴下方时△EDN为钝角三角形，所以只当在E在x轴上方时△EDN才可能为等边三角形（注意：未作上述说明不扣分！）理由一：若△EDN为等边三角形，∵DE=NE=DN，且EN⊥x轴，51\n∴EN=FN=2，∴y=x²-x=2解得，x=22∴点E坐标为（2＋2，2）和（2—2，2）理由二：若△EDN为等边三角形，∵DE=NE=DN，且EN⊥x轴，∴∠EFD=30°，EN=FN=2在Rt△DEF中，tan∠EDF=，∴DF===2∵DA是抛物线的对称轴，且D（2,0）∴根据抛物线的对称性得点E的坐标为（2＋2，2）和（2—2，2）7.（2022·广东省汕头市中考模拟考试数学试卷，24，12）如图的平面直角坐标系中，抛物线交轴于A、B两点（点B在点A的右侧），交轴于点C，以OC、OB为两边作矩形OBDC，CD交抛物线于G．（1）求OC和OB的长；（2）抛物线的对称轴在边OB（不包括O、B两点）上作平行移动，交轴于点E，交CD于点F，交BC于点M，交抛物线于点P．设OE=m，PM=h，求h与m的函数关系式，并求出PM的最大值；MCByODPxAEFl（第7题图）G（3）连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△BEM相似？若存在，直接求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．【答案】（1）对于，MCByODPxAEl（第7题图）F当=0时，=4；当=0时，，解得．∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4）．∴OC=4，OB=3．（2）∵抛物线的对称轴⊥轴，在边PE∥，∴PE⊥轴．∵OE=m，∴点P的横坐标为m．∵点P在抛物线上，51\n∴点P的纵坐标为．∴PE=．在Rt△BOC中，tan∠OBC=．在Rt△BME中，ME=BEtan∠OBC=（OB－OE）·tan∠OBC=（3－m）=4－m．∴PM=PE－ME=－4+m=．∴h与m的函数关系式为h=（0<m<3）又h=，∵－<0，∴当m=时，h有最大值为3，∴PM的最大值为3．（3）①当m=时，△PFC∽△BEM，此时△PCM为直角三角形（∠PCM为直角）；②当m=1时，△CFP∽△BEM，此时△PCM为等腰三角形（PC=CM）．8.（2022·广东省惠州市初中毕业生学业模拟考试，22，9）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP.已知动点运动了x秒.（1）P点的坐标为（，）；（用含x的代数式表示）（2）试求⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。（3）请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。【答案】（１）(3—x,x)(2)设⊿MPA的面积为S，在⊿MPA中，MA=3—x，MA边上的高为x，其中，0≤x≤3.∴S=（3—x）×x=(—x2+3x)=—(x—)2+51\n∴S的最大值为此时x=.(3)延长ＮＰ交x轴于Ｑ，则有ＰＱ⊥ＯＡ①若ＭＰ＝ＰＡ∵ＰＱ⊥ＭＡ∴ＭＱ＝ＱＡ＝x.∴3x=3,∴x=1②若ＭＰ＝ＭＡ，则ＭＱ＝3—2x，ＰＱ=x，ＰＭ＝ＭＡ＝３—x在Ｒt⊿ＰＭＱ中，∵ＰＭ2＝ＭＱ2＋ＰＱ2∴(３—x)2=(3—2x)2+(x)2∴x=③若ＰＡ＝ＡＭ，∵ＰＡ＝x，ＡＭ＝３—x∴x=３—x∴x=综上所述，x=1，或x=，或x=。9.（2022·广东省实验中学初三综合测试（一），25，14）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为．（1）求点的坐标．第9题（2）当值由小到大变化时，求与的函数关系式．（3）若在直线上存在点，使等于，请直接写出的取值范围．（4）在值的变化过程中，若为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的值．51\n【答案】（1）作于，则．图①，．（2）当时，如图①，．当时，如图②，设交于．．．图②即．或．当时，如图③，设交于．．，或．当时，如图④，．（此问不画图不扣分）图③图④（3）．（提示：以为直径作圆，当直线与此圆相切时，．）（4）的值为，，．图⑤（提示：当时，．当时，（舍），．当时，．）51\n10．（2022·海南省初中毕业生模拟考试，24，14）如图14，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3。（1）求抛物线的解析式；（2）作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；（3）①在x轴上方的抛物线上，是否存在一点P，使四边形OBEP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②在抛物线的对称轴上，是否存在上点Q，使得△BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。yx图14AOBCED【答案】（1）∵OA＝2，∴点A的坐标为（－2，0）.∵OC＝3，∴点C的坐标为（0，3）.∵把（－2，0），（0，3）代入，得0＝－2－2b＋cb＝解得3＝cc＝3∴抛物线解析式为。（2）把y＝0代入，解得x1＝－2,x2＝3∴点B的坐标为（3，0），∴OB＝OC＝3∵OD⊥BC，∴OD平分∠BOC∴OE所在的直线为y＝xx图14－1AOBCEDPy＝xx1＝2，x2＝－3解方程组得yy1＝2，y2＝－3∵点E在第一象限内，∴点E的坐标为（2，2）。（3）存在，如图14－1，过点E作x轴的平行线与抛物线交于另一点P，连接BE、PO，把y＝2代入，解得x1＝－1,x2＝251\n∴点P的坐标为（－1，2）∵PE∥OB，且PE＝OB＝3x图14－2AOBCEDQ∴四边形OBEP是平行四边形∴在x轴上方的抛物线上，存在一点P（－1，2），使得四边形OBEP是平行四边形。（4）存在，如图14－2，设Q是抛物线对称轴上的一点，连接QA、QB、QE、BE∵QA＝QB，∴△BEQ的周长等于BE＋QA＋QE又∵BE的长是定值∴A、Q、E在同一直线上时，△BEQ的周长最小，由A（－2，0）、E（2，2）可得直线AE的解析式为∵抛物线的对称轴是x＝∴点Q的坐标为（，）所以，在抛物线的对称轴上，存在点Q（，），使得△BEQ的周长最小。11.（2022·河南省中招考试猜题试卷六，23，11）如图，二次函数y=-x2+ax+b的图像与x轴交于A(-，0)、B(2，0)两点，且与y轴交于点C；(1)求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状；(2)在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；(3)在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.yABCOx【答案】(1)根据题意，将A(-，0)，B(2，0)代入y=-x2+ax+b中，得，解这个方程，得a=，b=1，∴该拋物线的解析式为y=-x2+x+1，当x=0时，y=1，∴点C的坐标为(0，1)，51\n∴在△AOC中，AC===.在△BOC中，BC===.AB=OA+OB=+2=，∵===，∴△ABC是直角三角形.(2)点D的坐标为(，1).(3)存在.由(1)知，AC^BC.①若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示，可求得直线BC的解析式为y=-x+1，直线AP可以看作是由直线BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y=-x+b，把点A(-，0)代入直线AP的解析式，求得b=-，yABCOxP图1yABCOPx图2∴直线AP的解析式为y=-x-.∵点P既在拋物线上，又在直线AP上，∴点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=-x-，解得x1=，x2=-(舍去).当x=时，y=-，∴点P(，-).②若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示.可求得直线AC的解析式为y=2x+1.直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为y=2x+b，把点B(2，0)代入直线BP的解析式，求得b=-4，∴直线BP的解析式为y=2x-4.∵点P既在拋物线上，又在直线BP上，∴点P的纵坐标相等，51\n即-x2+x+1=2x-4，解得x1=-，x2=2(舍去).当x=-时，y=-9，∴点P的坐标为(-，-9).综上所述，满足题目条件的点P为(，-)或(-，-9).12.（2022·河南中招考试说明解密预测试卷四，23，11）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于点B、C，抛物线经过B、C两点，并与轴交于另一点A.（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设P(x,y)是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线轴与点M，交直线BC于点N.yBxOCNPAM①若点P在第一象限内.试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值，若不存在，请说明理由；②求以BC为底边的等腰三角形△PBC的面积.【答案】（1）∵B(4,0)C(0,4)点B、C在抛物线上，∴解得：b=3,c=4,∴所求函数关系式为（2）①∵点P（x,y）在抛物线上，且PNx轴，∴设点P的左边为（，）同理可设点N的坐标为（x,-x+4）又点P在第一象限，∴PN=PM-NM51\n=()-(-x+4)==∴当x=2时，线段PN的长度的最大值为4②以BC为底边的等腰△PBC则PB=PC，点P在线段BC的垂直平分线上，又由①知，OB=OC∴BC的中垂线也是的平分线，交BC于点Q∴设点P的坐标为（a,a）又点P在抛物线上，于是有∴，解得，∴设点P的坐标为：当点P的坐标为时，点P在第一象限，OP=，OQ=∴PQ=,S=当点P的坐标为时，点P在第三象限，OP=，∴PQ=,S=∴等腰△PBC的面积为13.（2022·河南省河南中招押题试卷二，23，12）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形的边落在轴的正半轴上，且∥，，=4，=6，=8．正方形的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形面积．将正方形沿轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形的重叠部分面积为．（1）求正方形的边长；（2）①正方形平行移动过程中，通过操作、观察，试判断（＞0）的变化情况是；②当正方形顶点移动到点时，求的值；（3）设正方形的顶点向右移动的距离为，求重叠部分面积与的函数关系式．ABCODEF51\n【答案】（1）∵，ABCODEFMN（如图①）设正方形的边长为，∴，或（舍去）．（2）先增大而减少．（3）①当0≤＜4时，重叠部分为三角形，如图①．可得△∽△，ABCODEF（如图②）∴，=．∴．②当4≤＜6时，重叠部分为直角梯形，如图②．ABCODEFM（如图③）．③当6≤＜8时，重叠部分为五边形，如图③．可得，，．AOBCDEFM（如图④）=．④当8≤＜10时，重叠部分为五边形，如图④．=．ABCOEF⑤当10≤≤14时，重叠部分为矩形，如图⑤．．51\nO（如图⑤）14.（2022·河南省中招押题试卷三，22，10）如图,等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD，AD=2,BC=4.点M从B点出发以每秒2个单位的速度向终点C运动；同时点N从D点出发以每秒1个单位的速度向终点A运动.过点N作NP⊥BC,垂足为P，NP＝2.连接AC交NP于Q，连接MQ.若点N运动时间为t秒.求：（1）请用含t的代数式表示PC；（2）求△CMQ的面积S与时间t的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？【答案】（1）如图,过A作AE垂直x轴于E，则由等腰梯形的对称性可知：BE=当动点N运动t秒时，PC＝1+t.（2）∵AD∥BC，NP⊥BC∴∠ANQ=∠CPQ=90°又∵∠AQN=∠CQP∴△AQN∽△CQP∴∴∴PQ=∵点M以每秒2个单位运动，∴BM＝2t，CM＝4—2tS△CMQ＝＝当t＝2时，M运动到C点，△CMQ不存在，∴t2∴t的取值范围是0≤t＜251\nS△CMQ＝.当S有最大值，最大值是.15.（2022·河南省中招押题试卷三，23，11）如图所示,在平面直角坐标系xoy中,矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且18a+c=0.(1)求抛物线的解析式.(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.①移动开始后第t秒时,设△PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围.xy②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标,如果不存在,请说明理由.【答案】（1）设抛物线的解析式为，由题意知点A（0，－12），所以，又18a+c=0，∵AB∥CD,且AB=6,∴抛物线的对称轴是∴所以抛物线的解析式为（2）①，②当时，S取最大值为9.这时点P的坐标（3，－12），点Q坐标（6，－6）若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：（Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，－18），将（3，－18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，－18）；（Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，－6），将（3，－6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件.（Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，－6），51\n将（9，－6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件综上所述，点R坐标为（3，－18）16.（2022·河南省中招押题试卷一，23，11）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：抛物线经过点．（1）求点的坐标；（2）求抛物线的解析式；BACxyo（3）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）过点作轴，垂足为，BADCOMNxyP1P2；又，，点的坐标为；（2）抛物线经过点，则得到，解得，所以抛物线的解析式为；（3）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：若以点为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，；51\n，可求得点；若以点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，同理可证；，可求得点；经检验，点与点都在抛物线上．17.（2022·河南省新密市九年级教学质量检测试卷，23，10）阅读材料：如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(-1,-4),交x轴于点A(-3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.DBCOAyx【答案】（1）设抛物线的解析式为=a（x+1-4.把A（-3，0）代入解析式，解得a=1.∴抛物线的表达式为=（x+1-4=+2x-4∴B点的坐标为（0，-3）.设直线AB的表达式为把A（-3，0），B(0,-3)待入，得解得k=-1，b=-3.∴直线AB的表达式为51\n（2）因为点C坐标为（-1，-4），∴当x=-1时，.∴CD=-2-(-4)=2..(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x（-3<x<0），△PAB的铅垂高为h.则h=由得.化简得：.解得.将x=-2代入中，解得P点坐标为（-2，-3）.将x=-1代入中，P点坐标为（-1，-4）与顶点C重合.所以还存在点P（-2，-3），满足条件.18.（2022·湖北省黄冈中学模拟数学试题，25，14）如图，已知抛物线y=a(x－1)2＋(a≠0)经过点A（－2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s)．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?(3)若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿O→C和B→O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们运动的时间为t(s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小?并求出最小值及此时PQ的长．【答案】(1)∵抛物线y=a(x－1)2＋(a≠0)经过点A（－2，0），51\n∴二次函数的解析式为：．(2)∵D为抛物线的顶点，∴D（1，），过D作DN⊥OB于N，则DN=．AN=3，，∴∠DAO=60°．∵OM//AD，①当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形，∴OP=6，∴t=6(s)．②当DP⊥OM时，四边形DAOP是直角梯形，过O作OH⊥AD于H，AO=2，则AH=1．（如果没求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA求AH=1）∴OP=DH=5，t=5(s)．③当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，∴OP=AD－2AH=6－2=4，∴t=4(s)．综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．(3)由（2）及已知，∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等边三角形，则OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，∴OQ=6－2t(0<t<3)．过P作PE⊥OQ于E，19.（2022·湖北省襄阳市普通高中推荐招生考试，20，13）如图，直径为５的⊙M圆心在x轴正半轴上，⊙M和x轴交于A、B两点，和y轴交于C、D两点且CD＝4，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，顶点51\n为N﹒（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）直线NC与x轴交于点E，试判断直线CN与⊙M的位置关系并说明理由；（3）设点Q是（1）中所求抛物线对称轴上的一点，试问在（1）中所求抛物线上是否存在点P使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由﹒ECxBOADy●MN【答案】（１）连接MC，∵直径AB⊥CD，∴OC=OD=2，又∵MC=AB=2.5在Rt⊿OMC中，OM2=MC2－OC2，∴OM=1.5，OA=1，OB=4，则有A（－1，0），B（4，0），C（0，－2）a-b+c=0，16a+4b+c=0，C=-2.又由题意得y=ax2+bx+c经过点A(－1,0)，点B(4,0)和C(0,－2)三点,解这个方程组得a=,b=－,c=－2.所求抛物线解析式为y=x2－x－2 . （２）配方得y=(x－)2－.顶点坐标为(,－). 作对称轴MN，过点N作NH⊥轴于H.在△CMN和△CHN中，CN2+CM2=（）2+（－2）2+（）2=，MN2=（）2=∴CN2+CM2=MN2，∴△MCN是直角三角形且∠MCN=900，又∴MC是半径，∴直线CN是⊙M的切线.（３）存在以Ａ、Ｂ、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．设P点坐标为（x,y）且在（１）中所求抛物线上，又由题意可知Q点在对称轴直线Ｘ＝上，∴点Q的横坐标为.分以下三种情况讨论：①当AB为平行四边形的边,点P在对称轴右侧时，QP=x－在平行四边形ABPQ中,AB=QP=5,∴x－=5,∴x=51\n此时y=x2－x－2=∴点P的坐标为(,) ②当AB为平行四边形边,点P在对称轴左侧时，PQ=－x在平行四边形ABMN中,AB=PQ=5∴－x=5∴x=－此时y=x2－x－2=∴点P的坐标为(－,) ③当AB为对角线时,点P与抛物线顶点重合此时,点P的坐标为(,－) 综上所述点所求P的坐标为(,)或(－,)或(,－) 20．（2022·湖北省枣阳市中考适应性考试，26，12）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点A，动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，运动时间为（0＜＜5）秒.（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）以OC为直径的⊙O′与BC交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？请说明理由.（3）在点P从点A出发的同时，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，动点N从点C出发沿CA以每秒个单位长度的速度向点A运动，运动时间和点P相同.①记△BPQ的面积为S，当t为何值时，S最大，最大值是多少？②是否存在△NCQ为直角三角形的情形，若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由.OMCBAxyPQNO′•OCBAxy备用图O′•图M【答案】（1）在中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12.∴C(0,9)，B(12,0).51\n又抛物线经过B，C两点，∴解得∴.于是令y=0，得，解得x1=-3，x2=12.∴A(-3,0).（2）当t=3秒时，PM与⊙O′相切.连接OM.∵OC是⊙O′的直径，∴∠OMC=90°.∴∠OMB=90°.∵O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP，∴OP是⊙O′的切线.而PM是⊙O′的切线，∴PM=PO.∴∠POM=∠PMO.又∵∠POM+∠OBM=90°，∠PMO+∠PMB=90°，∴∠PMB=∠OBM.∴PM=PB.∴PO=PB=OB=6.∴PA=OA+PO=3+6=9.此时t=3（秒）.∴当t=3秒，PM与⊙O′相切.（3）①过点Q作QD⊥OB于点D.∵OC⊥OB，∴QD∥OC.∴△BQD∽△BCO.∴=.又∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴=，解得QD=.∴S△BPQ=BP•QD=.即S=.S=.故当时，S最大，最大值为.②存在△NCQ为直角三角形的情形.∵BC=BA=15，∴∠BCA=∠BAC，即∠NCM=∠CAO.∴△NCQ欲为直角三角形，∠NCQ≠90°，只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°两种情况.当∠NQC=90°时，∠NQC=∠COA=90°，∠NCQ=∠CAO，∴△NCQ∽△CAO.∴=.∴=，解得.当∠QNC=90°时，∠QNC=∠COA=90°，∠QCN=∠CAO，∴△QCN∽△CAO.∴=.∴=，解得.综上，存在△NCQ为直角三角形的情形，t的值为和.21.（2022·湖南省长沙市中考数学模拟试题，25，10）如图4—13，对称轴为直线x=一的抛物线经过点A(-6，0)和点B(0，4)．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)设点E(x，y)是抛物线上的一个动点，且位于第三象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求□OEAF的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当□OEAF的面积为24时，请判断□OEAF是否为菱形?51\n②是否存在点E，使□OEAF为正方形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+)2+k(k≠0)，则依题意得：a+k=0a+k=4解之得：a=，k=-即：y=(x+)2-，顶点坐标为(-，-)．(2)∵点E(x，y)在抛物线上，且位于第三象限．∴S=2S△OAE=2××0A×(-y)=-6y=-4(x+)2+25(-6<x<-1)．①当S=24时，即-4(x+)2+25=24，解之得：x1=-3,x2=-4∴点E为(-3，-4)或(-4，-4)当点E为(-3，-4)时，满足OE=AE，故□OEAF是菱形；当点E为(-4，-4)时，不满足OE=AE，故□OEAF不是菱形．②当0E⊥AE且OE=AE时，□OEAF是正方形，此时点E的坐标为(-3，-3)，而点E不在抛物线上，故不存在点E，使□OEAF为正方形。22.（2022·湖南省长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷（二），23，9）51\n如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P到x轴的距离是9，抛物线与x轴交于O、M两点，OM=6；矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A、D在抛物线上。（1）P点的坐标、M点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）设矩形ABCD的周长为，，求与的关系式，并求的最大值；【答案】（1）P（3，9）M（0，6）（2） （3），当x=2时，最大值为2023.（2022·湖南省长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷二，25，,10）如图：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AB=20cm，CD=8cm。等边三角形PMN的边长MN=20cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等边三角形PMN沿AB所在的直线匀速向右移动，直到点M与点B重合为止。（1）等边三角形PMN在整个运动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由形变为形，再变为形；（2）设等边三角形移动距离x（cm）时，等边三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠的部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式；【答案】（1）等边三角形、等腰梯形、等边三角形（2）24.（2022·湖南省长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷二，26，10）已知：如图所示，抛物线的顶点C在以D（―2，―2）为圆心，4为半径的圆上，且经过⊙D与轴的两个交点A、B，连结AC、BC、OC。（1）求点C的坐标；（2）求图中阴影部分的面积；（3）在抛物线上是否存在点P，使DP所在直线平分线段OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）如图，作CH⊥轴，垂足为H，∵直线CH为抛物线对称轴，51\n∴H为AB的中点。∴CH必经过圆心D（―2，―2）。∵DC=4，∴CH=6∴C点的坐标为（―2，―6）。（2）连结AD，在Rt△ADH中，AD=4，DH=2，∴，∴∴∴阴影部分的面积（3）又∵，H点坐标为（―2，0），H为AB的中点，∴A点坐标为（―2―2，0），B点坐标为（，0）。又∵抛物线顶点C的坐标为（―2，―6），设抛物线解析式为∵B（，0）在抛物线上，∴，解得。∴抛物线的解析式为设OC的中点为E，过E作EF⊥轴，垂足为F，连结DE，∵CH⊥轴，EF⊥轴，∴CH∥EF∵E为OC的中点，∴。即点E的坐标为（―1，―3）。设直线DE的解析式为，∴，解得，∴直线DE的解析式为。若存在P点满足已知条件，则P点必在直线DE和抛物线上。设点P的坐标为（，），∴，即点P坐标为（，），∴，解这个方程，得，∴点P的坐标为（0，－4）和（－6，2）。25.（2022·湖北省黄冈市路口中学中考数学模拟试题，25，15）如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.51\n【答案】（1）将A（1，0）B（-3，0）代入中得，∴∴抛物线解析式为：（2）存在 理由如下：由题意知A、B两点关于抛物线的对称轴对称，∴直线BC与的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，∵，∴C的坐标为：（0，3），直线BC解析式为 Q点坐标即为的解，∴，∴Q（-1，2）26.（2022·江苏省昆山市第二学期调研测试试卷，28，11）如图，已知抛物线y＝－x2＋x＋4交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式； (2)设P(x，y)（x>0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围； (3)在(2)的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．【答案】（1）令y=0，解得x1=－2x2=4，直线AB的解析式为y=－x＋4.（2）正方形PEQF与直线AB有公共点，则2≤x≤4.（3）当2≤x≤时，S=－x2＋8x－8,∴x=时，Smax=27.（2022·江苏省建湖县上冈实验初中初三年级数学模拟试卷，28，13）如图①，Rt△ABC中，∠B=9051\n°，∠CAB=30°．它的顶点A的坐标为(10,0)，顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿的方向匀速运动，同时点Q从点D(0,2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求∠OAB的度数．（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②）.求①点P的运动速度②面积S与时间t之间的函数关系式．（3）如果点P,Q保持（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P运动到点B时,∠OPQ是(填“锐角”、“直角”、“钝角”)，在整个运动过程中，使∠OPQ=90°的点P的个数为个．（图①）ACBQDOPxy30O5tS（图②）【答案】(1)60°(2)①2个单位/秒②S=-t2+9t+10(0≤t≤5)(3)钝角;2个28.（2022·江苏省上冈中学数学中考模拟试卷，25，10）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时AB的长.第28题【答案】（1）s=；（2）当s=50时x=5或10（舍去）29.（2022·江苏省扬州市九年级网上阅卷适应性测试，28，12）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）(m51\n＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的二次函数图像经过点B、D．（1）用m的代数式表示点A、D的坐标；（2）求这个二次函数关系式；（3）点Q(x，y)为二次函数图像上点P至点B之间的一点，连接PQ、BQ，当x为何值时，四边形ABQP的面积最大？【答案】(1)∵点B坐标为（3，m）(m＞0)，∴OC=3，BC=m.∵AC=BC，∴AC=m，∴点A(3－m,0).(2分）由题意得：AO=0D,∴点D(0,m－3).(2)设以P（1，0）为顶点的抛物线的解析式为y=k(x－1)2(k≠0)，∵抛物线过点B、D，∴解得：所以二次函数的解析式为y=(x－1)2.即：y=x2－2x+1.(3)连接QC，作QE⊥x轴于点E，，QF⊥BC于点F，∵点B(3，m)在抛物线y=x2－2x+1，则m=4，∴AC=BC=4.∵点Q(x，y)在抛物线y=x2－2x+1，则QE=y=x2－2x+1，QF=3－x.设四边形ABQP的面积为s,则S=S△ABC－S△QCP－S△QCB=×4×4－×2×(x2－2x+1)－×4(3－x)=－x2+4x+1=－(x－2)2+5.∴当x=2时，四边形ABQP的面积最大.30．（2022·江苏省苏州市中考数学模拟试卷十，29，9）如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC＝BC．(1)求抛物线的对称轴；(2)写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；(3)若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在点P，使△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．51\n【答案】(1)(2)(3)满足条件的P点有三个:31.（2022·江苏省苏州市中考数学模拟十一，28，9）如图，一次函数y＝x－5分别交x轴、y轴于A、B两点，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A、B两点．(1)求二次函数的解析式；(2)设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点，且DE＝．①若点D的横坐标为t，写出点D、E的坐标（用t的代数式表示）；②抛物线上是否存在点F，使点F与点D关于x轴对称？如果存在，请求出△AEF的面积；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)y=－x2+6x－5．(2)①D(t，t－5)，E(t+1，t－4)或D(t，t－5),F(t－1，t－6).②存在1232.（2022·江苏省苏州市中考数学模拟十一，29，9）在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连结BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连结BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．(1)当点P在线段ED上时(如图(1))，求证：BE＝PD＋PQ；(2)若BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(3)在(2)的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连结QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G(如图(3))，求线段PG的长．【答案】(1)略(2)(3)51\n33.（2022·江苏省太仓市调研测试试卷，29，10）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为P，对称轴直线x＝1与x轴交于点D，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（－1，0）、C(0，3)．(1)求此抛物线的解析式；(2)点E在线段BC上，若△DEB为等腰三角形，求点E的坐标；(3)点F、Q都在该抛物线上，若点C与点F关于直线x＝1成轴对称，连结BF、BQ，如果∠FBQ＝45°，求点Q的坐标；(4)将△BOC绕着它的顶点B顺时针在第一象限内旋转，旋转后的图形为△BO'C'，BO'与BP重合时，则△BO'C'不在BP上的顶点C'的坐标为（直接写出答案）．【答案】（1）y=－x2＋2x＋3;(2)点E1（1,2），E2（2,1），E3（3－，）；（3）点Q（－，）；（4）点C′（3＋，）.34.（2022·江苏省盐城市高中阶段教育招生统一考试仿真卷，25，10）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC为等腰梯形，直接写出此时P点的坐标：P（，）。51\n【答案】（1）将B、C两点的坐标代入得解得：所以二次函数的表达式为：（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，），PP交CO于E若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．连结PP则PE⊥CO于E，∴OE=EC=∴=．∴=解得=，=（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（，）（3）P（2，-3）35.（2022·江西省数学中考样卷(三)，24，10）矩形OABC的顶点A(-8，0)、C(0，6)，点D是BC边上的中点，抛物线经过A、D两点，如图所示．(1)求点D关于y轴的对称点的坐标及a、b的值；(2)在y轴上取一点P,使PA+PD长度最短,求点P的坐标；第35题图(3)将抛物线向下平移,记平移后点A的对应点为，点D的对应点为，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到两点距离之和最短的一点，求此抛物线的解析式．51\n【答案】（1）由矩形的性质可知：B（-8，6）∴D（-4，6）；点D关于y轴对称点D′（4，6）将A（-8，0）、D（-4，6）代入，得：；（2）设直线AD′的解析式为，则：∴解得：∴直线与y轴交于点（0，4），所以点P（0，4）；（3）解法1：由于OP＝4，故将抛物线向下平移4个单位时，有OA1+OD1最短；∴，即此时的解析式为；解法2：设抛物线向下平移了m个单位，则A1（-8，-m），D1（-4，6-m），∴令直线为；∵点O为使OA1+OD1最短的点，∴∴m=4，即将抛物线向下平移了4个单位；∴，即此时的解析式为.36.（2022·江西省中考数学样卷（四），24，10）经过原点和（4，0）的两条抛物线，，顶点分别为，且都在第1象限,连结交轴于，且.(1)分别求出抛物线和的解析式;51\n(1)点C是抛物线的轴上方的一动点,作轴于,交抛物线于D,试判断和的数量关系,并说明理由;4G(2)直线,交抛物线于M,交抛物线于N,是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出的值；若不存在,说明理由..【答案】(1)∵∴(2,3),(2,6).∵过(2,3)和依题意得:解得∴同理(2)证明;设.∵在上,∴∵在上,51\n∴.∴()—()=.∴(3)由于MN∥BT,当假设存在四边形为平行四边形时,则=6.∵∴依题意,得:.=-6,此方程无解,=6,解之得:∴∴存在使得以点为顶点的四边形是平行四边形.37.（2022·江西省2022年中等学校招生统一考试数学样卷（一），24，10）已知抛物线m：，顶点为A，若将抛物线m绕着点（1，0）旋转180°后得到抛物线n，顶点为C.（1）当a=1时.试求抛物线n的顶点C的坐标，再求它的解析式；（2）在（1）中，请你分别在抛物线m、n上各取一点D、B（除点A、C外），使得四边形ABCD为平行四边形（直接写出所取点的坐标，并至少写出二种情况）；（3）设抛物线m的对称轴与抛物线n的交点为P，且=6，试求a的值【答案】（1）当a=1时，抛物线m的解析式为，A（－1，－1），当点A（－1，－1）绕着点（1，0）旋转180°后所得点C坐标为（3,1）,根据题意，可得抛物线n的解析式为，即.（2）如：D（－2，0）与B（4，0）或D（0，0）与B（2，0）或D（－3，3）与B（5，－3）.（答案不唯一）（3）抛物线n的解析式可表示为即，∵A(－1,－1),当x=－1时，y=－a－6a－9a+1=－16a+1，∴，51\n当16a－2=6时，16a=8，a=，当16a－2=－6时，16a=－4，a=，∴或.38.（2022·江西省初三数学七校联考测试卷，25，10）如图，过点E（0，－1）作平行于x轴的直线l，抛物线上的两点A、B的横坐标分别为－1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF.(1)求点A、B、F的坐标；(2)求证CF⊥DF；(3)点P是抛物线对称轴右侧图像上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)∵当x=－1时，y=1/4，x=4时,y=4,∴A（－1，4），B（4，4）.把A和B的点坐标代入y=kx+b,K=3/4,b=1.∴y=3x/4+1.当x=0时,y=1,∴F（0，1）.（2）∵,,CD=5,∴.51\n∴△CFD为Rt△，∠CFD=90°,即CF⊥DF.（3）∵∠CFD=∠OPQ=90°,∴当∠FCD=∠POG或∠FDC=∠POG时，△CFD和△OPQ相似.设P点坐标为,∴sin∠FCD=sin∠POG或sin∠FDC=sin∠POG,即或.解得a=8或a=2.∴点P的坐标为（8，18），（2，1）.39.（2022·山东省青岛市初三模拟试题二，24，12）如图，等边三角形ABC的边长为8cm，动点P从点A出发以2cm/秒的速度沿AC方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以1cm/秒的速度沿CB方向向终点B运动，过点P、Q分别作边AB的垂线段PM、QN，垂足分别为点M、N．设P、Q两点运动时间为t秒（0＜t＜4），四边形MNQP的面积为Scm2．（1）当点P、Q在运动的过程中，t为何值时，ΔPCQ是直角三角形？（2）求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．QPCMNABA（3）是否存在某一时刻t，使四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．51\n【答案】（1）点P、Q在运动的过程中，t＝时，PQ∥AB当CP＝CQ时，PQ∥AB，即8－2t＝t解得t＝（2）根据题意得，AP＝2t，QB＝8－t,△APM和△QNB是直角三角形，四边形MNQP是直角梯形．在Rt△APM和Rt△QNB中所以MN＝AB－AM－BN＝（3）假设存在某一时刻，使四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的，即S＝S△ABC整理得：解得，（舍去）答：当时，四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的．40．（2022·湖北省襄阳市普通高中推荐招生考试，20，13）如图，直径为５的⊙M圆心在x轴正半轴上，⊙M和x轴交于A、B两点，和y轴交于C、D两点且CD＝4，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，顶点为N﹒（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）直线NC与x轴交于点E，试判断直线CN与⊙M的位置关系并说明理由；（3）设点Q是（1）中所求抛物线对称轴上的一点，试问在（1）中所求抛物线上是否存在点P使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由﹒ECxBOADy●MN51\n【答案】（１）连接MC，∵直径AB⊥CD，∴OC=OD=2，又∵MC=AB=2.5在Rt⊿OMC中，OM2=MC2-OC2，∴OM=1.5，OA=1，OB=4，则有A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）a-b+c=0，16a+4b+c=0，C=-2.又由题意得y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)，点B(4,0)和C(0,-2)三点,解这个方程组得a=,b=-,c=-2.所求抛物线解析式为y=x2-x-2 . （２）配方得y=(x-)2-.顶点坐标为(,-). 作对称轴MN，过点N作NH⊥轴于H.在△CMN和△CHN中，CN2+CM2=（）2+（-2）2+（）2=，MN2=（）2=∴CN2+CM2=MN2，∴△MCN是直角三角形且∠MCN=900，又∴MC是半径，∴直线CN是⊙M的切线.（３）存在以Ａ、Ｂ、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．设P点坐标为（x,y）且在（１）中所求抛物线上，又由题意可知Q点在对称轴直线Ｘ＝上，∴点Q的横坐标为.分以下三种情况讨论：①当AB为平行四边形的边,点P在对称轴右侧时，QP=x-在平行四边形ABPQ中,AB=QP=5,∴x-=5,∴x=此时y=x2-x-2=∴点P的坐标为(,) ②当AB为平行四边形边,点P在对称轴左侧时，PQ=-x在平行四边形ABMN中,AB=PQ=5∴-x=5∴x=-此时y=x2-x-2=∴点P的坐标为(-,) ③当AB为对角线时,51\n点P与抛物线顶点重合此时,点P的坐标为(,-) 综上所述点所求P的坐标为(,)或(-,)或(,-) 41.（2022·云南省楚雄州双柏县中考数学模拟考试，24，12）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4,0），B（0,-4），C（2,0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．yAOCMBx第41题图（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．【答案】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则有：yAOCMBxD∴抛物线的解析式y=x2+x﹣4（2）过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为（m，n）.则AD=m+4，MD=﹣n，n=m2＋m﹣4.∴S=S△AMD+S梯形DMBO－S△ABO=(m+4)(﹣n)＋(﹣n＋4)(﹣m)－×4×4=﹣2n﹣2m﹣8=﹣2(m2＋m﹣4)﹣2m﹣8=﹣m2-4m(－4<m<0)∴S最大值=4（3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：（-4，4），（4，-4），（-2+，2-），（-2-，2＋）42.（2022·湖北省枣阳市中考适应性考试，26，12）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点A，动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，运动时间为（0＜＜51\n5）秒.（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）以OC为直径的⊙O′与BC交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？请说明理由.（3）在点P从点A出发的同时，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，动点N从点C出发沿CA以每秒个单位长度的速度向点A运动，运动时间和点P相同.①记△BPQ的面积为S，当t为何值时，S最大，最大值是多少？②是否存在△NCQ为直角三角形的情形，若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由.OMCBAxyPQNO′•OCBAxy备用图O′•图M【答案】（1）在中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12.∴C(0,9)，B(12,0).又抛物线经过B，C两点，∴解得∴.于是令y=0，得，解得x1=-3，x2=12.∴A(-3,0).（2）当t=3秒时，PM与⊙O′相切.连接OM.∵OC是⊙O′的直径，∴∠OMC=90°.∴∠OMB=90°.∵O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP，∴OP是⊙O′的切线.而PM是⊙O′的切线，∴PM=PO.∴∠POM=∠PMO.又∵∠POM+∠OBM=90°，∠PMO+∠PMB=90°，∴∠PMB=∠OBM.∴PM=PB.∴PO=PB=OB=6.∴PA=OA+PO=3+6=9.此时t=3（秒）.∴当t=3秒，PM与⊙O′相切.（3）①过点Q作QD⊥OB于点D.∵OC⊥OB，∴QD∥OC.∴△BQD∽△BCO.∴=.又∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴=，解得QD=.∴S△BPQ=BP•QD=.即S=.S=.故当时，S最大，最大值为.51\n②存在△NCQ为直角三角形的情形.∵BC=BA=15，∴∠BCA=∠BAC，即∠NCM=∠CAO.∴△NCQ欲为直角三角形，∠NCQ≠90°，只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°两种情况.当∠NQC=90°时，∠NQC=∠COA=90°，∠NCQ=∠CAO，∴△NCQ∽△CAO.∴=.∴=，解得.当∠QNC=90°时，∠QNC=∠COA=90°，∠QCN=∠CAO，∴△QCN∽△CAO.∴=.∴=，解得.综上，存在△NCQ为直角三角形的情形，t的值为和.43.（2022·浙江省杭州市上城区中考模拟卷，24，12）抛物线与直线y=x+1交于A、C两点，与y轴交于B，AB∥x轴，且，（1）求抛物线的解析式。（2）P为x轴负半轴上一点，以AP、AC为边作，是否存在P，使得Q点恰好在此抛物线上？若存在，请求出P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。（3）AD⊥X轴于D，以OD为直径作⊙M，N为⊙M上一动点，（不与O、D重合），过N作AN的垂线交x轴于R点，DN交Y轴于点S，当N点运动时，线段OR、OS是否存在确定的数量关系？写出证明。【答案】（1）(2)联立得A（-2，-1）C（1，2）设P（a,0），则Q（a+3,3）51\n∴∴,∴p或Q或（3）∵△AND～△RON，∴∵△ONS～△DNO，∴∴44.（2022·浙江省宁波市七中保送生推荐考试，26，12）如图，已知抛物线y=ax2+bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC=a，∠CBE=b，求sin（a－b）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）由题意C（0，－3），，∴抛物线的解析式为y=ax2－2ax－3（a＞0），过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN=1，，∴CN=2，于是m=－1．同理可求得B（3，0），∴a×32－2－2a×3－3=0，得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2－2x－3．（2）由（1）得A（－1，0），E（1，－4），D（0，1）．∴在Rt△BCE中，，，∴，，∴，即51\n，∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=b，因此sin（a－b）=sin（∠DBC－∠OBD）=sin∠OBC=．（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）．过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得．过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）．故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，1∕3），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似．45.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】46.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】47.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】48.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】49.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】50．（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】51.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】52.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】53.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】51\n54.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】55.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】56.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】57.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】58.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】59.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】60．（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】51
