2.4 分式方程[过关演练] (30分钟 70分)1.解分式方程2xx-1-x-21-x=12时,去分母后得的方程正确的是(C)A.2x-x+2=x-1B.4x-2x+4=x-1C.4x+2x-4=x-1D.2x+x-2=x-1【解析】去分母得4x+2x-4=x-1.2.(2022·成都)分式方程x+1x+1x-2=1的解是(A)A.x=1B.x=-1C.x=3D.x=-3【解析】去分母,得(x+1)(x-2)+x=x(x-2),去括号,得x2-2x+x-2+x=x2-2x,解得x=1,经检验,x=1是原分式方程的解.3.如果解关于x的分式方程mx-2-2x2-x=1时出现增根,那么m的值为(D)A.-2B.2C.4D.-4【解析】方程两边乘x-2得m+2x=x-2,解得x=-2-m.因为分式方程出现增根,所以分式方程的增根是2,所以-2-m=2,解得m=-4.4.某服装厂准备加工400套运动装,在加工完160套后,采用了新技术,使得工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成任务,问原计划每天加工服装多少套?在这个问题中,设原计划每天加工x套,则根据题意可得方程为(A)A.160x+400-160(1+20%)x=18B.160x+400(1+20%)x=18C.160x+400-16020%x=18D.400x+400-160(1+20%)x=18【解析】设原计划每天加工x套,则提高效率后每天加工(1+20%)x套,由题意得160x+400-160(1+20%)x=18.5\n5.(2022·湖南株洲)关于x的分式方程2x+3x-a=0的解为x=4,则常数a的值为(D)A.1B.2C.4D.10【解析】把x=4代入方程2x+3x-a=0,得24+34-a=0,解得a=10.6.(2022·重庆)若数a使关于x的不等式组x-12<1+x3,5x-2≥x+a有且只有四个整数解,且使关于y的方程y+ay-1+2a1-y=2的解为非负数,则符合条件的所有整数a的和为(C)A.-3B.-2C.1D.2【解析】不等式组整理得x<5,x≥a+24,因为不等式组有且只有四个整数解,所以0<a+24≤1,解得-2<a≤2,即整数a的取值为-1,0,1,2,分式方程y+ay-1+2a1-y=2,去分母得y+a-2a=2(y-1),解得y=2-a,由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件,得到a的取值为-1,0,2,和为1.7.“五一”节即将来临,某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品共260个,其中甲种商品比乙种商品少用100元,已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%.那么乙种商品的单价是(B)A.2元B.2.5元C.3元D.5元【解析】设乙种商品的单价是y元,由题意得300(1+20%)y+400y=260,解得y=2.5,经检验,y=2.5是分式方程的解,且符合题意,即乙种商品单价是2.5元.8.(2022·湖北黄石)分式方程4x+1x2-1-52(x-1)=1的解为 x=0.5 . 【解析】方程两边都乘以2(x2-1)得8x+2-5x-5=2x2-2,解得x1=1,x2=0.5,检验:当x=0.5时,x-1=0.5-1=-0.5≠0,当x=1时,x-1=0,所以x=0.5是方程的解,故原分式方程的解是x=0.5.9.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支,第二次又用600元购进该款铅笔,但这次每支的进价是第一次进价的54倍,购进数量比第一次少了30支.则该商店第一次购进的铅笔的单价是 4 元. 【解析】设该商店第一次购进铅笔的单价为x元,则第二次购进铅笔的单价为54x元,根据题意得600x-60054x=30,解得x=4,经检验,x=4是原方程的解,且符合题意.故该商店第一次购进铅笔的单价为4元.10.新定义:[a,b]为一次函数y=ax+b(a≠0,a,b为实数)的“关联数”.若“关联数”[3,m+2]所对应的一次函数是正比例函数,则关于x的方程1x-1+1m=1的解为 x=53 . 【解析】根据“关联数”[3,m+2]所对应的一次函数是正比例函数,得到y=3x+m+2为正比例函数,即m+2=0,解得m=-2,则分式方程为1x-1-12=1,去分母得2-(x-1)=2(x-1),去括号得2-x+1=2x-2,解得x=53,经检验x=53是分式方程的解.5\n11.(8分)解方程:1+3xx-2=6x-2.解:方程两边乘x-2,得(x-2)+3x=6,解得x=2,检验:当x=2时,x-2=0,∴x=2不是原分式方程的根,∴原分式方程无解.12.(9分)为了提升阅读速度,某中学开设了“高效阅读”课.小静经过2个月的训练,发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的2倍还多300字,现在读9100字的文章与原来读3500字的文章所用的时间相同.求小静现在每分钟阅读的字数.解:设小静原来每分钟阅读的字数是x字,依题意得3500x=91002x+300,解得x=500,经检验x=500是原方程的解,2×500+300=1300.答:小静现在每分钟阅读的字数是1300字.13.(10分)某学校九年级举行乒乓球比赛,准备发放一些奖品进行奖励,奖品设为一等奖和二等奖.已知购买一个一等奖奖品比购买一个二等奖奖品多用20元.若用400元购买一等奖奖品的个数是用160元购买二等奖奖品个数的一半.(1)求购买一个一等奖奖品和一个二等奖奖品各需多少元?(2)经商谈,商店决定给予该学校购买一个一等奖奖品即赠送一个二等奖奖品的优惠,如果该学校需要二等奖奖品的个数是一等奖奖品个数的2倍还多8个,且该学校购买两个奖项奖品的总费用不超过670元,那么该学校最多可购买多少个一等奖奖品?解:(1)设购买一个二等奖奖品需x元,则购买一个一等奖奖品需(x+20)元,根据题意得400x+20=12·160x,解得x=5,经检验,x=5是原分式方程的解,∴x+20=25.答:购买一个二等奖奖品需5元,购买一个一等奖奖品需25元.(2)设该学校可购买a个一等奖奖品,则可购买(2a+8)个二等奖奖品,根据题意得25a+5(2a+8-a)≤670,解得a≤21.答:该学校最多可购买21个一等奖奖品.[名师预测]1.分式方程3x-1=2x+1的解是(A)A.x=-5B.x=5C.x=-3D.x=3【解析】方程两边乘(x+1)(x-1),得3(x+1)=2(x-1),解得x=-5.经检验x=-5是原方程的解.2.关于x的分式方程2x-ax+1=1的解为正数,则a的取值范围为(B)A.a≥-1B.a>-1C.a≤-1D.a<-1【解析】分式方程去分母得2x-a=x+1,解得x=a+1,根据题意得a+1>0且a+1+1≠0,解得a>-1且a≠-2.即a的取值范围为a>-1.3.已知实数x满足3x2+3x+(x2+3x)=4,则x2+3x的值为(A)5\nA.1或3B.1C.3D.-1或-3【解析】设t=x2+3x,则3t+t=4,整理得(t-1)(t-3)=0,解得t=1或t=3.经检验,t=1或t=3都是原方程的解.即x2+3x的值是1或3.4.某校美术社团为练习素描,他们第一次用120元买了若干本资料,第二次用240元在同一商家买同样的资料,这次商家每本优惠4元,结果比上次多买了20本,求第一次买了多少本资料?若设第一次买了x本资料,列方程正确的是(D)A.240x-20-120x=4B.240x+20-120x=4C.120x-240x-20=4D.120x-240x+20=4【解析】设第一次买了x本资料,则第二次买了(x+20)本资料,根据题意得120x-240x+20=4.5.某校举行少先队“一日捐”活动,七、八年级学生各捐款3000元,八年级学生比七年级学生人均多捐2元,“…”,求七年级学生人数?解:设七年级学生有x人,则可得方程3000(1-20%)x-3000x=2,题中用“…”表示缺失的条件,根据题意,缺失的条件是(D)A.七年级学生的人数比八年级学生的人数少20%B.七年级学生的人数比八年级学生的人数多20%C.八年级学生的人数比七年级学生的人数多20%D.八年级学生的人数比七年级学生的人数少20%【解析】∵七年级学生有x人,∴3000x为七年级学生的人均捐款数,∴3000(1-20%)x为八年级学生的人均捐款数,∴(1-20%)x为八年级学生的人数,∴缺失条件为八年级学生的人数比七年级学生的人数少20%.6.关于x的两个方程x2-3x+2=0与1x-1=2x-m有一个解相同,则m= 0 . 【解析】由x2-3x+2=0得x1=1,x2=2,∵x=1是分式方程的增根,∴分式方程的解为x=2.把x=2代入分式方程得12-1=22-m,解得m=0.7.当m= 2 时,方程x-1x-3=mx-3无解. 【解析】由已知可得x-1=m,即x=1+m,又当x-3=0,即x=3时分式方程无解,故1+m=3,解得m=2.8.已知关于x的分式方程mx-1+31-x=1的解是非负数,则m的取值范围是 m≥2且m≠3 . 【解析】由已知可得m-3=x-1,解得x=m-2,由题意可知m-2≥0且m-2-1≠0,即m≥2且m≠3.9.荔枝是岭南一带的特色时令水果.今年5月份荔枝一上市,某水果店的老板用3000元购进了一批荔枝,由于荔枝刚在果园采摘比较新鲜,前两天他以高于进价40%的价格共卖出150千克,由于荔枝保鲜期短,第三天他发现店里的荔枝卖相已不大好,于是果断地将剩余荔枝以低于进价20%的价格全部售出,前后一共获利750元.(1)若购进的荔枝为a千克,则这批荔枝的进货价为 ;(用含a的式子来表示) (2)求该水果店的老板这次购进荔枝多少千克.5\n解:(1)3000a元/千克.(2)设该水果店的老板这次购进荔枝x千克,依题意得3000x×40%×150-3000x×20%×(x-150)=750,解得x=200.经检验,x=200是原方程的解.答:该水果店的老板这次购进荔枝200千克.10.某车行去年A型车的销售总额为6万元,今年每辆车的售价比去年减少400元.若卖出的数量相同,销售总额将比去年减少20%.(1)求今年A型车每辆车的售价.(2)该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆,已知A,B型车的进货价格分别是1100元,1400元,今年B型车的销售价格是2000元,要求B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,应如何进货才能使这批车获得最大利润,最大利润是多少?解:(1)设今年A型车每辆售价为x元,则去年每辆售价为(x+400)元,根据题意得60000x+400=60000×(1-20%)x,解得x=1600,经检验,x=1600是原分式方程的解,∴今年A型车每辆车售价为1600元.(2)设今年新进A型车a辆,销售利润为y元,则新进B型车(45-a)辆,根据题意得y=(1600-1100)a+(2000-1400)(45-a)=-100a+27000.∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,∴45-a≤2a,解得a≥15.∵-100<0,∴y随a的增大而减小,∴当a=15时,y取最大值,最大值为-100×15+27000=25500,此时45-a=30.答:购进15辆A型车、30辆B型车时销售利润最大,最大利润是25500元.5
