2.3一元二次方程学用P17[过关演练] (30分钟 70分)1.(2022·山东临沂)一元二次方程y2-y-34=0配方后可化为(B)A.y+122=1B.y-122=1C.y+122=34D.y-122=34【解析】将一元二次方程y2-y-34=0配方后可化为y-122=1.2.若1-3是方程x2-2x+c=0的一个根,则c的值为(A)A.-2B.43-2C.3-3D.1+3【解析】∵关于x的方程x2-2x+c=0的一个根是1-3,∴(1-3)2-2(1-3)+c=0,解得c=-2.3.(2022·山东泰安)一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情况是(D)A.无实数根B.有一个正根,一个负根C.有两个正根,且都小于3D.有两个正根,且有一根大于3【解析】(x+1)(x-3)=2x-5,整理得x2-4x+2=0,即(x-2)2=2,解得x1=2+2>3,x2=2-2,故有两个正根,且有一根大于3.4.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为(B)A.6B.5C.4D.3【解析】∵a=1,b=2,c=m-2,关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有实数根,∴Δ=b2-4ac=22-4(m-2)=12-4m≥0,∴m≤3.∵m为正整数,且该方程的根都是整数,∴m=2或3.∴2+3=5.5.若(a2+b2)(a2+b2-2)=8,则a2+b2的值为(B)5\nA.4或-2B.4C.-2D.-4【解析】设a2+b2=x,可得x(x-2)=8,解得x1=4,x2=-2,因为a2+b2的值为非负数,所以a2+b2的值为4.6.(2022·辽宁大连)如图,有一张矩形纸片,长10cm,宽6cm,在它的四角各减去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm,根据题意可列方程为(B)A.10×6-4×6x=32B.(10-2x)(6-2x)=32C.(10-x)(6-x)=32D.10×6-4x2=32【解析】设剪去的小正方形边长是xcm,则纸盒底面的长为(10-2x)cm,宽为(6-2x)cm,根据题意得(10-2x)(6-2x)=32.7.(2022·四川眉山)我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方4860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是(C)A.8%B.9%C.10%D.11%【解析】设平均每次下调的百分率为x,由题意得6000(1-x)2=4860,解得x1=0.1,x2=1.9(舍去).即平均每次下调的百分率为10%.8.(2022·浙江嘉兴)欧几里得的《原本》记载,形如x2+ax=b2的方程的图解法:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=a2,AC=b,再在斜边AB上截取BD=a2.则该方程的一个正根是(B)A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.CD的长【解析】设AD=x,根据勾股定理得x+a22=b2+a22,整理得x2+ax=b2,则该方程的一个正根是AD的长.9.(2022·湖南常德)若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根,则b的值可能是 6(本题答案不唯一) .(只写一个) 【解析】∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根,∴Δ=b2-4×2×3>0,解得b<-26或b>26.10.已知m2-2m-1=0,n2+2n-1=0且mn≠1,则mn+n+1n的值为 3 . 【解析】由n2+2n-1=0可知n≠0.∴1+2n-1n2=0.∴1n2-2n-1=0,又m2-2m-1=0且mn≠1,即m≠1n.∴m,1n是方程x2-2x-1=0的两根.∴m+1n=2.∴mn+n+1n=m+1+1n=2+1=3.11.(2022·四川内江)已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1,x2=2,则方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根之和为 1 . 5\n【解析】设x+1=t,方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根分别是x3,x4,∴at2+bt+1=0,由题意可知t1=1,t2=2,∴t1+t2=3,∴x3+x4+2=3,即x3+x4=1.12.(6分)解方程:2(x-3)=3x(x-3).解:2(x-3)=3x(x-3),移项得2(x-3)-3x(x-3)=0,整理得(x-3)(2-3x)=0,∴x-3=0或2-3x=0,解得x1=3,x2=23.13.(8分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,请用配方法探索有实数根的条件,并推导出求根公式,证明x1·x2=ca.解:∵ax2+bx+c=0(a≠0),∴x2+bax=-ca,∴x2+bax+b2a2=-ca+b2a2,即x+b2a2=b2-4ac4a2,∵4a2>0,∴当b2-4ac≥0时,方程有实数根,∴x+b2a=±b2-4ac2a,∴当b2-4ac>0时,x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a;当b2-4ac=0时,x1=x2=-b2a.∴x1·x2=(-b+b2-4ac)(-b-b2-4ac)4a2=b2-(b2-4ac)4a2=4ac4a2=ca,或x1·x2=-b2a2=b24a2=4ac4a2=ca,∴x1·x2=ca.14.(9分)某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.假设该公司2,3,4月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生产成本的下降率;(2)请你预测4月份该公司的生产成本.解:(1)设每个月生产成本的下降率为x,根据题意得400(1-x)2=361,解得x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去).答:每个月生产成本的下降率为5%.(2)361×(1-5%)=342.95(万元).答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.[名师预测]1.方程x-2=x(x-2)的解为(D)A.x=0B.x1=0,x2=2C.x=2D.x1=1,x2=2【解析】原方程变形为x-2-x(x-2)=0,(x-2)·(1-x)=0,x-2=0或1-x=0,解得x1=1,x2=2.2.若x=0是关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的一个根,则m的值为(B)A.1B.2C.1或2D.0【解析】把x=0直接代入方程得m2-3m+2=0,解得m=1或2,又由已知可得m≠1,故m=2.3.某商店今年1月份的销售额是2万元,3月份的销售额是4.5万元,从1月份到3月份,该店销售额平均每月的增长率是(C)5\nA.20%B.25%C.50%D.62.5%【解析】设该店销售额平均每月的增长率为x,则2月份销售额为2(1+x)万元,3月份销售额为2(1+x)2万元,由题意可得2(1+x)2=4.5,解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不合题意,舍去).4.某中学组织初三学生篮球比赛,以班为单位,每两班之间都比赛一场,计划安排15场比赛,则共有多少个班级参赛?(C)A.4B.5C.6D.7【解析】设共有x个班级参赛,根据题意得x(x-1)2=15,解得x1=6,x2=-5(不合题意,舍去),则共有6个班级参赛.5.在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b=a2-b,根据这个规则,方程(x-1)*9=0的解为 x1=-2,x2=4 . 【解析】由已知可得(x-1)*9=(x-1)2-9=0,即x-1=±3,解得x1=-2,x2=4.6.已知关于x的一元二次方程x2-(n+3)x+3n=0.(1)求证:此方程总有两个实数根;(2)若此方程有两个不相等的整数根,请选择一个合适的n值,写出这个方程并求出此时方程的根.解:(1)∵Δ=(n+3)2-12n=(n-3)2,又(n-3)2≥0,∴方程有两个实数根.(2)∵方程有两个不相等的实根,∴n≠3,取n=0,则方程化为x2-3x=0,因式分解为x(x-3)=0,∴x1=0,x2=3.7.阅读下列材料,解答问题.(2x-5)2+(3x+7)2=(5x+2)2.解:设m=2x-5,n=3x+7,则m+n=5x+2,则原方程可化为m2+n2=(m+n)2,所以mn=0,即(2x-5)(3x+7)=0,解得x1=52,x2=-73.请利用上述方法解方程(4x-5)2+(3x-2)2=(x-3)2.解:设m=4x-5,n=3x-2,则m-n=(4x-5)-(3x-2)=x-3,原方程化为m2+n2=(m-n)2,整理得mn=0,即(4x-5)(3x-2)=0,4x-5=0,3x-2=0,解得x1=54,x2=23.8.已知关于x的一元二次方程x2-5x+2m=0有实数根.(1)求m的取值范围;(2)当m=52时,方程的两根分别是矩形的长和宽,求该矩形外接圆的直径.解:(1)∵方程有实数根,∴Δ=(-5)2-4×1×2m≥0,解得m≤258,∴m的取值范围为m≤258.5\n(2)当m=52时,原方程可化为x2-5x+5=0,设方程的两个根分别为x1,x2,则x1+x2=5,x1·x2=5,∵该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC,如图所示,∴AC=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=52-2×5=15,∴该矩形外接圆的直径是15.9.为积极响应新旧动能转换,提高公司经济效益,某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价x(单位:万元)成一次函数关系.(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式;(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润,则该设备的销售单价应是多少万元?解:(1)设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),将(40,600),(45,550)代入y=kx+b,得40k+b=600,45k+b=550,解得k=-10,b=1000,∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=-10x+1000.(2)设此设备的销售单价为x万元,则每台设备的利润为(x-30)万元,销售数量为(-10x+1000)台,根据题意得(x-30)(-10x+1000)=10000,整理得x2-130x+4000=0,解得x1=50,x2=80.∵此设备的销售单价不得高于70万元,∴x=50.答:该设备的销售单价应是50万元.5
