提分专练(六) 以矩形、菱形、正方形为背景的中档计算题与证明题|类型1| 以矩形为背景的问题1.[2022·连云港]如图T6-1,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.图T6-111\n2.[2022·日照]如图T6-2,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△DCA≌△EAC;(2)只需添加一个条件,即 ,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明. 图T6-23.已知:如图T6-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△ABD≌△CAE.(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.11\n图T6-3|类型2| 以菱形为背景的问题4.[2022·北京]如图T6-4,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.图T6-411\n5.已知:如图T6-5,在▱ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G,H,交BD于点O.(1)求证:△ABE≌△CDF.(2)连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.图T6-5|类型3| 以正方形为背景的问题6.[2022·盐城]在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图T6-6所示.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.11\n图T6-67.如图T6-7,已知正方形ABCD中,BC=3,点E,F分别是CB,CD延长线上的点,DF=BE,连接AE,AF,过点A作AH⊥ED于点H.(1)求证:△ADF≌△ABE;(2)若BE=1,求tan∠AED的值.图T6-711\n8.[2022·聊城]如图T6-8,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF;(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.图T6-811\n参考答案1.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE,∵E是AD的中点,∴AE=DE,又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE,∴CD=FA,又∵CD∥AF,∴四边形ACDF是平行四边形.(2)BC=2CD.理由:∵CF平分∠BCD,∴∠DCE=45°,∵∠CDE=90°,∴△CDE是等腰直角三角形,∴CD=DE,∵E是AD的中点,∴AD=2CD,∵AD=BC,∴BC=2CD.2.解:(1)证明:在△DCA和△EAC中,DC=EA,AD=CE,AC=CA,∴△DCA≌△EAC(SSS).(2)添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形(添加的条件不唯一).证明如下:∵AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵CE⊥AE,11\n∴∠E=90°,由(1)得:△DCA≌△EAC,∴∠D=∠E=90°,∴四边形ABCD为矩形.3.解:(1)证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,BD=CD.∵AE∥BC,CE⊥AE,∴∠DCE=90°,∴四边形ADCE是矩形,∴AD=CE.在Rt△ABD与Rt△CAE中,AD=CE,AB=CA,∴Rt△ABD≌Rt△CAE.(2)DE∥AB,DE=AB.证明如下:如图所示,由(1)知四边形ADCE是矩形,∴AE=CD=BD,又AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,11\n∴DE∥AB,DE=AB.4.解:(1)证明:∵E为AD的中点,AD=2BC,∴BC=ED,∵AD∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形,∵∠ABD=90°,AE=DE,∴BE=ED,∴四边形BCDE是菱形.(2)∵AD∥BC,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴BA=BC=1,∵AD=2BC=2,∴sin∠ADB=12,∴∠ADB=30°,∴∠DAC=30°,∠ADC=60°.∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,∴AC=3.5.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠BAE=∠DCF,在△ABE和△CDF中,AB=CD,∠BAE=∠DCF,AE=CF,∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)四边形BEDF是菱形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,11\n∵AE=CF,∴DE=BF,∴四边形BEDF是平行四边形,∴OB=OD,∵DG=BG,∴EF⊥BD,∴四边形BEDF是菱形.6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABD=45°,∠ADB=45°,AB=AD.∴∠ABE=∠ADF=135°.又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)四边形AECF是菱形.理由:连接AC交BD于点O,图略.则AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.又∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形.7.解:(1)证明:正方形ABCD中,AD=AB,∠ADC=∠ABC=90°,∴∠ADF=∠ABE=90°.在△ADF与△ABE中,∵AD=AB,∠ADF=∠ABE,DF=BE,∴△ADF≌△ABE.(2)在Rt△ABE中,∵AB=BC=3,BE=1,∴AE=10,ED=CD2+CE2=5,11\n∵S△AED=12AD×BA=12ED×AH,∴AH=AD·BAED=3×35=1.8.∴在Rt△AHE中,EH=AE2-AH2=2.6,∴tan∠AED=AHEH=1.82.6=913.8.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,∵BH⊥AE,垂足为点H,∴∠BAE+∠ABH=90°,∵∠CBF+∠ABH=90°,∴∠BAE=∠CBF.在△ABE和△BCF中,∠ABC=∠C=90°,AB=BC,∠BAE=∠CBF,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.(2)∵△ABE≌△BCF,∴CF=BE=2,∵正方形的边长为5,∴AD=CD=5,∴DF=CD-CF=5-2=3.在Rt△ADF中,AF=AD2+DF2=52+32=34.11
