第五章 四边形第一节 平行四边形与多边形姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2022·原创)小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的内角总和是800°，则少算的这个内角的度数为____________．2．(2022·邵阳)如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的大小是__________. 3．(2022·陕西)如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为__________．4．(2022·山西)图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝__________度．5．(2022·泰州)如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，若AD＝6，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为________．6．(2022·临沂)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC.则BD＝______．12\n7．(2022·衡阳)如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是________．8．(2022·台州)正十边形的每一个内角的度数为()A．120°B．135°C．140°D．144°9．(2022·北京)若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为()A．360°B．540°C．720°D．900°10．(2022·济宁)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P＝()A．50° B．55°C．60° D．65°11．(2022·安徽)▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是()A．BE＝DFB．AE＝CFC．AF∥CED．∠BAE＝∠DCF12．(2022·玉林)在四边形ABCD中，①AB∥CD；②AD∥BC；③AB＝CD；④AD＝BC.从以上选择两个条件使四边形ABCD是平行四边形的选法共有()A．3种B．4种C．5种D．6种13．(2022·昭通昭阳区模拟)在▱ABCD中，∠B＋∠D＝260°，那么∠A的度数是()A．130°B．100°C．50°D．80°14．(2022·海南)如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为()12\nA．15B．18C．21D．2415．(2022·宁波)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE.若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为()A．50°B．40°C．30°D．20°16．(2022·兰州)如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为()A．102° B．112°C．122° D．92°17．(教材改编)如图，四边形BEDF是平行四边形，分别延长BF、DE至点C、A，使得BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的角平分线．求证：四边形ABCD是平行四边形．12\n18．(2022·无锡)如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点．求证：∠ABF＝∠CDE.19．(2022·原创)如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于点F.(1)若∠F＝20°，求∠A的度数；(2)若AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求▱ABCD的面积．20．(2022·永州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；(2)若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．12\n1．(2022·陕西)如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF＝AB；G、H是BC边上的点，且GH＝BC.若S1、S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是________．2．(2022·南充)如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，则S▱AEPH＝______．12\n3．(2022·原创)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是()A．5 B．6C．12 D．134．(2022·大庆)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F.(1)证明：四边形CDEF是平行四边形；(2)若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．12\n5．(2022·黄冈)如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.(1)求证△ABF≌△EDA；(2)延长AB与CF相交于G.若AF⊥AE，求证BF⊥BC.12\n6．(2022·重庆B卷)如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G.点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH.(1)若BC＝12，AB＝13，求AF的长；(2)求证：EB＝EH.参考答案【基础训练】1．100° 2.40° 3.72° 4.360 5.14 6.4 7.1612\n8．D 9.C 10.C 11.B 12.B 13.C 14.A 15.B 16.B17．证明：∵四边形BEDF是平行四边形，∴DE∥BF，∠EBF＝∠EDF.∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，∴∠ABE＝∠EBF＝∠ADF＝∠CDF，∴∠ABC＝∠ADC.∵DE∥BF，∴∠AEB＝∠EBF，∠ADF＝∠CFD，∴∠AEB＝∠ABE＝∠CDF＝∠CFD，∵∠A＝180°－∠AEB－∠ABE，∠C＝180°－∠CDF－∠CFD， ∴∠A＝∠C，∴四边形ABCD是平行四边形．18．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠C＝∠A.∵E、F分别是边BC、AD的中点，∴CE＝BC，AF＝AD，∴AF＝CE，∴△ABF≌△CDE(SAS)，∴∠ABF＝∠CDE.19．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，CD＝AB，AB∥CD，∴∠AEB＝∠CBF，∠ABE＝∠F＝20°.∵∠ABC的平分线交AD于点E，∴∠ABE＝∠CBF，∴∠AEB＝∠ABE＝20°，∴AE＝AB，∠A＝180°－20°－20°＝140°；(2)由(1)知AE＝AB＝5，又∵AD＝BC＝8，CD＝AB＝5，∴DE＝AD－AE＝3，∵CE⊥AD，∴CE＝＝＝4.∴S▱ABCD＝AD·CE＝8×4＝32.20．解：(1)证明：∵△ABD是等边三角形，12\n∴∠ABD＝∠BAD＝60°，又∵∠CAB＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝30°＋60°＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，∴BC∥AD.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是线段AB的中点，∴CE＝AE，∴∠ACE＝∠CAB＝30°.∴∠BEC＝∠ACE＋∠CAB＝30°＋30°＝60°，∵∠ABD＝60°，∴∠ABD＝∠BEC，∴BD∥CE，又BC∥AD，∴四边形BCFD为平行四边形；(2)解：过B作BG⊥CF，垂足为G，∵AB＝6，点E是线段AB的中点，∴BE＝3，在Rt△BEG中，∠BEG＝60°，sin∠BEG＝，∴BG＝BE·sin∠BEG＝3×sin60°＝3×＝.∵△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝6，由(1)知，CF＝BD＝6.∴S▱BCFD＝CF·BG＝6×＝9.【拔高训练】1．S1＝S2 2.43．A4．(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥FC.又∵EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形；(2)解：∵四边形CDEF是平行四边形，∴DC＝EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，12\n∴AB＝2DC，∴四边形DCFE的周长＝AB＋BC.∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长为5cm，∴BC＝25－AB.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝(25－AB)2＋52，解得AB＝13cm.5．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC.∵BC＝BF，CD＝DE，∴BF＝AD，AB＝DE，∵∠ADE＋∠ADC＋∠EDC＝360°，∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠EDC＝∠CBF，∴∠ADE＝∠ABF，∴△ABF≌△EDA(SAS)；(2)如解图，延长FB交AD于H.∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°，∵△ABF≌△EDA，∴∠EAD＝∠AFB，∵∠EAD＋∠FAH＝90°，∴∠FAH＋∠AFB＝90°，∴∠AHF＝90°，即FB⊥AD.∵AD∥BC，∴FB⊥BC.6．(1)解：∵BF⊥AC，∠ACB＝45°，BC＝12，∴等腰Rt△BCF中，BF＝sin45°×BC＝12.又∵AB＝13，∴Rt△ABF中，AF＝＝5；(2)证明：如解图，连接GE，过A作AP⊥AG，交BG于P，连接PE.∵BE＝BA，BF⊥AC，∴AF＝FE，∴BG是AE的垂直平分线，12\n∴AG＝EG，AP＝EP.∵∠GAE＝∠ACB＝45°，∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE＝90°，△APE是等腰直角三角形，即∠APE＝90°，∴∠APE＝∠PAG＝∠AGE＝90°，又∵AG＝EG，∴四边形APEG是正方形，∴PF＝EF，AP＝AG＝CH.又∵BF＝CF，∴BP＝CE，∵∠APG＝45°＝∠BCF，∴∠APB＝∠HCE＝135°，∴△APB≌△HCE(SAS)，∴AB＝EH，又∵AB＝BE，∴BE＝EH.12
