课时2 二次函数与几何图形综合题姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟面积问题1．(2022·黄冈)已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．2．(2022·陕西)已知抛物线L：y＝x2＋x－6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，并与y轴相交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；(2)将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A′、B′两点(点A′在点B′的左侧)，并与y轴相交于点C′，要使△A′B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．14\n3．(2022·徐州)已知二次函数的图象以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)．(1)求该函数的关系式；(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；(3)将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A，B两点随图象移至A′，B′，求△OA′B′的面积．14\n4．(2022·温州)如图，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)交x轴正半轴于点A，直线y＝2x经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x＝2，交x轴于点B.(1)求a，b的值；(2)P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP.设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K＝，求K关于m的函数表达式及K的范围．角度问题14\n5．(2022·广东省卷)如图，已知顶点为C(0，－3)的抛物线y＝ax2＋b(a≠0)与x轴交于A，B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B.(1)求m的值；(2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的解析式；(3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．(2022·天津)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(1，0)．已知抛物线y＝x2＋mx－2m(m是常数)，顶点为P.(1)当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；(2)若点P在x轴下方，当∠AOP＝45°时，求抛物线的解析式；(3)无论m取何值，该抛物线都经过定点H.当∠AHP＝45°时，求抛物线的解析式．14\n特殊图形存在性问题7．(2022·山西)综合与探究如图，抛物线y＝x2－x－4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．14\n8．(2022·临沂)如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为(1，0)，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE.①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在．请说明理由．参考答案14\n1．解：(1)证明：联立化简可得x2－(4＋k)x－1＝0，∴Δ＝(4＋k)2＋4＞0，故直线l与该抛物线总有两个交点；(2)解：当k＝－2时，y＝－2x＋1.如解图，过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，∴联立解得或，∴A(1－，2－1)，B(1＋，－1－2)，∴AF＝2－1，BE＝1＋2.易求得直线y＝－2x＋1与x轴的交点C为(，0)，∴OC＝，∴S△OAB＝S△AOC＋S△BOC＝OC·AF＋OC·BE＝OC·(AF＋BE)＝××(2－1＋1＋2)＝.2．解：(1)令y＝0，得x2＋x－6＝0，解得x＝－3或x＝2，∴A(－3，0)，B(2，0)．令x＝0，得y＝－6，∴C(0，－6)，∴AB＝5，OC＝6，∴S△ABC＝AB·OC＝×5×6＝15；(2)由题意，得A′B′＝AB＝5.要使S△A′B′C′＝S△ABC，只要抛物线L′与y轴交点为C′(0，－6)或C′(0，6)即可．设所求抛物线L′：y＝x2＋mx＋6，y＝x2＋nx－6.又知，抛物线L′与抛物线L的顶点纵坐标相同，∴＝，＝，解得m＝±7，n＝±1(n＝1舍去)．∴抛物线L′：y＝x2＋7x＋6或y＝x2－7x＋6或y＝x2－x－6. 3．解：(1)设函数的关系式为y＝a(x＋1)2＋4，14\n将B(2，－5)代入得：a＝－1，∴该函数的关系式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3；(2)令x＝0，得y＝3，因此抛物线与y轴的交点为(0，3)；令y＝0，－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，即抛物线与x轴的交点为(－3，0)，(1，0)；(3)设抛物线与x轴的交点为M，N(点M在点N的左侧)，由(2)知：M(－3，0)，N(1，0)，当函数图象向右平移经过原点时，点M与点O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A′(2，4)，B′(5，－5)，∴S△OA′B′＝×(2＋5)×9－×2×4－×5×5＝15.4．解：(1)将x＝2代入y＝2x，得y＝4，∴M(2，4)，由题意得∴(2)如解图，过点P作PH⊥x轴于点H.∵点P的横坐标为m，抛物线的函数表达式为y＝－x2＋4x，∴PH＝－m2＋4m.∵B(2，0)，∴OB＝2，∴S＝OB·PH＝×2×(－m2＋4m)＝－m2＋4m，∴K＝＝－m＋4.由题意得A(4，0)．∵M(2，4)，∴2<m<4.∵K随着m的增大而减小，∴0<K<2.5．解：(1)将(0，－3)代入y＝x＋m得m＝－3；(2)将y＝0代入y＝x－3得x＝3，∴B(3，0)，将(0，－3)，(3，0)代入y＝ax2＋b，14\n得解得∴y＝x2－3；(3)存在，分以下两种情况：①若点M在BC上方，设MC交x轴于点D，如解图1，则∠OCD＝45°－15°＝30°，∴OD＝OC·tan30°＝，∴D(，0)．设DC的解析式为y＝kx－3，将D(，0)代入得k＝，取立解得∴M(3，6)；②若点M在BC下方，设MC交x轴于点E，如解图2，则∠OCE＝45°＋15°＝60°，∴OE＝OC·tan60°＝3，∴E(3，0)．设EC的解析式为y＝kx－3，将E(3，0)代入得k＝，联立解得∴M(，－2)．综上所述，存在点M，使得∠MCB＝15°，此时点M的坐标是(3，6)或(，－2)．6．解：(1)∵抛物线y＝x2＋mx－2m经过点A(1，0)，∴0＝1＋m－2m，解得m＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2＋x－2.∵y＝x2＋x－2＝(x＋)2－，∴顶点P的坐标为(－，－)；(2)抛物线y＝x2＋mx－2m的顶点P的坐标为(－，－)．由点A(1，0)在x轴正半轴上，点P在x轴下方，∠AOP＝45°，知点P在第四象限．如解图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则∠POQ＝∠OPQ＝45°. 14\n可知PQ＝OQ，即＝－，解得m1＝0，m2＝－10.当m＝0时，点P不在第四象限，舍去．∴m＝－10，∴抛物线的解析式为y＝x2－10x＋20；(3)由y＝x2＋mx－2m＝(x－2)m＋x2可知，当x＝2时，无论m取何值时，y都等于4，∴点H的坐标为(2，4)．如解图2，过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D，H作x轴的垂线，垂足分别为E，G，则∠DEA＝∠AGH＝90°.∵∠DAH＝90°，∠AHD＝45°，∴∠ADH＝45°，∴AH＝AD.∵∠DAE＋∠HAG＝∠AHG＋∠HAG＝90°，∴∠DAE＝∠AHG，∴△ADE≌△HAG(AAS)，∴DE＝AG＝1，AE＝HG＝4，∴点D的坐标为(－3，1)或(5，－1)．①当点D的坐标为(－3，1)时，可得直线DH的解析式为y＝x＋.∵点P(－，－)在直线y＝x＋上，∴－＝×(－)＋，解得m1＝－4，m2＝－.当m＝－4时，点P与点H重合，不符合题意，∴m＝－；②当点D的坐标为(5，－1)时，14\n可得直线DH的解析式为y＝－x＋.∵点P(－，－)在直线y＝－x＋上，∴－＝－×(－)＋，解得m1＝－4(舍去)，m2＝－.∴m＝－.综上可得，m＝－或m＝－.故抛物线的解析式为y＝x2－x＋或y＝x2－x＋.7．解：(1)令y＝0得x2－x－4＝0，解得x1＝－3，x2＝4，∴点A、B的坐标分别为A(－3，0)，B(4，0)，令x＝0得y＝－4，∴点C的坐标为(0，－4)；(2)存在，Q1(，－4)，Q2(1，－3)；(3)如解图，过点F作FG⊥PM于点G.∵B(4，0)，C(0，－4)，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，即QM＝BM.∵B(4，0)，点P的横坐标为m，∴QM＝BM＝4－m.∵PM⊥x轴，FG⊥PM，∴FG∥x轴，∴∠QFG＝∠OBC＝45°，即FG＝QG，QG＝QF.∵PE∥AC，FG∥x轴，∴∠PFG＝∠CAO.又∵∠AOC＝90°，FG⊥PM，∴△PFG∽△CAO，∴＝，即＝，14\n∴PG＝FG.又∵FG＝QG，∴PG＝QG＝QF，由图可知：PQ＝QG＋PG＝QF＋QF＝QF，∴QF＝PQ.∵点P的横坐标为m，∴点P的纵坐标为m2－m－4，即PM＝－(m2－m－4)．又由图可知：PQ＝PM－QM＝－(m2－m－4)－(4－m)＝－m2＋m＋4－4＋m＝－m2＋m，∴QF＝PQ＝(－m2＋m)＝－m2＋m＝－(m2－4m)＝－(m2－4m＋4－4)＝－(m－2)2＋.∵－＜0，∴当m＝2时，QF有最大值．8．解：(1)在Rt△ABC中，由点B的坐标可知OB＝1.∵OC＝2OB，∴OC＝2，则BC＝3.又∵tan∠ABC＝2，∴AC＝2BC＝6，则点A的坐标为(－2，6)．把点A、B的坐标代入抛物线的解析式y＝－x2＋bx＋c中，得14\n解得故该抛物线的解析式为y＝－x2－3x＋4；(2)①由点A(－2，6)和点B(1，0)的坐标求得直线AB的解析式为y＝－2x＋2.如解图1，设点P的坐标为(m，－m2－3m＋4)，则点E的坐标为(m，－2m＋2)，点D的坐标为(m，0)，则PE＝－m2－m＋2，DE＝－2m＋2，由PE＝DE，得－m2－m＋2＝(－2m＋2)，解得m＝±1.又∵－2＜m＜1，∴m＝－1，∴点P的坐标为(－1，6)；②如解图2，以AB为直角边，分别以A，B为直角顶点作直角三角形ABM交PD于点M1，M2，设点M的坐标为(－1，n)．当点M位于直线AB上方时，由BM2＝AM2＋AB2，得(－1－1)2＋n2＝(－2＋1)2＋(6－n)2＋(－2－1)2＋(6－0)2，解得n＝.故此时，点M的坐标为(－1，)．当点M位于直线AB下方时，由AM2＝BM2＋AB2，得(－2＋1)2＋(6－n)2＝(－1－1)2＋n2＋(－2－1)2＋(6－0)2，解得n＝－1.故此时，点M的坐标为(－1，－1)．如解图3，以AB为直径作圆交直线PD于点M3，M4，此时△ABM为直角三角形．由AB2＝AM2＋BM2，得(－2－1)2＋(6－0)2＝(－2＋1)2＋(6－n)2＋(－1－1)2＋n2，解得n＝3±.故此时，点M的坐标为(－1，＋3)或(－1，－＋3)．综上所述，符合条件的点M的坐标为(－1，)或(－1，－1)或(－1，＋3)或(－1，－＋3)．14\n14
