第五节 二次函数的简单综合姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟类型一 二次函数实际应用1．(2022·连云港)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是( )A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m2．(2022·原创)为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图①所示)，对应的两条抛物线(如图②)关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为( )A．y＝(x＋3)2B．y＝(x－3)2C．y＝4(x＋3)2D．y＝4(x－3)23．(2022·沈阳)如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝________m时，矩形土地ABCD的面积最大．4．(2022·原创)传统节日“端午节”到来之际，某商店老板以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：每上涨1元，该商品每月销售量减少10件．(1)写出每月销售该商品的利润y(元)与单价x(元)之间的函数关系式；10\n(2)单价定为多少时，每月销售利润最大？5．(2022·唐山滦南县一模)我市“佳禾”农场的十余种有机蔬菜在北京市场上颇具竞争力．某种有机蔬菜上市后，一经销商在市场价格为10元/千克时，从“佳禾”农场收购了某种有机蔬菜2000千克存放入冷库中，据预测，该种蔬菜的市场价格每天每千克将上涨0.2元，但冷库存放这批蔬菜时每天需要支出各种费用合计148元，已知这种蔬菜在冷库中最多保存90天，同时，平均每天将会有6千克的蔬菜损坏不能出售．(1)若存放x天后，将这批蔬菜一次性出售，设这批蔬菜的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式；(2)经销商想获得利润7200元，需将这批蔬菜存放多少天后出售？(利润＝销售总金额－收购成本－各种费用)；(3)经销商将这批蔬菜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？6.(2022·唐山路南区二模)某新建小区要修一条1050米长的路，甲、乙两个工程队想承建这项工程．经了解得到下表所示信息：工程队每天修路的长度(米)单独完成所需天数(天)每天所需费用(元)甲队30n600乙队mn－141160(1)甲队单独完成这项工程所需天数n＝________天，乙队每天修路的长度m＝________米；(2)甲队先修了x米之后，甲、乙两队一起修路，又用了y天完成这项工程(其中x，y为正整数)．①当x＝90时，求出乙队修路的天数；②求y与x之间的函数关系式(不用写出x的取值范围)；10\n③若总费用不超过22800元，求甲队至少先修多少米？7．(2022·江西)某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．类型二 二次函数与几何图形综合1．(2022·泰安)如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tanC＝，点D是AC边上的动点(不与点C重合)，过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为____________．10\n2．(2022·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．3．(2022·黄冈)已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．4．(2022·广东省卷)如图，已知顶点为C(0，－3)的抛物线y＝ax2＋b(a≠0)与x轴交于A，B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B.(1)求m的值；(2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的解析式；(3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10\n5.(2022·沧州模拟)如图，二次函数y＝a(x－2)2＋k的图象经过点(0，1)，坐标平面内有矩形ABCD，A(1，4)，B(1，2)，C(4，2)，D(4，4)．(1)用a表示k；(2)试说明抛物线一定经过点(4，1)；(3)求抛物线顶点在x轴上方时，a的取值范围；(4)写出抛物线与矩形ABCD各边交点个数与a的对应取值范围．6．(2022·原创)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－k(k为常数)．(1)若抛物线经过点(1，k2)，求k的值；(2)若抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)，且y1＞y2，求k的取值范围；(3)若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值－，求k的值．10\n参考答案类型一 二次函数实际应用1．D 2.B 3.1504．解：(1)由题意得y＝(x－60)[300－10(x－80)]＝(x－60)(1100－10x)＝－10x2＋1700x－66000.(2)由配方法得y＝－10(x－85)2＋6250，∵－10＜0，∴当x＝85时，y有最大值6250，即当单价定为85元时，每月销售利润最大，最大为6250元．5．解：(1)由题意得y与x之间的函数关系式为：y＝(10＋0.2x)(2000－6x)＝－1.2x2＋340x＋20000(1≤x≤90)．(2)由题意得：－1.2x2＋340x＋20000－10×2000－148x＝7200，解方程得：x1＝60；x2＝100(不合题意，舍去)．∴经销商想获得利润7200元需将这批蔬菜存放60天后出售．(3)设利润为W元，由题意得W＝－1.2x2＋340x＋20000－10×2000－148x，即W＝－1.2(x－80)2＋7680，∴当x＝80时，W最大＝7680，由于80＜90，∴存放80天后出售这批蔬菜可获得最大利润7680元．6．解：(1)35，50(2)①乙队修路的天数为＝12(天)；②由题意，得x＋(30＋50)y＝1050∴y与x之间的函数关系式为：y＝－＋.③由题意，得600×＋(600＋1160)×y≤22800，10\n即20x＋1760×≤22800，解得x≥150，答：若总费用不超过22800元，则甲队至少先修150米．7．解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，将(10，200)，(15，150)代入y＝kx＋b(k≠0)中，得，解得，∴y与x的函数关系式为y＝－10x＋300(8≤x≤30)．(2)设每天销售获得的利润为w元，根据题意得：w＝(x－8)y＝(x－8)(－10x＋300)＝－10(x－19)2＋1210.∵8≤x≤30，∴当x＝19时，w取得最大值，即当该品种蜜柚定价为19元/千克时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1210元．(3)由(2)可知，当获得最大利润时，定价为19元/千克，则每天销售量为y＝－10×19＋300＝110(千克)．∵保质期为40天，∴销售总量为40×110＝4400(千克)．∵4400＜4800，∴不能销售完这批蜜柚．类型二 二次函数与几何图形综合1．S＝－x2＋x 2.－23．(1)证明：联立，整理可得：x2－(4＋k)x－1＝0，∵Δ＝(4＋k)2＋4＞0，∴直线l与该抛物线总有两个交点．(2)解：当k＝－2时，y＝－2x＋1，过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，设直线l与x轴交点C，如解图．联立，10\n解得：，或.∴A(1－，2－1)，B(1＋，－1－2)，∴AF＝2－1，BE＝1＋2.易求得：直线y＝－2x＋1与x轴的交点C为(，0)．∴OC＝.∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝OC·AF＋OC·BE＝OC·(AF＋BE)＝××(2－1＋1＋2)＝.4．解：(1)将(0，－3)代入y＝x＋m，得m＝－3.(2)将y＝0代入y＝x－3，得x＝3.∴B(3，0)．将(0，－3)，(3，0)分别代入y＝ax2＋b，得，解得.∴y＝x2－3.(3)存在，分以下两种情况：①若M在BC上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°＋15°＝60°.∴OD＝OC·tan30°＝，∴点D的坐标为(，0)．设直线DC为y＝kx－3，代入(，0)，得k＝.∴y＝x－3.联立得，解得，.∴M1(3，6)．②若M在BC下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°－15°＝30°，∴OE＝OC·tan60°＝3.∴点E的坐标为(3，0)．10\n设直线EC为y＝kx－3，代入(3，0)，得k＝.∴y＝x－3.联立得，解得，，∴M2(，－2)．综上所述M的坐标为(3，6)或(，－2)．5．解：(1)由已知把(0，1)代入y＝a(x－2)2＋k，得：1＝a(0－2)2＋k，∴k＝1－4a.(2)由(1)知二次函数解析式可化为：y＝a(x－2)2＋(1－4a)，当x＝4时，y＝a(4－2)2＋(1－4a)＝4a＋1－4a＝1，∴抛物线一定经过点(4，1)．(3)当抛物线顶点在x轴上方时，k＝1－4a＞0，解得：a＜，∴当a＜且a≠0时，抛物线顶点在x轴上方．(4)①a＞－时，无交点；②a＝－时，1个交点；③－＜a＜－或a＜－1时，2个交点；④a＝－时，3个交点；⑤－1＜a＜－时，4个交点．6．解：(1)∵抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－k(k为常数)经过点(1，k2)，∴1－2(k－1)＋k2－k＝k2，解得k＝.(2)∵抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)，∴y1＝(2k)2－4k(k－1)＋k2－k＝k2＋k，y2＝4－4(k－1)＋k2－k＝k2－k＋8；10\n又∵y1＞y2，∴k2＋k＞k2－k＋8，∴k＞1.(3)∵抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－k＝(x－k＋1)2－k－1，∴新抛物线的解析式为y＝(x－k)2－k－1.∴该抛物线的对称轴为直线x＝k.①若k＜1，则当x＝1时，y有最小值－.∴(1－k)2－k－1＝－，解得k1＝1，k2＝.∵k＜1，∴k1＝1，k2＝都不符合题意，舍去．②若1≤k≤2，则当x＝k时，y有最小值－.∴－k－1＝－，解得k＝1.③若k＞2，则当x＝2时，y有最小值－.∴(2－k)2－k－1＝－，解得k1＝3，k2＝.∵k＞2，∴k＝3.综上，k的值为1或3.10
