第四节 二次函数的基本性质姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2022·曲靖一模)若抛物线y＝2(x－m)2＋6－3m的顶点在第四象限，则m的值可以是____________________(写一个即可)．2．(2022·曲靖罗平一模)已知抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交点的横坐标为－1，则a＋c＝______．3．(2022·孝感)如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是_____________________．4．(2022·山西)用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为()A．y＝(x－4)2＋7B．y＝(x－4)2－25C．y＝(x＋4)2＋7D．y＝(x＋4)2－255．(2022·陕西)对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．(2022·黄冈)当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为()A．－1B．2C．0或2D．－1或27．(2022·绍兴)若抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点()A．(－3，－6)B．(－3，0)C．(－3，－5)D．(－3，－1)8．(2022·泰安)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax＋b在同一坐标系内的大致图象是()8\n9．(2022·河北)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则()A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确10．(2022·安顺)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③3a＋c＞0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的结论有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个11．(2022·潍坊)已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为()A．3或6 B．1或6C．1或3 D．4或612．(2022·天津)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)经过点(－1，0)，(0，3)，其对称轴在y轴右侧，有下列结论：①抛物线经过点(1，0)；②方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等的实数根；③－3＜a＋b＜3.8\n其中，正确结论的个数为()A．0B．1C．2D．313．(2022·杭州)四位同学在研究函数y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)时，甲发现当x＝1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x2＋bx＋c＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x＝2时，y＝4.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是()A．甲B．乙C．丙D．丁14．(2022·曲靖罗平一模)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC.则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－.其中正确的结论是()A．4B．3C．2D．115．(2022·南京)已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？8\n16．(2022·宁波)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(1，0)，(0，)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)将抛物线y＝－x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．1．(2022·苏州)如图，已知抛物线y＝x2－4与x轴交于点A，B(点A位于点B的左侧)，C为顶点，直线y＝x＋m经过点A，与y轴交于点D.(1)求线段AD的长度；(2)平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′，若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．8\n2．(2022·杭州)设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由；(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.8\n参考答案【基础训练】1．3(答案不唯一) 2.1 3.x1＝－2，x2＝14．B 5.C 6.D 7.B 8.C 9.D 10.B 11.B 12.C13．B 14.B15．(1)证明：当y＝0，根据方程2(x－1)(x－m－3)＝0.解得x1＝1，x2＝m＋3.当m＋3＝1，即m＝－2时，方程有两个相等的实数根；当m＋3≠1，即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根．∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．(2)解：当x＝0时，y＝2(x－1)(x－m－3)＝2m＋6，∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m＋6.∴当2m＋6>0，即m>－3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．16．解：(1)把(1，0)，(0，)代入抛物线的表达式，得解得8\n则抛物线的表达式为y＝－x2－x＋；(2)抛物线的表达式为y＝－x2－x＋＝－(x＋1)2＋2，∴将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，其顶点恰好落在原点．平移后的函数表达式变为y＝－x2.【拔高训练】1．解：(1)由x2－4＝0得，x1＝－2，x2＝2.∵点A位于点B的左侧，∴A(－2，0)．∵直线y＝x＋m经过点A，∴－2＋m＝0，解得m＝2，∴点D的坐标为(0，2)，∴AD＝＝2；(2)设新抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋bx＋2，y＝x2＋bx＋2＝(x＋)2＋2－，则点C′的坐标为(－，2－)．∵CC′平行于直线AD，且经过C(0，－4)，∴直线CC′的解析式为y＝x－4，∴2－＝－－4，解得b1＝－4，b2＝6，∴新抛物线对应的函数表达式为y＝x2－4x＋2或y＝x2＋6x＋2.2．(1)解：由题意得Δ＝b2－4·a[－(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0，∴该二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个．(2)解：当x＝1时，y＝a＋b－(a＋b)＝0，∴抛物线不经过点C，把点A(－1，4)，B(0，－1)分别代入，得8\n解得∴该二次函数的表达式为y＝3x2－2x－1.(3)证明：当x＝2时，m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＞0①.∵a＋b＜0，∴－a－b＞0②，①＋②，得2a＞0，∴a＞0.8
