第6讲一次方程(组)考点1一元一次方程及解法等式的性质性质1：等式两边加(或减)同一个数或同一个①，所得结果仍是等式；性质2：等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是②.方程的概念含有未知数的③叫做方程.方程的解使方程左右两边的值④的未知数的值叫做方程的解.一元一次方程的概念只含有⑤个未知数，且未知数的最高次数是⑥的整式方程，叫做一元一次方程.一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：去分母、去⑦、移项、合并⑧、系数化为1.考点2二元一次方程组及解法二元一次方程的概念含有⑨未知数，并且未知项的次数是⑩的整式方程叫做二元一次方程.二元一次方程组的概念一般地，含有⑪的未知数的⑫二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.二元一次方程组的解二元一次方程组的两个方程的⑬，叫做二元一次方程组的解.二元一次方程组的解法解二元一次方程组的方法步骤：二元一次方程组⑭方程.消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有⑮消元法和⑯消元法两种.考点3一次方程(组)的应用列方程(组)解应用题的一般步骤1.审审清题意和数量关系，弄清题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系.2.设设未知数(可设直接或未知数).3.列根据题意寻找列方程(组).4.解解方程(组).5.答检验所求的未知数的值是否符合题意，写出答案.1.解二元一次方程组时，若方程组其中一个方程中的未知数系数为1或-1，则直接采用代入消元法求解；若相同未知数的系数相等或互为相反数时，则直接采用加减消元法求解.2.列方程(组)的关键是寻找等量关系，寻找等量关系常用的方法有：①抓住不变量；②找关键词；③画线段图或列表格；④运用数学公式.命题点1一次方程(组)的解法例1(2022·滨州)解方程组：【思路点拨】通过观察方程组，y的系数符号相反且系数的绝对值是整数倍，①×3+②即可消去y，求出x，然后再代入任一方程可求y的值.9\n【解答】方法归纳：在对二元一次方程组进行消元时，要根据方程组的特点灵活选择代入法或加减法：(1)方程中有一个未知数的系数为1或-1时，一般采用代入消元法；(2)当两个方程中的某个未知数的系数相同或互为相反数，或者存在倍数关系时，一般采用加减消元法.1.(2022·滨州)方程2x-1=3的解是()A.-1B.C.1D.22.(2022·娄底)已知关于x的方程2x+a-5=0的解是x=2，则a的值为.3.解方程：-=-1.3.4.(2022·湖州)解方程组命题点2一次方程(组)的应用例2(2022·聊城)某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价出售后可获毛利润3800元(毛利润＝售价-进价)，这两种服装的进价、标价如下表所示：(1)求这两种服装各购进的件数；(2)如果A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元？【思路点拨】(1)题中有两个等量关系式：①购进A种新式服装和B种新式服装共用去6000元；②按标价出售A种新式服装和B种新式服装后共可获毛利润3800元.依据这两个等量关系直接设未知数构建方程组求解即可；(2)根据第(1)题计算出购进A型服装、B型服装的数量，再按“A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售”进行计算即可.【解答】方法归纳：用方程(组)解决问题的关键是审清题意，找出题目的相等关系，一些相等关系可以设元转换未知量，另一些相等关系可以列方程用，但一般情况是一个相等关系只用一次.9\n1.(2022·无锡)某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元.该店在“6·1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元.若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为()A.1.2×0.8x+2×0.9(60+x)＝87B.1.2×0.8x+2×0.9(60-x)＝87C.2×0.9x+1.2×0.8(60+x)＝87D.2×0.9x+1.2×0.8(60-x)＝872.(2022·枣庄)某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为()A.240元B.250元C.280元D.300元3.(2022·温州)20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵.设男生有x人，女生有y人.根据题意，列方程组正确的是()A.B.C.D.4.(2022·江西)小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯.小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元.求每支中性笔和每盒笔芯的价格.1.(2022·咸宁)若代数式x+4的值是2，则x等于()A.2B.-2C.6D.-62.(2022·原创)关于x的方程3x+m-7=0的解是x=1，则m的值为()A.2B.3C.4D.53.(2022·娄底)方程组的解为()A.B.C.D.4.(2022·孝感)已知是二元一次方程组的解，则m-n的值是()A.1B.2C.3D.45.(2022·南昌)某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人.下面所列的方程组正确的是()9\nA.B.C.D.6.(2022·随州)我市围绕“科学节粮减损，保障粮食安全”，积极推广农户使用“彩钢小粮仓”.每套小粮仓的定价是350元，为了鼓励农户使用，中央、省、市财政给予补贴，补贴部分是农户实际出资的三倍还多30元，则购买一套小粮仓农户实际出资是()A.80元B.95元C.135元D.270元7.(2022·湖州)方程2x-1=0的解是x=.8.(2022·重庆A卷)方程组的解是.9.请写出一个二元一次方程组答案不唯一，如：使它的解是10.(2022·湘潭)湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完.设敬老院有x位老人，依题意可列方程为.11.已知关于x、y的二元一次方程组且x+y=2，则k的值为.12.(2022·甘孜)设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算=ad-bc.则满足等式=1的x的值为.13.(2022·滨州)解方程：2-=.14.(2022·威海)解方程组：15.(2022·岳阳)某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜1场得2分，负1场得1分.某队在全部16场比赛中得到25分，求这个队胜、负场数分别是多少？16.(2022·连云港)小林在某商店买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如下表：9\n购买商品A的数量(个)购买商品B的数量(个)购买总费用(元)第一次购买651140第二次购买371110第三次购买981062(1)小林按打折扣价购买商品A、B是第次购买；(2)求A、B的标价；(3)若A、B的折扣相同，问商店是打几折出售的？17.(2022·凉山)根据图中给出的信息，解答下列问题：(1)放入一个小球水面升高cm，放入一个大球水面升高cm；(2)如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？18.(2022·嘉兴)某镇水库的可用水量为12000万立方米，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量.实施城市化建设，新迁入4万人后，水库只够维持居民15年的用水量.(1)问：年降水量为多少万立方米？每人年平均用水量多少立方米？(2)政府号召节约用水，希望将水库的保用年限提高到25年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米才能实现目标？19.(2022·滨州)某公园“6·1”期间举行特优读书游园活动，成人票和儿童票均有较大的折扣，张凯、李利都随他们的家人参加了本次活动，王斌也想去，就打听张凯、李利买门票花了多少钱.张凯说他家去了3个大人和4个小孩，共花了38元钱；李利说他家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱.王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他算一下，需准备元钱买门票.20.(2022·扬州)已知关于x、y的方程组的解满足x>0，y>0，求实数a的取值范围.9\n21.(原创)有一种用来画圆的工具板(如图所示)，工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆(孔)，其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减xcm，最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm；且相邻两圆的间距d均相等.(1)用含x的代数式表示出其余四个圆的直径长；(2)若最大圆是最小圆的直径的1511，求相邻两圆的间距.22.(2022·日照)如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(吨·千米)，铁路运价为1.2元/(吨·千米)，且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元.求：(1)该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？23.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：[说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量；②水费=自来水费+污水处理费]已知小王家2022年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元.9\n(1)求a、b的值;(2)随着夏天的到来用水量将增加，为了节约开支，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的2%，若小王家月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？参考答案考点解读①整式②等式③等式④相等⑤一⑥1⑦括号⑧同类项⑨两⑩1⑪相同⑫两⑬公共解⑭一元一次⑮代入⑯加减间接等量关系各个击破例1①×3+②，得10x=20，则x=2.把x=2代入①，得6-y=7，则y=-1.∴原方程组的解为题组训练1.D2.13.去分母，得5(x+4)-2(x-3)=-13，去括号，得5x+20-2x+6=-13，移项，得5x-2x=-13-20-6，合并，得3x=-39，系数化为1，得x=-13.4.①+②得5x=10,∴x=2.把x=2代入②，得4-y=3,∴y=1.∴原方程组的解是例2(1)设购进A型服装x件，B型服装y件.由题意，得解得答：购进A型服装50件，B型服装30件.(2)A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售时，服装店的毛利润为：(100×0.8-60)×50+(160×0.7-100)×30=20×50+12×30=1360(元).3800-1360＝2440(元).答：服装店打折售出比按标价售出少收入2440元.题组训练1.B2.A3.D4.设每支中性笔x元，每盒笔芯y元，根据题意，得解得答：每支中性笔2元，每盒笔芯8元.整合集训1.B2.C3.D4.D5.B6.A7.8.9\n9.答案不唯一，如：10.2x+16=3x11.412.-1013.去分母，得12-2(2x+1)=3(1+x)，去括号，得12-4x-2=3+3x，移项，合并同类项，得-7x=-7，把系数化为1，得x=1.14.②×6，得3x-2y＝6.③③-①，得3y＝3.∴y＝1.把y＝1代入①，得3x-5＝3.∴x＝.∴原方程组的解为15.设这个队胜x场，则负(16-x)场.根据题意得2x+(16-x)=25，解得x=9.∴16-x=7.答：这个队胜、负场数分别是9场、7场.16.(1)三.(2)设A、B的标价分别为x元，y元，则由题意，得解得答：A、B的标价分别为90元，120元.(3)设商店是打x折出售的，则(90×9+8×120)=1062.解得x=6.答：商店是打六折出售的.17.(1)放入三个体积相同的小球水面升高32-26=6(cm)，则放入一个小球水面升高2cm；放入两个体积相同的大球水面升高32-26=6(cm)，则放入一个大球水面升高3cm.故答案分别填：2，3.(2)设应放入x个大球，y个小球，由题意，得解得答：应放入4个大球，6个小球.18.(1)设年降水量为x万立方米，每人年平均用水量为y立方米，则解得答：年降水量为200万立方米，每人年平均用水量为50立方米.(2)设该镇居民年平均用水量为z立方米才能实现目标，则12000+25×200＝20×25z.解得z＝34.∴50-34＝16.答：该镇居民人均每年需要节约16立方米的水才能实现目标.19.349\n20.解关于x、y的方程组，得∵x＞0，y＞0，∴∴a的取值范围是＜a＜2.21.(1)其余四个圆的直径长分别为(3-x)cm，(3-2x)cm，(3-3x)cm，(3-4x)cm；(2)根据题意，得解得答：相邻两圆的间距为1.25cm.22.(1)设工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，依题意，得整理，得解得答：工厂从A地购买了400吨原料，制成运往B地的产品300吨.(2)300×8000-400×1000-15000-97200=1887800(元).答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.23.(1)由题意，得解得(2)当用水量为30吨时，水费为：17×3+13×5=116(元)，9200×2%=184(元).∵116<184，∴小王家6月份最多能用水超过30吨.设小王家6月份用水量为x吨，由题意，得17×3+13×5+6.8(x-30)≤184，解得x≤40.∴小王家6月份最多用水40吨.9
