第3讲 解直角三角形1．(2022年广东汕尾)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB的值是( )A.B.C.D.2．(2022年广东佛山)如图539，若∠A＝60°，AC＝20m，则BC大约是(结果精确到0.1m)( )A．34.64mB．34.6mC．28.3mD．17.3m图539 图5310 图53113．(2022年广东深圳)如图5310，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是( )A.B.C.D.4．(2022年广东深圳)如图5311，小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12，的山坡上走1300m，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A．(600－250)mB．(600－250)mC．(350＋350)m D．(500)m5．(2022年广东佛山)我们把“按照某种理想化的要求(或实际可应用的标准)来反映或概括地表现一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是数学中的一个“模式”(我国著名数学家徐利治提出)．如图5312,5313是一个典型的图形模式，用它可测顶部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题，等等．(1)如图5312，若BB1＝30m，∠B1＝22°，∠ABC＝30°，求AC(精确到1)；(参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40，≈1.73)图5312(2)如图5313，若∠ABC＝30°，BB1＝AB，计算tan15°的值(保留准确值)；图5313(3)直接写出tan7.5°的值．(注：若出现双重根式，则无需化简)8\n6．(2022年广东茂名)如图5314，某水上乐园有一个滑梯AB，高度AC为6m，倾斜角为60°，暑期将至，为改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由60°减至30°.(1)求调整后的滑梯AD的长度；(2)调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？(精确到0.1m)(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)图53147．(2022年广东广州)如图5315，在东西方向的海岸线MN上有A，B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号．已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里．(1)求船P到海岸线MN的距离；(精确到0.1海里)(2)若船A，船B分别以20海里/时，15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．图5315A级 基础题1．(2022年四川乐山)如图5316，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为( )A.B.C.D.8\n图5316 图53172．(2022年浙江湖州)如图5317，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长是( )A．2B．8C．2D．53．(2022年湖北孝感)式子2cos30°－tan45°－的值是( )A．2－2B．0C．2D．24．(2022年浙江衢州)如图5318，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为( )A．3cmB．6cmC．3cmD．6cm图5318 图5319 图53205．(2022年内蒙古巴彦淖尔)如图5319，从热气球C处测得地面两点A，B的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为80m，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点的距离是( )A．160m B．80m C．100m D．80(1＋)m6．(2022年浙江杭州)在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC＝( )A．3sin40° B．3sin50°C．3tan40° D．3tan50°7．(2022年浙江衢州)如图5320，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6m，则这棵树的高度为(结果精确到0.1m，≈1.73)( )A．3.5mB．3.6mC．4.3mD．5.1m8．(2022年四川攀枝花)在△ABC中，如果∠A，∠B满足|tanA－1|＋2＝0，那么∠C＝________.9．(2022年贵州安顺)在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则△ABC的面积为__________．10．(2022年黑龙江龙东)等腰△ABC底角的余弦是，一边长为12，则等腰△ABC的面积为________．11．(2022年四川资阳)如图5321，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A.某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A，B，C在同一个平面上)．求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离．8\n图532112．(2022年浙江宁波)天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图5322，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度CD为51m，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离．(结果保留根号)图5322B级 中等题13．(2022年山东济南)如图5323，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1.若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为( )图5323A.B.C.D．314．(2022年山东莱芜)如图5324，一堤坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25m(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01m)(参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20)图5324C级 拔尖题8\n15．(2022年江苏连云港)在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图5325，表盘是△ABC，其中AB＝AC，∠BAC＝120°.在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达AB后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1s，此时光线AP交BC于点M，BM的长为(20－20)cm.(1)求AB的长；(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6s，此时光线AP与BC边的交点在什么位置；若旋转2022s，交点又在什么位置，请说明理由．图53258\n第3讲 解直角三角形【真题·南粤专练】1．B 2.B 3.D4．B 解析：如图65，∵BE∶AE＝5∶12，＝13，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13.图65∵AB＝1300，∴AE＝1200，BE＝500.设EC＝x，∵∠DBF＝60°，∴DF＝x.又∵∠DAC＝30°，∴AC＝CD.即1200＋x＝(500＋x)．解得x＝600－250.∴DF＝x＝600－750.∴CD＝DF＋CF＝600－250.5．解：(1)在Rt△ABC中，BC＝＝.在Rt△AB1C中，B1C＝＝.∵B1C－BC＝BB1＝30，∴－＝30.解得AC≈39(m).(2)∵B1B＝AB，∴∠AB1B＝∠B1AB.又∵∠ABC＝30°，且∠ABC＝∠AB1B＋∠B1AB，∴∠AB1B＝15°.令AC＝a，则AB＝2a，BC＝a.∴tan15°＝tan∠AB1C＝＝＝2－.(3)tan7.5°＝.6．解：(1)在Rt△ADC中，∠C＝90°，∠ADC＝30°，AC＝6，∴AD＝2AC＝12.答：调整后的滑梯AD的长度为12m.(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，AC＝6，sin∠ABC＝，∴AB＝＝6×＝6.92(m)．∴AD－AB＝12－6.92≈5.1(m)．答：调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加5.1m.7．解：(1)如图66，过点P作PD⊥AB于点D.图66由题意，得∠PAB＝90°－58°＝32°，∠PBD＝90°－35°＝55°，AP＝30.8\n在Rt△ADP中，sin∠PAD＝.得PD＝AP·sin∠PAD＝30·sin32°≈15.9(海里)．答：船P到海岸线MN的距离约为15.9海里．(2)在Rt△BDP中，sin∠PBD＝.即BP＝≈19.4.∵>，∴B船先到达P处．【演练·巩固提升】1．A 2.A 3.B 4.D 5.D 6.D 7.D 8.75° 9.2410．18或3211．解：过A作AD⊥BC于D，则AD的长度即是A到岸边BC的最短距离．在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，设AD＝x，则CD＝x.在Rt△ABD中，∠ABD＝60°.由tan∠ABD＝，得BD＝＝x.又BC＝4，即BD＋CD＝x＋x＝4.解得x＝6－2.答：小岛上标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离为(6－2)公里．12．解：由题意，得∠ECA＝45°，∠FCB＝60°.∵EF∥AB，∴∠CAD＝∠ECA＝45°，∠CBD＝∠FCB＝60°.∵∠ADC＝∠CDB＝90°，且在Rt△CDB中，tan∠CBD＝，∴BD＝＝17(m)．∵AD＝CD＝51，∴AB＝AD＋BD＝(51＋17)(m)．答：A，B之间的距离为(51＋17)m.13．A14．解：如图67，过点A作BC的垂线交BC于点E.在Rt△ABE中，AB＝25，∠ABC＝62°，∴AE＝25sin62°＝22(m)，BE＝25cos62°＝11.75(m)．在Rt△ADE中，DE＝＝≈18.33(m)．∴DB＝DE－BE＝18.33－11.75＝6.58(m)．答：应将坝底向外拓宽6.58m.图67图6815．解：(1)如图68，过A作AD⊥BC，垂足为D.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∠ABD＝30°.∵∠BAM＝15°，∴∠MAD＝45°.则设AD＝MD＝x，8\n在△ABD中，tan∠ABD＝＝＝.解得x＝20.∴AB＝2AD＝40.答：AB的长为40cm.(2)∵＝8(s)，则AP从AB旋转到AC需8s.∴当光线旋转6s时，如图69，设AP交BC于点N，此时，∠BAN＝15°×6＝90°.在Rt△ABN中，BN＝＝.∴当光线旋转6s时，与BC的交点N在距点Bcm处．图69 图70如图70，设光线AP旋转2022s后与BC的交点为Q.由题意知，光线从边AB开始到第一次回到AB处需2×8＝16(s)，2022＝125×16＋14，即AP旋转2022s与旋转14s时和BC的交点是同一点Q.易知，CQ＝BN＝，BC＝2ABcos30°＝40.∴BQ＝BC－CQ＝40－＝(cm)．∴光线AP旋转2022s后，与BC的交点Q在距点Bcm处．8
