第4讲 圆第1课时 圆的基本性质1．(2022年广东)如图4410，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为________．图4410图44112．(2022年广东珠海)如图4411，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB＝20°，则∠AOD＝( )A．160°B．150°C．140°D．120°3．(2022年广东珠海)如图4412，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝54°，连接AE，则∠AEB的度数为( )A．36°B．46°C．27°D．63°图4412 图4413 图44144．(2022年广东佛山)如图4413，圆心角∠AOB＝30°，弦CA∥OB，延长CO，与圆交于点D，则∠BOD＝________.5．(2022年广东广州)如图4414，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为(6,0)，⊙P的半径为，则点P的坐标为____________．6．(2022年广东佛山)如图4415，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．图4415A级 基础题1．(2022年浙江台州)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )ABCD2．(2022年福建三明)如图4416，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是( )A．DE＝BEB.＝C．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形17\n图4416 图4417 图44183．(2022年浙江绍兴)绍兴是著名的桥乡，如图4417，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为( )A．4mB．5mC．6mD．8m4．(2022年吉林长春)如图4418，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB＝5，BC＝3，则AP的长不可能为( )A．3B．4C.D．55．(2022年云南红河州)如图4419，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是( )A．AD＝DCB.＝C．∠ADB＝∠ACBD．∠DAB＝∠CBA图4419 图4420 图4421 6．(2022年黑龙江齐齐哈尔)如图4420，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD＝60°，则∠CAD的度数等于( )A．15°B．20°C．25°D．30°7．(2022年贵州遵义)如图4421，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC＝26°，则∠BOC＝____________.8．如图4422，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________cm.图44229．证明圆周角的推论：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10．(2022年江苏南通)如图4423，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.(1)若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；(2)若∠M＝∠D，求∠D的度数．17\n图442311．如图4424，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.图4424B级 中等题12．如图4425，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，∠AOC＝100°，则∠D＝________.图442513．(2022年福建厦门)已知点A，B，C，D是⊙O上的四点．(1)如图4426(1)，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD；(2)如图4426(2)，若AC⊥BD，垂足为P，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径．(1) (2)图4426C级 拔尖题14．(2022年辽宁盘锦)如图4427，在平面直角坐标系中，直线l经过原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点M在x轴上，⊙M半径为2，⊙M与直线l相交于A，B两点．若△ABM为等腰直角三角形，则点M的坐标为______________．17\n图4427第2课时 与圆有关的位置关系1．(2022年广东)如图4435，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC.若∠A＝40°，则∠C＝________.图4435 图44362．(2022年广东梅州)如图4436，在△ABC中，AB＝2，AC＝，以点A为圆心，1为半径的圆与边BC相切于点D，则∠BAC的度数是____________．3．(2022年广东梅州)如图4437，在△ABO中，OA＝OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C.(1)求证：AB与⊙O相切；(2)若∠AOB＝120°，AB＝4，求⊙O的面积．图44374．(2022年广东汕尾)如图4438，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．图443817\nA级 基础题1．若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A与⊙O的位置关系是( )A．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．不能确定2．(2022年贵州黔东南州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆．若圆C与直线AB相切，则r的值为( )A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm3．如图4439，△ABC内接于⊙O.若∠OAB＝28°，则∠C的大小是( )A．56°B．62°C．28°D．32°图4439 图44404．(2022年河南)如图4440，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BGB．AB∥EFC．AD∥BCD．∠ABC＝∠ADC5．(2022年江苏无锡)如图4441，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°.给出下面3个结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC，其中正确结论的个数是( )A．3个B．2个C．1个D．0个图4441 图44426．如图4442，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为( )A．2B．3C.D．27．(2022年黑龙江哈尔滨)如图4443，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝40°.则∠ABD的度数是( )A．30°B．25°C．20°D．15°图4443 图444417\n8．(2022年山东青岛)如图4444，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°.连接AC，则∠A的度数是________°.9．(2022年四川广元)平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为________．10.(2022年湖北随州)如图4445，在⊙O中，点C为的中点，∠ACB＝120°，OC的延长线与AD交于点D，且∠D＝∠B.(1)求证：AD与⊙O相切；(2)若点C到弦AB的距离为2，求弦AB的长．图4445B级 中等题11．如图4446，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是BC的中点，连接ED，并延长交BA的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求DB的长．图4446C级 拔尖题12．(2022年辽宁盘锦)如图4447，AB，CD是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，FE⊥AB，BE＝EF＝2，FE的延长线交CD的延长线于点G，DG＝GE＝3，连接FD.(1)求⊙O的半径；(2)求证：DF是⊙O的切线．图444717\n第3课时 与圆有关的计算1．(2022年广东肇庆)已知正六边形的边心距为，则它的周长是( )A．6B．12C．6D．122．(2022年广东珠海)已知圆柱体的底面半径为3cm，高为4cm，则圆柱体的侧面积为( )A．24πcm2B．36πcm2C．12cm2D．24cm23．(2022年广东佛山)如图4453，AC⊥BC，AC＝BC＝4，以BC为直径作半圆，圆心为O，以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线，交两弧于点D，E，则阴影部分的面积是________．图4453 图44544．(2022年广东)如图4454，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是________．(结果保留π)5．(2022年广东佛山)如图4455，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角．图44556.(2022年广东梅州)如图4456，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2.(1)求线段EC的长；(2)求图中阴影部分的面积．图445617\n7．(2022年广东珠海)如图4457，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H.(1)求BE的长；(2)求Rt△ABC与△DEF重叠(阴影)部分的面积．图4457A级 基础题1．(2022年四川资阳)一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( )A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形2．(2022年湖北潜江)如果一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为( )A．40°B．45°C．60°D．80°3．(2022年江苏南通)如图4458，已知▱ABCD的对角线BD＝4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为( )A．4πcmB．3πcmC．2πcmD．πcm图4458 图44594．如图4459，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是( )A．2πcmB．4πcmC．8πcmD．16πcm5．(2022年湖北鄂州)圆锥体的底面半径为2，侧面积为8π，则其侧面展开图的圆心角为( )A．90°B．120°C．150°D．180°6．(2022年山东德州)如图4460，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为( )17\nA.πB．π－C.D.π＋图4460 图4461 图4462 7．(2022年四川广元)如图4461，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为1，则图中阴影部分的面积为( )A.－B.－C.－D.－8．(2022年福建三明)如图4462，AB是⊙O的直径，分别以OA，OB为直径作半圆．若AB＝4，则阴影部分的面积是________．9．(2022年广西贵港)如图4463，在菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝120°，以点C为圆心的与AB，AD分别相切于点G，H，与BC，CD分别相交于点E，F.若用扇形CEF作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是________．图4463图446410．(2022年甘肃天水)如图4464，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF＝80°，则图中阴影部分的面积是________．11．(2022年辽宁本溪)如图4465，已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AB＝4，求图中阴影部分的面积．图4465B级 中等题12．(2022年浙江金华)一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图4466所示方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是( )17\n 图4466A．5∶4B．5∶2C.∶2D.∶13．(2022年黑龙江绥化)直角三角形两直角边长分别是3cm和4cm，以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是__________________cm2.(结果保留π)14．(2022年四川绵阳)如图4467，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE.(1)判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若E是的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．图446715．(2022年贵州贵阳)如图4468，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝60°，连接AO，BO.(1)所对的圆心角∠AOB＝________；(2)求证：PA＝PB；(3)若OA＝3，求阴影部分的面积．图4468C级 拔尖题16．(2022年江苏徐州)如图4469，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为______cm2.17\n图446917\n第4讲 圆第1课时 圆的基本性质【真题·南粤专练】1．3 2.C 3.A 4.30° 5.(3,2)6．解：如图21，过点O作OE⊥AB于点E，连接OB.图21∵AB＝8，∴AE＝BE＝AB＝4.∵⊙O的直径为10cm，∴OB＝×10＝5(cm)．∴OE＝＝＝3(cm)．∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm.【演练·巩固提升】1．B 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.52° 8.29．证明：已知如图22，AB是圆O的直径，C是圆上一点，连接OC.图22求证：∠ACB＝90°.证明：∵OC＝OA＝OB，∴∠A＝∠ACO，∠BCO＝∠B.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴∠A＋∠B＋∠ACO＋∠BCO＝180°.∴2(∠ACO＋∠BCO)＝2∠ACB＝180°.∴∠ACB＝90°，即直径所对的圆周角是直角．反之△ABC是圆O的内接三角形，∠ACB＝90°.设点O是斜边AB上的中点，连接OC，∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴OC＝OA＝OB.∵点O到圆上三点的距离相等，三个点确定一个圆，∴点O是圆心，∴AB是圆O的直径．∴90°圆周角所对的弦是直径．10．解：(1)∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8.设OB＝x，又∵BE＝4，∴x2＝(x－4)2＋82.解得x＝10.∴⊙O的直径是20.(2)∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，∴∠D＝∠BOD.∵AB⊥CD，∴∠D＋∠BOD＝3∠D＝90°.∴∠D＝30°.11．解：(1)∵∠BAC＝∠APC＝60°，又∵∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°.∵∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝60°.∴△ABC是等边三角形．17\n(2)如图23，连接OB.∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，∴O为△ABC的外心．∴BO平分∠ABC.∴∠OBD＝30°.∴OD＝OB＝×8＝4.图2312．40°13．(1)证明：∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AC，BD是⊙O的直径．∴∠DAB＝∠ABC＝90°.∴四边形ABCD是矩形．∵AD＝CD，∴四边形ABCD是正方形．∴AC⊥BD.(2)解：如图24，连接DO，并延长交⊙O于点E，连接CE，BE.∵DE是直径，∴∠DCE＝∠DBE＝90°.∴EB⊥DB.又∵AC⊥BD，∴BE∥AC.∴＝.∴CE＝AB.根据勾股定理，得CE2＋DC2＝AB2＋DC2＝DE2＝20.∴DE＝2.∴OD＝，即⊙O的半径为.图24 图2514．(2，0)或(－2，0) 解析：如图25，过点M作MC⊥l，垂足为C.∵△MAB是等腰直角三角形，∴MA＝MB.∴∠BAM＝∠ABM＝45°.∵MC⊥直线l，∴∠BAM＝∠CMA＝45°.∴AC＝CM.在Rt△ACM中，AC2＋CM2＝AM2.∴2CM2＝4.得CM＝.在Rt△OCM中，∠COM＝30°，∴CM＝OM.∴OM＝2CM＝2.∴M(2，0)．根据对称性，在负半轴的点M(－2，0)也满足条件．故点M的坐标为(2，0)或(－2，0)．第2课时 与圆有关的位置关系【真题·南粤专练】1．25° 2.105°3．(1)证明：连接OC.在△ABO中，OA＝OB，C是边AB的中点，∴OC⊥AB.∵以O为圆心的圆过点C，∴AB与⊙O相切．(2)解：∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°.∵AB＝4，C是边AB的中点，∴AC＝AB＝2.∴OC＝AC·tan∠A＝2×＝2.∴⊙O的面积为：π×22＝4π.17\n4．证明：(1)如图28，连接OD.图28∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠EDC＝∠ECD.∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°.∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴ED＝EB.∴EB＝EC，即点E为边BC的中点．(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝90°.∴∠CDB＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ACB∽△CDB.∴＝.∴BC2＝BD·BA.(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＝∠ADC－∠OCD＝90°－45°＝45°.∴Rt△ABC为等腰直角三角形．【演练·巩固提升】1．A 2.B 3.B 4.C 5.A 6.D 7.B 8.359．4cm或2cm10．(1)证明：如图29，连接OA.图29∵＝，∴CA＝CB.又∵∠ACB＝120°，∴∠B＝30°.∴∠O＝2∠B＝60°.∵∠D＝∠B＝30°，∴∠OAD＝180°－(∠O＋∠D)＝90°.∴OA⊥AD.∴AD与⊙O相切．(2)解：设OC交AB于点E，由题意，得OC⊥AB.∴CE＝2.在Rt△BCE中，BE＝＝2×＝2.∴AB＝2BE＝4.11．(1)证明：连接OD，OE.∵CE＝BE，OA＝OB，∴OE∥AC，∴∠ADO＝∠DOE，∠CAO＝∠EOB.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO.∴∠DOE＝∠EOB.∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE(SAS)．17\n∴∠EDO＝∠ABC＝90°.∴DE是⊙O的切线．(2)解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，AC＝＝＝10.∴DB＝＝4.8.12．(1)解：设⊙O的半径为r.∵BE＝2，DG＝3，∴OE＝2＋r，OG＝3＋r.∵EF⊥AB，∴∠AEG＝90°.在Rt△OEG中，根据勾股定理，得OE2＋EG2＝OG2.∴(2＋r)2＋32＝(3＋r)2.解得r＝2.(2)证明：∵EF＝2，EG＝3，∴FG＝EF＋EG＝3＋2＝5.∵DG＝3，OD＝2，∴OG＝DG＋OD＝3＋2＝5＝FG.∵DG＝EG，∠G＝∠G，∴△DFG≌△EOG(SAS)．∴∠FDG＝∠OEG＝90°.∴DF⊥OD.∴DF是⊙O的切线．第3课时 与圆有关的计算【真题·南粤专练】1．B 2.A 3.－24. 解析：图中三块阴影部分都是扇形，且半径相等．由平行线内错角相等和正方形的对角线的性质可知，三个扇形的圆心角的度数之和为135°，所以图中阴影部分面积的和为＝.5．解：∵2πr＝πl，∴l＝2r.∴sin∠BAO＝＝.∴∠BAO＝30°.∴母线AB与高AO的夹角为30°.6．解：(1)∵在矩形ABCD中，AB＝2DA，∴AE＝2AD，且∠ADE＝90°.又∵DA＝2，∴AE＝AB＝4.∴DE＝＝＝2.∴EC＝DC－DE＝4－2.(2)S阴影＝S扇形AEF－S△ADE＝－×2×2＝π－2.图307．解：(1)连接OG，如图30.∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝5.由平移，得AD＝BE，DF＝AC＝3，EF＝BC＝5，∠EDF＝∠BAC＝90°.∵EF与半圆O相切于点G，∴OG⊥EF.∵AB＝4，线段AB为半圆O的直径，∴OB＝OG＝2.17\n∵∠GEO＝∠DEF，∴Rt△EOG∽Rt△EFD.∴＝，即＝.解得OE＝.∴BE＝OE－OB＝－2＝.(2)BD＝DE－BE＝4－＝.∵DF∥AC，∴＝，即＝.解得DH＝2.∴S阴影＝S△BDH＝BD·DH＝××2＝.即Rt△ABC与△DEF重叠(阴影)部分的面积为.【演练·巩固提升】1．C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.A8．2π 9.2 10.4－π11．(1)证明：如图31，连接OD，∵∠BCA＝90°，∠B＝30°，∴∠OAD＝∠BAC＝60°.∵OD＝OA，∴△OAD是等边三角形．∴AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°.∴∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°.∴∠ODC＝60°＋30°＝90°，即OD⊥DC.∵OD为半径，∴CD是⊙O的切线．(2)解：∵AB＝4，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝OA＝OD＝AB＝2.由勾股定理，得CD＝＝＝2.∴S阴影＝S△ODC－S扇形AOD＝×2×2－＝2－π.图31 图3212．A 13.24π，36π或π14．解：(1)CD与⊙O相切，理由如下：如图32，连接AC.∵AC为∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.∴CD与⊙O相切．(2)如图32，连接EB，交OC于点F.17\n∵E是的中点，∴＝.∴AE＝EC.∴∠EAC＝∠ECA.∵∠EAC＝∠CAO，∴∠ECA＝∠CAO.∴EC∥AO.由(1)知，AE∥OC，∴四边形AOCE是平行四边形．∵AE＝EC，∴四边形AOCE是菱形．由AB为直径，得∠AEB＝90°.∴EB∥CD，F为EB的中点．∴OF为△ABE的中位线．∴OF＝AE＝，即CF＝DE＝.在Rt△OBF中，根据勾股定理，得EF＝FB＝DC＝.∵E是的中点，∴＝.∴AE＝EC.∴弓形AE与弓形EC面积相等．则S阴影＝S△DEC＝××＝.15．(1)解：120°(2)证明：如图33，连接OP.在Rt△OAP和Rt△OBP中，∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL)．∴PA＝PB.(3)解：∵Rt△OAP≌Rt△OBP，∴∠OPA＝∠OPB＝∠APB＝30°.在Rt△OAP中，OA＝3.∴OP＝6.∴由勾股定理，得AP＝3.∴S△OPA＝×3×3＝.∴S阴影＝2×－＝9－3π.图33 图3416．40 解析：如图34，连接AD，HE，则△ABO，△CDP，△EFN，△HGM均为全等的等腰直角三角形，四边形BCPO，四边形GFNM为全等的矩形．设正八边形的边长为acm，则OA＝OB＝acm.则AD＝a＋a(cm)．∴S矩形ADEH＝S矩形BCFG＝a(a＋a)＝20(cm2)，即a2＋a2＝20(cm2)．而(S△ABO＋S△CDP＋S△EFN＋S△HGM)＋S矩形BCPO＋S矩形GFNM＝a2＋2×a·a＝a2＋a2＝20(cm2)．故正八边形的面积为20＋20＝40(cm2)．17
