广州市2022-2022年中考数学试题分类解析专题10：四边形一、选择题1.（2022年广东广州2分）如图，若四边形ABCD是半径为1cm的⊙O的内接正方形，则图中四个弓形（即四个阴影部分）的面积和为【】（A） （B） （C） （D）2.（2022年广东广州3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°．AC＝4．则BD的长为【】（A）（B）（C）（D）8【答案】B。【考点】菱形的性质，勾股定理。【分析】∵在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，∴AC⊥BD，AC=4。∴AO=2。12\n∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°。由勾股定理可知：BO=2，则BD=4。故选B。3.（2022年广东广州3分）如图，在ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则ΔCEF的周长为【】（A）8（B）9.5（C）10（D）11.5【答案】A。∵CE=，DH=3，DH∥CE，∴DHEC是平行四边形。∴EH=6。∵DF∥AB，∴∠DFA=∠FAB。∵∠FAB=∠FAD，∴∠DFA=∠FAD。∴DF=AD=9，CD=AB=6。∴CF=3。在Rt△BEG中，BE=6，BG=，由勾股定理得EG=2。∴AE=4。∵DF∥AB，∴△ABE∽△FCE。∴，即。∴FE=2。12\n∴△CEF的周长=CE＋CF＋FE=8。故选A。4.（2022年广东广州3分）已知ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝【】A、4B、12C、24D、285.（2022年广东广州3分）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是【】 A．26 B．25 C．21 D．206.（2022年广东广州3分）在平面中，下列命题为真命题的是【】A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是菱形 C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形【答案】C。【考点】命题与定理，正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定。【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例排除：A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误；B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确；12\nD、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如铮形（如图），故此选项错误。故选C。二、填空题1.（2022年广东广州3分）如图，在正方形ABCD中，AO⊥BD，OE、FG、HI都垂直于AD，EF、GH、IJ都垂直于AO，若已知，则=▲。2.（2022年广东广州3分）假设电视机屏幕为矩形。“某个电视机屏幕大小是64cm”的含义是矩形对角线长为64cm。如图，若该电视机屏幕ABCD中，，则电视机屏幕的高CD为▲cm。（精确到1cm）【答案】33。【考点】勾股定理应用。12\n【分析】∵，∴可设CD=3x，BC=5x。∴根据勾股定理，得，解得，x≈11。∴电视机屏幕的高CD为11×3=33cm。3.（2022年广东广州3分）已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题：▲三、解答题1.（2022年广东广州14分）如图，已知正方形ABCD的面积为S。（1）求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C对称，点C1和点C关于点D对称，点D1和点D关于点A对称；（只要求画出图形，不要求写作法）（2）用S表示（1）中作出的四边形A1B1C1D1的面积S1；（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按（1）的要求作出一个新的四个边形，面积为S2，则S1与S2是否相等？为什么？【答案】解：（1）作图如图所示：12\n【考点】作图（中心对称变换），正方形的性质。【分析】（1）根据对称的性质可知．使得点A1和点A关于点B对称，即是连接AB并延长相同的长度找到对应点A′，其它三点同样的方法找到对应点，顺次连接。（2）设正方形ABCD的边长为a，根据两个正方形边长的比值，利用面积比等于相似比，来求小正方形的面积。（3）相等。因为一个四边形可以分成两个三角形，根据三角形的面积公式，等底等高的三角形面积相等。2.（2022年广东广州12分）如图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，AB∥DC，BC∥DF．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B⇒D⇒A⇒E，路线2是B⇒C⇒F⇒E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明．12\n3.（2022年广东广州10分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，求证：四边形AECD是等腰梯形【答案】证明：∵在菱形ABCD中，∠DAB=600，∴DC∥AB，∠CAB=300。∵AD不平行CE，∴四边形AECD是梯形。∵CE⊥AC，∴∠C=600。∴∠DAB=∠C。∴四边形AECD是等腰梯形。【考点】菱形的性质，直角三角形两锐角的关系，等腰梯形的判定。【分析】根据菱形的性质和直角三角形两锐角互余的关系即可证明。5.（2022年广东广州9分）如图，在ΔABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点。12\n证明：四边形DECF是平行四边形。6.（2022年广东广州14分）如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。（1）若AG=AE，证明：AF=AH；（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；（3）若RtΔGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积。【答案】解：(1)证明：∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=900。∵EF∥AB，GH∥AD，∴ABEA，AGHD都是矩形。∴AE=BF，AG=DH。∵AG=AE，∴BF=DH。∴ΔABF≌ΔADH（SAS），∴AF=AH。（2）证明：如图，将ΔADH绕点A顺时针旋转90度得ΔADH1。12\n由旋转和正方形的性质知，点D与点B重合，H1、D、F共线，∠H1AD=∠HAD，AH1=AH，H1B=HD。∵∠BAD=900，∠FAH=450，∴∠BAF＋∠HAD=450。∴∠H1AF=∠BAF＋∠H1AD=∠BAF＋∠HAD=450=∠FAH。又∵AF=AF，∴ΔH1AF≌ΔFAH（SAS）。BF＋BH1=FH1=FH。∵由（1）知，AE=BF，AG=DH，∴FH1=BF＋BH1=BF＋DH=AE＋AG。∴AG+AE=FH。（3）设PE=x,PH=y,则BG=1-x,BF=1-y。∵RtΔGBF的周长为1，∴FG=x+y-1。由勾股定理，得，化简得xy=。∴矩形EPHD的面积为。7.（2022年广东广州9分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．求证：∠A＋∠C＝180°12\n8.（2022年广东广州9分）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝AF．求证：△ACE≌△ACF．9.（2022年广东广州14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）当α=60°时，求CE的长；（2）当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．12\n【答案】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=，即sin60°=，解得CE=。（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，∵F为AD的中点，∴AF=FD。在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。在△AFG和△CFD中，∵∠G=∠DCF，∠G=∠DCF，AF=FD，∴△AFG≌△CFD（AAS）。∴CF=GF，AG=CD。∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF=AD=BC=5。∴AG=AF。∵CF=GF（①中已证），∴CF2=（CG）2=CG2=（200﹣20x）=50﹣5x。∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣）2+50+。∴当x=，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值。此时，EG=10﹣x=10﹣，CE=，12\n∴。12
