【中考12年】重庆市2022-2022年中考数学试题分类解析专题10四边形一、选择题1.（重庆市2022年4分）已知：如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，那么△ECD的面积是【】．A．B．C．D．2.（重庆市2022年4分）已知：如图AB//CD，AEDC，AE=12，BD=15，AC=20，则梯形ABCD的面积是【】A130B140C150D160【答案】D。【考点】梯形的面积，平行四边形的判定和性质，勾股定理，化归思想的应用。【分析】此题的关键是作辅助线，作好辅助线后将梯形的面积转化为与直角三角形的面积相等：19\n3.（重庆市2022年4分）已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AB=8，则CD的长为【】A．B．C．D．【答案】A。4.（重庆市2022年4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝800，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于【】19\nA、800B、700C、650D、600【答案】D。5.（重庆市2022年4分）已知任意四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AB＝CD，若只增加下列条件中的一个：①AO＝BO；②AC＝BD；③；④∠OAD＝OBC，一定能使∠BAC＝∠CDB成立的可选条件是【】A、②④B、①②C、③④D、②③④【答案】D。【考点】全等、相似三角形的判定和性质，平行的判定，圆周角定理。【分析】根据全等、相似三角形的判定和性质来综合分析，逐条排除即可：①由AO=BO，只能得出△AOB为等腰三角形，不一定能使∠BAC=∠CDB成立。19\n②AC=BD，再由AB=CD，BC=BC，可证△ABC≌△DCB，则∠BAC=∠CDB，能使∠BAC=∠CDB成立。③，再由∠AOD=∠COB，可证AD∥BC，可推出ABCD等腰梯形，一定能使∠BAC=∠CDB成立。④∵∠OAD=∠OBC，∴A，B，C，D四点共圆，一定能使∠BAC=∠CDB成立。故选D。6.（重庆市大纲卷2022年4分）顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是【】A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形7.（重庆市2022年4分）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD＋S△APB＝1＋；⑤S正方形ABCD＝4＋．其中正确结论的序号是【】A．①③④B．①②⑤C．③④⑤D．①③⑤【答案】D。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理。【分析】①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠EAB=∠PAD。又∵AE=AP，AB=AD，∴△APD≌△AEB（SAS）。故①成立。③∵△APD≌△AEB，∴∠APD=∠AEB。又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，∴∠BEP=∠PAE=90°。19\n∴EB⊥ED。故③成立。②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE=AP，∠EAP=90°，∴∠AEP=∠APE=45°。又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB=∠FBE=45°。又∵，∴BF=EF=。故②不正确。二、填空题1.（重庆市2022年4分）已知：如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则△BGC与四边形CGFD的面积之比是▲．【答案】6：5。【考点】正方形的性质，三角形的面积。19\n【分析】设正方形的边长是a，可分别求得△BFC，△ABC，△AFG的面积，从而可求得四边形CGFD的面积，则不难求△BFC与四边形CGFD的面积之比：∵F是AD的中点，∴AF=AD=BC。设正方形的边长是a，则△BFC的面积和△ABC的面积都是，AF=。∴，。∴。∴。∴△BFC与四边形CGFD的面积之比是6：5。2.（重庆市2022年4分）如图：正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M、交AB于点N，交CB的延长线于点P，若MN=1，PN=3，则DM的长为▲．3.（重庆市2022年4分）如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，则该平行四边形的面积是▲。19\n【答案】72。【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。【分析】如图，设AM与BD相交于点O。由平行四边形ABCD可知AD∥BC，∴△AOD∽△MOB。又∵BM=AD，∴。∴在△BOM中，MO=3，OB=4，BM=5，∴△BOM是直角三角形。∴S△BOM=•OB•OM=6。又∵S△BOM：S△ABO=OM：OA=1：2，∴S△ABO=12。∴S△ABM=18。∵M是BC的中点，∴S▱ABCD=4S△ABM=72。4.（重庆市课标卷2022年3分）如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15㎝的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15㎝，则∠１＝ ▲ 度．5.（重庆市课标卷2022年3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，有如下五个结论：①△AOD∽△BOC； ② ∠DAC＝∠DCA；③ 梯形ABCD是轴对称图形；④ △AOB≌△AOD； ⑤ AC＝BD．请把其中正确结论的序号填写在横线上 ▲ ．【答案】①③⑤。19\n【考点】相似三角形的判定，等腰梯形的性质，全等三角形的判定。【分析】采用排除法，以各个结论进行验证从而得出正确的结论：①正确，可以根据对应角相等，对应边对应成比例从而得到两三角形相似。②不正确。③正确，根据等腰梯形的性质。④不正确。⑤正确，根据等腰梯形的性质。所以正确的结论有①③⑤。6.（重庆市2022年3分）如图，在□ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，则□ABCD的周长为▲cm.三、解答题1.（重庆市2022年10分）已知：如图，在矩形ABCD中，正为AD的中点，EF上EC交AB于F，连结FC．（AB＞AE）19\n（1）△AEF与△EFC是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC．若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）相似。证明如下：如图延长EF与CD的延长线交于点G。在Rt△AEF与Rt△DEG中，∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∠AEF＝∠DEG，∴△AFE≌△DGE（ASA）。∴EF＝EG，即E为FG的中点。又∵CE⊥FG，∴FC＝GC。∴∠CFE＝∠G。∴∠AFE＝∠EFC。又∵△AEF与△EFC均为直角三角形，∴△AEF∽△EFC。19\n2.（重庆市大纲卷2022年7分）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：∠BAE＝∠DCF。【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB＝CD。∴∠ABE＝∠CDF。又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝900。∴Rt△ABE≌Rt△CDF（AAS）。∴∠BAE＝∠DCF。【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】要证∠BAE＝∠DCF只要证得△ABE≌△CDF即可，根据平行四边形的性质和已知的AE⊥BD，CF⊥BD即可由AAS证得。3.（重庆市大纲卷2022年10分）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设＝PM·PE，＝PN·PF，解答下列问题：19\n（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断与的大小关系，并说明理由；（2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）在（2）的条件下，设，是否存在这样的实数，使得？若存在，请求出满足条件的所有的值；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）a=b。理由如下：∵ABCD是矩形，∴MN∥AD，EF∥CD。∴四边形PEAM、PNCF也均为矩形。∴a=PM•PE=S矩形PEAM，b=PN•PF=S矩形PNCF。又∵BD是对角线，∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC。∵S矩形PEAM=S△BDA－S△PMB－S△PDE，S矩形PNCF=S△DBC－S△BFP－S△DPN，∴S矩形PEAM=S矩形PNCF，∴a=b。（2）成立，理由如下：∵ABCD是平行四边形，MN∥AD，EF∥CD，∴四边形PEAM、PNCF也均为平行四边形。根据（1）可证S平行四边形PEAM=S平行四边形PNCF。过E作EH⊥MN于点H，则sin∠MPE=，即EH=PE•sin∠MPE。∴S平行四边形PEAM=PM•EH=PM•PEsin∠MPE。同理可得S平行四边形PNCF=PN•PFsin∠FPN。又∵∠MPE=∠FPN=∠A，∴sin∠MPE=sin∠FPN。19\n∴PM•PE=PN•PF。即a=b。【考点】矩形的判定和性质，平行四边形的性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）当四边形ABCD是矩形时，对角线BD把矩形ABCD分成两个全等三角形，即S△ABD=S△BCD，又MN∥AD，EF∥CD，所以四边形MBFP和四边形PFCN均为矩形，即S△MBF=S△BFP，S△EPD=S△NPD，根据求差法，可知S四边形AMPE=S四边形PFCNA，即a=b。（2）（1）的方法同时也适用于第二问。（3）由（1）（2）可知，任意一条过平行四边形对角线交点的直线将把平行四边形分成面积相等的两部分，利用面积之间的关系即可解答。4.（重庆市2022年10分）如图，在梯形ABCD中，AB//DC，∠BCD=，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.（1）求证：DC=BC；（2）E是梯形内的一点，F是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=时，求sin∠BFE的值。19\n（3）设BE=k，则CE=CF=2k，∴。∵，，∴。∴。∴。【考点】梯形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）过A作DC的垂线AM交DC于M，根据矩形的判定和性质和锐角三角函数定义可证。（2）由SAS证明△DEC≌△BFC，可知CE=CF，∠ECD=∠BCF；由角的转换可得∠ECF=900。（3）设BE=k，根据勾股定理可得，根据锐角三角函数定义可得。5.（重庆市2022年10分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E。19\n求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE【考点】梯形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC≌△DFC。（2）要证明AD=DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．AB∥DF⇒∠ABD=∠BDF，又BF=DF⇒∠DBF=∠BDF，∴∠ABD=∠EBD，BD=BD，再证明∠BDA=∠BDC则可，容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC。6.（重庆市2022年10分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．（1）求证：BG=FG；（2）若AD=DC=2，求AB的长．19\n【考点】直角梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质。【分析】（1）由直角梯形的性质，通过AAS证明和HL证明即可得出结论。（2）根据等腰三角形三线合一的性质和含30度角直角三角形的性质即可求。7.（重庆市2022年10分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA．（1）若∠MFC＝120°，求证：AM＝2MB；（2）求证：∠MPB＝90°－∠FCM．19\n【考点】直角梯形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行的性质，三角形内角和定理。【分析】（1）连接MD，由于点E是DC的中点，ME⊥DC，所以MD=MC，由已知条件根据SSS即可证明△AMD≌△FMC，根据全等三角形对应角相等的性质得∠MAD=∠MFC=120°，从而得到∠MAB=30°，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可证明AM=2BM，（2）利用（1）的结论得到∠ADM=∠FCM，又AD∥BC，所以∠ADM=∠CMD，由此得到∠CMD=∠FCM，再利用等腰三角形的性质即可得到∠CME=∠FCM，再根据已知条件即可解决问题。8.（重庆市2022年10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．19\n（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF．∴AD=DH，∠ADB=∠HDC。∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=45°。∴∠HDC=45°。∴∠HDB=∠BDC﹣∠HDC=45°。∴∠ADB=∠HDB。∵AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF（SAS）。∴AF=HF。∴CF=CH+HF=AB+AF。∴CF=AB+AF。【考点】梯形的性质，全等三角形的判定和性质；直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理。【分析】（1）根据BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根据勾股定理求出BC=，根据CE⊥BE，点G为BC的中点即可求出EG。19\n（2）在线段CF上截取CH=BA，连接DH，根据BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，证出△ABD≌△HCD，得到AD=BD，∠ADB=∠HDC，根据AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，证出△ADF≌△HDF，即可得到答案。9.（重庆市2022年10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．CFM（SAS），∴ME=MF。延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2。∵∠1=∠2，∴∠1=∠G。∴AM=MG。19\n在△CDF和△BGF中，∵∠G=∠2，∠BFG=∠CFD，BF=CF，∴△CDF≌△BGF（AAS）。∴GF=DF。由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME。19
