【2022版中考12年】上海市2022-2022年中考数学试题分类解析专题6函数的图像与性质选择题1.（上海市2022年3分）在函数的图象上有三点、，已知，则下列各式中，正确的是【】A.B.C.D.【答案】C。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质。【分析】根据题意画出图形，再根据函数的增减性解答即可：∵＞0，函数图象如图，∴图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小。∵，∴。故选C。2.（上海市2022年4分）二次函数图像的顶点坐标是【】（A.）（－1，3）（B）.（1，3）（C）.（－1，－3）（D）.（1，－3）D．，【答案】B。【考点】一次函数图象与系数的关系。【分析】一次函数的图象有四种情况：28\n4.（上海市2022年4分）在平面直角坐标系中，直线经过【】A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【答案】A。【考点】一次函数图象与系数的关系。【分析】一次函数的图象有四种情况：由题意得，函数的，，故它的图象经过第一、二、三象限。故选A。28\n5.（上海市2022年Ⅰ组4分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是【】A．3B．2C．1D．0【答案】B。【考点】抛物线与轴的交点。【分析】抛物线与轴的交点的个数即方程不相等实数根的个数，有2个，故选B。6.（上海市2022年4分）抛物线（是常数）的顶点坐标是【】A．B．C．D．是。故选B。7.（上海市2022年4分）在平面直角坐标系中，反比例函数图像的两支分别在【】A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限【答案】B。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第二、四象限。故选B。8.（上海市2022年4分）抛物线＝－(＋2)2－3的顶点坐标是【】28\n(A)（2，－3）；(B)（－2，3）；(C)（2，3）；(D)（－2，－3）．【答案】Ｄ。【考点】二次函数的顶点坐标。【分析】由二次函数的顶点式表达式＝－(＋2)2－3直接得到其顶点坐标是（－2，－3）。故选Ｄ。二、填空题1.（上海市2022年2分）抛物线的顶点坐标是▲．2.（上海市2022年2分）在平面直角坐标系内，从反比例函数的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是▲。【答案】。【考点】反比例函数系数k的几何意义。【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|：根据题意，知|k|=12，k=±12，又∵k＞0，∴k=12。∴该函数关系式为：。3.（上海市2022年3分）点A(2，4)在正比例函数的图象上，这个正比例函数的解析式是▲【答案】。【考点】待定系数法求正比例函数解析式，曲线上的点与坐标的关系。【分析】设这个正比例函数的解析式是，因为点A（2，4）在该正比例函数的图象上，所以有4=2，从而可求出=2。从而得这个正比例函数的解析式是。28\n。5.（上海市2022年3分）某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，那么这种汽油的单价是每升▲元。【答案】5.09。【考点】函数的图象。【分析】根据图象知道100升油花费了509元，由此即可求出这种汽油的单价：单价=509÷100=5.09元。6.（上海市2022年3分）如图，正比例函数图象经过点，该函数解析式是▲．【答案】。【考点】待定系数法求正比例函数解析式。【分析】设该正比例函数的解析式为，由图象可知，该函数图象过点A（1，3），∴。∴该正比例函数的解析式为。7.（上海市2022年4分）在平面直角坐标系中，如果双曲线经过点，那么▲．28\n【答案】－2。的函数关系如图所示当0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为y=60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为▲.【答案】y=100x－40。【考点】函数图象，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】在0≤x≤1时，把x=1代入y=60x，则y=60，那么当1≤x≤2时由两点坐标（1,60）与（2,160）得当1≤x≤2时的函数解析式为y=100x－40。10.（上海市2022年4分）如果反比例函数（是常数，≠0）的图像经过点(－1，2)，那么这个函数的解析式是▲．【答案】。28\n（填“增大”或“减小”）．【答案】增大。【考点】一次函数的性质。【分析】由一次函数＝3－2中k=3＞0，根据一次函数的增减性的性质知，函数值随自变量值的增大而增大。12.（2022上海市4分）已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，﹣3）在函数上，则y随x的增大而▲（增大或减小）．【答案】减小。【考点】正比例函数的性质，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】∵点（2，﹣3）在正比例函数y=kx（k≠0）上，∴2k=﹣3，解得：。∴正比例函数解析式是：y=x。∵k=＜0，∴y随x的增大而减小。13.（2022年上海市4分）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果邮箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图像如图所示，那么到达乙地时邮箱剩余油量是▲升．28\n三、解答题1.（上海市2022年10分）如图，直线y＝x＋2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9． （1）求点P的坐标；（2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标.【答案】解：（1）由题意，得点C（0，2），点A（－4，0）。28\nb－2，RT＝。①当△RTB∽△AOC时，，即，∴，解得b＝3或b＝－1（舍去）。∴点R的坐标为（3，2）。 ②当△RTB∽△COA时，，即， ∴ ，解得b＝1＋或b＝1－（舍去）。∴点R的坐标为（1＋，）。 综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1＋，）。【考点】一次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】（1）根据点在直线上，点的坐标满足方程的性质，求出BP，AB的值从而可求出点P的坐标。（2）设R点坐标为（x，y），求出反比例函数．又因为△BRT∽△AOC，利用线段比联立方程组求出x，y的值。28\n2.（上海市2022年10分）卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB。如图，在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图：（1）求出图上以这一部分抛物线为图像的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：≈1.4，计算结果精确到1米）【答案】解：（1）∵顶点C在y轴上，∴设以这部分抛物线为图象的函数解析式为。因此月河河流宽度为×11000×0.01=（米）。【考点】二次函数的应用，曲线上的点与方程的关系。【分析】（1）因为C在y轴上，故设抛物线的解析式为，把A点坐标代入解析式求出a即可。（2）因为点D、E的纵坐标相同，易求DE的长。3.（上海市2022年10分）已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数的图象经过点A、B，与轴相交于点C。28\n（1）、的符号之间有何关系？（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证、互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果＝－4，AB＝，求、的值。【答案】解：（1）由图可知：当抛物线开口向下，即＜0时，＜0（如图）；当抛物线开口向上，即＞0时，＞0；因此、同号。（2）设A（m，0），B（n，0），抛物线的解析式中，令=0，得：。∴OA•OB=mn=，OC2=。∵OA•OB=OC2，∴=，解得=1。所以、互为倒数。（3）由题意知：，则m＋n=，mn=。∵AB=，∴AB2=48。∴（n－m）2=48，即（m+n）2－4mn=48，。解得。∴。因此、的值分别为：、2或－、－2。【考点】二次函数综合题，一元二次方程根与系数的关系。【分析】（1）根据A、B点的位置即可判断出当抛物线开口向下时，函数图象与y轴交于负半轴，当抛物线开口向上时，函数图象与轴交于正半轴，即、同号。（2）当CO2=OA•OB时，可用表示出OC，用、表示出OA•OB，代入上式即可求得28\n、是否为倒数关系。（3）沿用（2）的思路，首先将值代入抛物线的解析式中，可依据韦达定理表示出AB的长，几何、的倒数关系，即可求得、的值。4.（上海市2022年12分）数学课上，老师出示图和下面框中条件。如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作轴的垂线，分别交二次函数的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交轴于点H，记点C、D的横坐标分别为，点H的纵坐标为．同学发现两个结论：”，其他条件不变，结论①是否仍成立？（请说明理由）（3）进一步研究：如果将上述框中的条件“A点坐标（1，0）”改为“A点坐标为”，又将条件“”改为“”，其他条件不变，那么和有怎么样的数值关系？（写出结果并说明理由）【答案】解：（1）由已知可得点的坐标为（2，0），点C的坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为28\n（2）结论①仍成立，理由如下：∵点A的坐标为，则点B坐标为（），从而点C坐标为，点D坐标为，设直线OC的函数解析式为，则，得。∴直线OC的函数解析式为。设点M的坐标为（），∵点M在直线OC上，∴当时，，点M的坐标为（）。∴。∴结论①仍成立。（3），理由如下：由题意，当二次函数的解析式为，且点A坐标为（t，0）（）时，点C坐标为（），点D坐标为（），设直线CD的函数解析式为28\n\【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。5.（上海市2022年10分）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标为（0，－3），且BO＝CO一、求这个二次函数的解析式；二、设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.【答案】解：（1）∵C（0，－3），OC=|－3|=3，∴=－3。又∵OC=BO，∴BO=3，∴B（3，0）。∴9＋3－3=0，=－2。∴这个二次函数的解析式为。（2）∵，∴M（1，－4）。28\n又由解得A（－1，0），∴AM=。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。【分析】（1）由已知可得B（3，0），又C（0，－3），代入抛物线解析式可求、。（2）求抛物线顶点坐标和A点坐标，在直角三角形中用勾股定理可求AM的长。6.（上海市2022年12分）如图，在直角坐标系中，为原点．点在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数的图象经过点．（1）求点的坐标（5分）；（2）如果经过点的一次函数图象与轴的正半轴交于点，且，求这个一次函数的解析式（7分）。【答案】解：（1）由题意，设点的坐标为，． ∵点在反比例函数的图象上，得，解得，。 经检验，是原方程的根，但不符合题意，舍去。 ∴点的坐标为。 （2）由题意，设点的坐标为． ∵，∴， 解得，经检验是原方程的根。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据点位置及坐标特点，代入反比例函数解析式解方程即可求出的坐标。（2）根据题意求B点坐标，再求解析式。28\n7.（上海市2022年12分）如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，，其中．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴【答案】解：（1）∵函数，是常数）图象经过，∴。设交于点，据题意，可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为。∵，∴，。由的面积为4，即，得，∴点的坐标为。∴。（3）∵，∴当时，有两种情况：28\n∴直线的函数解析式是。综上所述，所求直线的函数解析式是或。（2）由已知，求出，即可证得。（3）分和与所在直线不平行两种情况讨论即可。8.（上海市2022年12分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．二次函数的图像经过点，顶点为．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标（5分）；（2）如果点的坐标为，，垂足为点，点在直线上，，求点的坐标（7分）．【答案】解：（1）∵二次函数的图像经过点，28\n∴，得。所求二次函数的解析式为。则这个二次函数图像顶点的坐标为。（2）过点作轴，垂足为点。在中，，，，∴。在中，，又，可得。∴。过点作轴，垂足为点。由题意知，点在点的右侧，易证．∴。其中，。设点的坐标为，则，。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的顶点坐标，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质。28\n。9（上海市2022年12分）如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3).（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.则四边形OAPF可以分为：△OFA与△OAP，∴=+==20∴=5。28\n∵点P为第四象限的点，∴n<0，∴n=－5。代入抛物线方程得m=5。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的性质，轴对称的性质。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将点A、B的坐标代入函数关系式即可求出b=4，c=0，得到抛物线的表达式。将表达式化为顶点式即可得到该抛物线的对称轴和顶点坐标。（2）根据轴对称的性质可得到点E和F的坐标，由已知四边形OAPF的面积为20，列式求出n，代入抛物线方程求得m。10.（上海市2022年12分）已知平面直角坐标系O（如图1），一次函数的图像与轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MO＝MA．二次函数＝2＋b＋c的图像经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．【答案】解：（1）在一次函数中，当=0时，=3。∴A（0，3）。∵MO=MA，∴M为OA垂直平分线上的点，而OA垂直平分线的解析式为。28\n∴|AB|=3—m，|DC|==－（）=。|AD|=∵|AB|=|DC|，∴3－m=①。∵|AB|=|AD|，∴3－m=②。解①②得，n1=0（舍去），n2=2。将n=2，代入C（n，）。∴点C的坐标为C（2，2）。【考点】二次函数综合题，线段垂直平分线的性质，曲线上的点与方程的关系，待定系数法，菱形的性质，勾股定理。【分析】（1）先求出根据OA垂直平分线上的解析式，再根据两点的距离公式求出线段AM的长。（2）二次函数＝2＋b＋c的图象经过点A、M．由待定系数法即可求出二次函数的解析式。（3）可设D（n，），，C（n，）且点C在二次函数＝2－28\n＋3上，根据菱形的性质得出|AB|=|DC|，|AB|=|AD|，得到方程求解即可。11.（2022上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）【答案】解：（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（10，10）（50，6）代入解析式得：，解得：。∴y关于x的函数解析式为y=x+11（10≤x≤50）。（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，x（x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去）。∴该产品的生产数量为40吨。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程。【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域。（2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可。12.（2022上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；28\n（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．【答案】解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），∴，解得。∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8。（2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。∴∠DEF=∠ODA。（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，∴C（0，8），OC=8。如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）。在△CAG与△OCA中，∵∠OAC=∠GCA，AC=CA，∠ECA=∠OAC，∴△CAG≌△OCA（ASA）。∴CG=AO=4，AG=OC=8。如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+，由勾股定理得：。28\n在Rt△AEG中，由勾股定理得：。在Rt△ECF中，EF=，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=4+由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即。解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6。∴t=6。利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值。13.（2022年上海市10分）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，t）在这条直线上，连接AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；（2）如果反比例函数（是常量，）的图像经过点A，求这个反比例函数的解析式．28\n【答案】解：（1）∵直线与y轴交于点B，∴点B的坐标为（0，b）。∵点A（2，t），△AOB的面积等于1，∴。∴。（2）∵点A（2，t）在这条直线上，∴。∴点A的坐标为（2，2）。∵反比例函数（是常量，）的图像经过点A，∴，即。∴这个反比例函数的解析式为。14.（2022年上海市12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=1200．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．28\n【答案】解：（1）如图，过点A作AD⊥y轴于点D，∵AO=OB=2，∴B（2，0）。∵∠AOB=1200，∴∠AOD=300，∴AD=1，OD=。∴A（－1，）。将A（－1，），B（2，0）代入，得：，解得。∴这条抛物线的表达式为。（2）过点M作ME⊥x轴于点E，∵。∴M（1，），即OE=1，EM=。28\n∴。∴。∴。（3）过点A作AH⊥x轴于点H，∵AH=，HB=HO＋OB=3，AO=2，，，。①由得，，解得。∴C1（4，0）。②由得，，解得。∴C2（8，0）。综上所述，如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为（4，0）或（8，0）。28\n28
