课时训练(十七) 二次函数的几何应用(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2022·潍坊]如图K17-1,菱形ABCD的边长是4厘米,∠B=60°,动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止,动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止.若点P,Q同时出发运动了t秒,记△BPQ的面积为S厘米2,下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是( )图K17-111\n图K17-22.如图K17-3,抛物线m:y=ax2+b(a<0,b>0)与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为C1,与x轴的另一个交点为A1.若四边形AC1A1C为矩形,则a,b应满足的关系式为( )图K17-3A.ab=-2B.ab=-3C.ab=-4D.ab=-53.二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M,N两点,点P在该函数的图象上运动,能使△PMN的面积等于12的点P共有 个. 4.[2022·长春]如图K17-4,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A.点B是y轴正半轴上一点,点A关于点B的对称点A'恰好落在抛物线上.过点A'作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A'的横坐标为1,则A'C11\n的长为 . 图K17-45.[2022·枣庄]如图K17-5①,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A.图②是点P运动时,线段BP长度y随时间x变化的图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是 . 图K17-56.如图K17-6,在平面直角坐标系xOy中,若动点P在抛物线y=ax2上,☉P恒过点F(0,n),且与直线y=-n始终保持相切,则n= (用含a的代数式表示). 图K17-67.[2022·龙东]如图K17-7,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2),对称轴为直线x=-2,平行于x轴的直线与抛物线交于B,C两点,点B在对称轴左侧,BC=6.(1)求此抛物线的解析式;(2)点P在x轴上,直线CP将△ABC的面积分成2∶3的两部分,请直接写出P点坐标.11\n图K17-78.[2022·苏州]如图K17-8,已知抛物线y=x2-4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C为顶点.直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D.(1)求线段AD的长;(2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为C'.若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD,求新抛物线对应的函数表达式.图K17-811\n|拓展提升|9.[2022·鄂州]如图K17-9,已知矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,动点P在边BC上从点B向点C运动,速度为1cm/s,同时动点Q从点C出发,沿折线C→D→A运动,速度为2cm/s.当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.设点P运动时间为t(s),△BPQ的面积为S(cm2),则描述S(cm2)与t(s)之间的函数关系的图象大致是( )图K17-9图K17-1010.[2022·遂宁]如图K17-11,已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=9x(x>0)的图象相交于点B,且B点的横坐标为3,抛物线与y轴交于点C(0,6),A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点,P点是x轴上一动点,当PA+PB最小时,P点的坐标为 . 图K17-1111\n参考答案1.D [解析]当0≤t≤2时,点Q在BC上,此时BP=4-t,BQ=2t,S=12(4-t)·2tsin60°=-32t2+23t是开口向下的抛物线的一部分,可排除A和C;当2≤t≤4时,△BPQ中BP边上的高不变,始终为4sin60°=23,此时S=12(4-t)·23=-3t+43,面积随底边的减小而减小,最终变为0,故选择D.2.B [解析]令x=0,得y=b.∴C(0,b).令y=0,得ax2+b=0,∴x=±-ba,∴A--ba,0,B-ba,0,∴AB=2-ba,BC=OC2+OB2=b2-ba.要使平行四边形AC1A1C是矩形,必须满足AB=BC,∴2-ba=b2-ba,∴4×-ba=b2-ba,11\n∴ab=-3.∴a,b应满足关系式ab=-3.故选B.3.4 [解析]y=x2-8x+15的图象与x轴交点为(3,0)和(5,0),MN=2,设P点坐标为(x,y),y=x2-8x+15,S△PMN=12=12MN·|y|,可得y1=12,y2=-12.当y=12时,x=8±62;当y=-12时,x=8±22,所以共有四个点.4.3 [解析]如图,设A'C与y轴交于点D.∵点A与点A'关于点B对称,∴AB=A'B.又A'C∥x轴,∴∠A'DB=∠AOB=90°,∠DA'B=∠OAB,∴△ABO≌△A'BD,∴AO=A'D,∵点A'的横坐标为1,∴A'D=AO=1,11\n∴点A坐标为(-1,0).把(-1,0)代入抛物线解析式y=x2+mx得m=1,∴抛物线解析式为y=x2+x,∴点A'坐标为(1,2).令y=2得,x2+x=2,解得x1=-2,x2=1,∴A'C=1-(-2)=3.5.12 [解析]动点P运动过程中:①当动点P在BC上时,BP由0到5逐渐增加,所以可得BC=5;②当动点P在AC上时,BP先变小后变大且当BP垂直于AC时,BP最小,为4.当P点运动到A点时,BP=5,所以可得AB=5,由题意可得△ABC是等腰三角形,AB=BC=5,且底边AC上的高为4,当BP垂直于AC时,由勾股定理可得AP=CP=3,即AC=6,所以△ABC的面积=12AC·BP=12.6.14a [解析]如图,连接PF.设☉P与直线y=-n相切于点E,连接PE.则PE⊥AE.∵动点P在抛物线y=ax2上,∴设P(m,am2).∵☉P恒过点F(0,n),∴PF=PE,即m2+(am2-n)2=am2+n.∴n=14a.7.解:(1)∵点A(0,2)在抛物线y=x2+bx+c上,∴c=2,∵抛物线对称轴为直线x=-2,∴-b2×1=-2,∴b=4,∴抛物线的解析式为y=x2+4x+2.11\n(2)点P的坐标为(-6,0)或(-13,0).提示:∵抛物线对称轴为直线x=-2,BC∥x轴,且BC=6,∴点C的横坐标为6÷2-2=1,把x=1代入y=x2+4x+2得y=7,∴C(1,7),∴△ABC中BC边上的高为7-2=5,∴S△ABC=12×6×5=15.令y=7,得x2+4x+2=7,解得x1=1,x2=-5,∴B(-5,7),∴AB=52.设直线CP交AB于点Q,∵直线CP将△ABC的面积分成2∶3的两部分,∴符合题意的点P有两个,对应的点Q也有两个.①当AQ1∶BQ1=2∶3时,作Q1M1⊥y轴,Q1N1⊥BC,则AQ1=22,Q1M1=2,BQ1=32,Q1N1=3,Q1(-2,4),∵C(1,7),∴直线CQ1的解析式为y=x+6,令y=0,则x=-6,∴P1(-6,0);②当BQ2∶AQ2=2∶3时,作Q2M2⊥y轴,Q2N2⊥BC,则AQ2=32,Q2M2=3,BQ2=22,Q2N2=2,Q2(-3,5),∵C(1,7),∴直线CQ2的解析式为y=12x+132,令y=0,则x=-13,∴P2(-13,0).综上,点P的坐标为(-6,0)或(-13,0).8.解:(1)由x2-4=0解得x1=2,x2=-2.∵点A位于点B的左侧,∴A(-2,0).∵直线y=x+m经过点A,∴-2+m=0,∴m=2,∴D(0,2).∴AD=OA2+OD2=22.(2)∵新抛物线经过点D(0,2),∴设新抛物线对应的函数表达式为y=x2+bx+2,∴y=x2+bx+2=x+b22+2-b24.11\n∵直线CC'平行于直线AD,并且经过点C(0,-4),∴直线CC'的函数表达式为y=x-4.∴2-b24=-b2-4,整理得b2-2b-24=0,解得b1=-4,b2=6.∴新抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x+2或y=x2+6x+2.9.A [解析]由题意可知0≤t≤6,当0≤t<2时,如图①所示,S=12BP·CQ=12t·2t=t2;当t=2时,如图②所示,点Q与点D重合,则BP=2,CQ=4,故S=12BP·CQ=12×2×4=4;当2<t≤6时,如图③所示,点Q在AD上运动,S=12BP·CD=12t·4=2t.故选A.10.125,0 [解析]∵B点的横坐标为3,且点B在反比例函数y=9x的图象上,∴B(3,3).∵抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)经过B,C两点,∴9a-12+c=3,c=6,解得a=1,c=6,∴抛物线的解析式为y=x2-4x+6=(x-2)2+2,11\n∴抛物线的顶点A的坐标为(2,2),∴点A关于x轴的对称点A'的坐标为(2,-2).设A'B所在的直线解析式为y=kx+b,则2k+b=-2,3k+b=3,解得k=5,b=-12,∴直线A'B的解析式为y=5x-12,令y=0,解得x=125,∴直线A'B与x轴的交点坐标为125,0.根据两点之间线段最短,可得当P的坐标为125,0时,PA+PB最小.故答案为125,0.11
