第五单元四边形第18讲 多边形与平行四边形考纲要求命题趋势1．了解多边形的有关概念，掌握多边形的内角和与外角和公式，并会进行有关的计算与证明．2．掌握平行四边形的概念及有关性质和判定，并能进行计算和证明．3．了解镶嵌的概念，会判断几种正多边形能否进行镶嵌. 中考命题多以选择题、填空题和解答题的形式出现，主要考查多边形的边角关系、多边形内角和、平面镶嵌及平行四边形的定义、性质和判定．另外，平行四边形常和三角形、圆、函数结合起来命题，考查学生的综合运用能力.知识梳理一、多边形的有关概念及性质1．多边形的概念定义：在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．对角线：连接多边形________的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．正多边形：各个角都________，各条边都________的多边形叫做正多边形．2．性质n边形过一个顶点的对角线有________条，共有________条对角线；n边形的内角和为________，外角和为360°.二、平面图形的密铺(镶嵌)1．密铺的定义用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的________．2．平面图形的密铺正三角形、正方形、正六边形都可以单独使用密铺平面，部分正多边形的组合也可以密铺平面．三、平行四边形的定义和性质1．定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2．性质(1)平行四边形的对边________．(2)平行四边形的对角________．(3)平行四边形的对角线__________．(4)平行四边形是中心对称图形．四、平行四边形的判定1．两组对边分别________的四边形是平行四边形．2．两组对边分别________的四边形是平行四边形．3．一组对边________的四边形是平行四边形．4．对角线相互________的四边形是平行四边形．9\n5．两组对角分别________的四边形是平行四边形．自主测试1．正八边形的每个内角为( )A．120°B．135°C．140°D．144°2．一批相同的正六边形地砖铺满地面的图案中，每个顶点处的正六边形的个数为( )A．2B．3C．4D．63．已知ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝( )A．4B．12C．24D．284．如图，在ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是__________°.5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为__________．(填一个即可)6．如图所示，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：(1)△AFD≌△CEB；(2)四边形AECF是平行四边形．考点一、多边形的内角和与外角和【例1】某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是( )A．5B．6C．7D．8解析：多边形的外角和是360°，不随边数的改变而改变．设这个多边形的边数是x，由题意，得(x－2)·180°＝3×360°，解得x＝8.答案：D方法总结要记住多边形的内角和公式，当已知边数时，可求内角和；当已知内角和时，可求边数．特别地，正多边形的每个外角等于.触类旁通1正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为( )A．9B．8C．7D．4考点二、平面的密铺9\n【例2】下列多边形中，不能够单独铺满地面的是( )A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形解析：要解决这类问题，我们不妨设有n个同一种正多边形围绕一点密铺，它的每一个内角为α，则有nα＝360°，所以n＝360°÷α，要使n为整数，α只能取60°，90°，120°.也就是说只有正三角形、正方形、正六边形三种正多边形可以单独密铺地面，其他的正多边形是不可以密铺地面的．答案：C方法总结判断给定的某种正多边形能否密铺，关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角特点，当围绕一点拼在一起时，几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．触类旁通2按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌(即平面密铺)的有__________(写出所有正确答案的序号)．考点三、平行四边形的性质【例3】如图，已知E，F是ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形(不再添加辅助线)．分析：(1)根据平行四边形的性质可知对边平行且相等，又BE⊥AC，DF⊥AC，可以利用“AAS”证明△ABE与△CDF全等；(2)图中有三对全等三角形，写出其他两对即可．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAE＝∠FCD.又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.∴△ABE≌△CDF.(2)①△ABC≌△CDA，②△BCE≌△DAF.方法总结1．利用平行四边形的性质可证明线段或角相等，或求角的度数．2．利用平行四边形的性质常把平行四边形问题转化为三角形问题，通过证明三角形全等来解决．触类旁通3如图，在ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF.求证：∠EBF＝∠FDE.考点四、平行四边形的判定9\n【例4】如图，在ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB.(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若去掉已知条件的“∠DAB＝60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°，∴∠ADE＝∠CBF＝60°.∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是正三角形．在ABCD中，AD＝BC，∴ED＝BF.∴ED＋DC＝BF＋AB，即EC＝AF.又∵DC∥AB，即EC∥AF，∴四边形AFCE是平行四边形．(2)上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB，AD＝BC，DC綊AB.∴∠ADE＝∠CBF.∵AE＝AD，CF＝CB，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF.∴∠AED＝∠CFB.又∵AD＝BC，∴△ADE≌△CBF.∴ED＝FB.∵DC＝AB，∴ED＋DC＝FB＋AB，即EC＝FA，∴EC綉AF.∴四边形EAFC是平行四边形．方法总结平行四边形的判定方法：(1)如果已知一组对边平行，常考虑证另一组对边平行或者证这组对边相等；(2)如果已知一组对边相等，常考虑证另一组对边相等或者证这组对边平行；(3)如果已知条件与对角线有关，常考虑证对角线互相平分．触类旁通4如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F在AC上，G，H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.求证：GF∥HE.1．(2022江苏无锡)若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为( )A．6B．7C．8D．99\n2．(2022浙江杭州)已知ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C＝( )A．18°B．36°C．72°D．144°3．(2022四川巴中)不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )A．两组对边分别平行B．一组对边平行另一组对边相等C．一组对边平行且相等D．两组对边分别相等4．(2022湖南怀化)如图，在ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF＝________.'5．(2022四川广安)如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1＋∠2＝__________.6．(2022贵州铜仁)一个多边形每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是__________．7．(2022广东湛江)如图，在ABCD中，E，F分别在AD，BC边上，且AE＝CF.求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形BFDE是平行四边形．1．如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了( )A．60米B．100米C．90米D．120米2．如图，在周长为20cm的ABCD中AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为( )9\nA．4cmB．6cmC．8cmD．10cm3．如图，ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD，BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，DF＝2，则EF的长为( )A．2B．2C．4D．44．如图，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为( )A．8B．9.5C．10D．11.55．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是( )A．180°B．220°C．240°D．300°6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC＝6，则线段AO的长度等于__________．9\n7．如图，观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，则第10个图中黑色正六边形有__________个．8．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，AD上的点，∠1＝∠2.求证：△ABE≌△CDF.9．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，BO＝DO.求证：四边形ABCD是平行四边形．参考答案导学必备知识自主测试1．B 2．B 3．B 4．45 5．AD∥BC(或AB＝CD)6．证明：(1)在ABCD中，AD＝CB，AB＝CD，∠D＝∠B.又∵E，F分别是AB，CD的中点，∴DF＝CD，BE＝AB.∴DF＝BE.∴△AFD≌△CEB.(2)在ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，由(1)得BE＝DF，∴AE綉CF.∴四边形AECF是平行四边形．探究考点方法触类旁通1．8触类旁通2．②③ 根据镶嵌的条件可知单独一种图形，能够进行镶嵌的有①②③，而正三角形不能只通过平移来镶嵌．所以只通过平移方式就能进行平面镶嵌的只有②③.触类旁通3．证明：连接BD交AC于O点．如图所示．9\n∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵AE＝CF，∴OE＝OF.∴四边形BEDF是平行四边形，∴∠EBF＝∠FDE.触类旁通4．分析：要证明GF∥HE，关键是说明四边形EGFH是平行四边形，本题出现了对角线，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来证明．证明：∵ABCD中，OA＝OC，∵AF＝CE，AF－OA＝CE－OC，∴OF＝OE.同理得，OG＝OH.∴四边形EGFH是平行四边形．∴GF∥HE.品鉴经典考题1．C 设多边形的边数为n，由题意得：(n－2)·180°＝1080°，所以n＝8.2．B ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠A，BC∥AD，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠B＝4∠A，∴∠A＝36°，∴∠C＝∠A＝36°，故选B.3．B 因为一组对边平行另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，所以B项的条件不能判定一个四边形是平行四边形．4．4 因为AD＝8，所以BC＝8；点E，F分别是BD，CD的中点，则EF为△CBD的中位线，则EF＝BC＝4.5．240° ∠1＋∠2＝2×180°－(180°－60°)＝240°.6．9 因为360÷40＝9，所以这个多边形的边数是9.7．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C.在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS)．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC且AD∥BC.∵AE＝CF，∴DE＝BF.又DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形．研习预测试题1．C 2．D 3．B4．A ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝9.∴∠DAF＝∠AEB.∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠DAF.∴∠AEB＝∠BAF.∴BE＝AB＝6.∴EC＝3.在Rt△ABG中，AG＝2，∴AE＝4.易证△ABE∽△FCE，得＝，∴EF＝2，可证CF＝EC＝3.∴△CEF的周长为8.5．C 6．3 7．1009\n8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝DC.又∵∠1＝∠2，∴△ABE≌△CDF.9．证明：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.在△ABO和△CDO中，∵∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴AO＝CO.∵BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．9
