课时知能训练一、选择题1．对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 由a＋b＝0知道a与b互为相反向量，从而a∥b，充分性成立．由a∥b知a＝λb，λ≠－1时，a＋b≠0，∴必要性不成立．【答案】 A2．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是( )A．A、B、CB．A、B、DC．B、C、DD．A、C、D【解析】 ＝＋＝2a＋4b＝2⇒∥⇒A、B、D三点共线．【答案】 B3．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )A．△ABC的内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上【解析】 ∵＝＋，又＝λ＋，∴＝λ，∴点P∈AC.【答案】 B4．(2012·揭阳模拟)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于( )A．30° B．60°C．90° D．120°【解析】 由＋＋＝0，知点O为△ABC重心，又O为△ABC外接圆的圆心，∴△ABC为等边三角形，A＝60°.【答案】 B5．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( )A．3 B．4C．5 D．6【解析】 ∵D为AB的中点，4\n则＝(＋)，又＋＋2＝0，∴＝－，∴O为CD的中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4.【答案】 B二、填空题6．若＝3e1，＝－5e1，且与的模相等，则四边形ABCD是__________．【解析】 ∵＝－，∴AB∥CD，且|AB|≠|CD|.【答案】 等腰梯形7．已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是________(将正确的序号填在横线上)．①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；②存在相异实数λ、μ，使λ·a＋μ·b＝0；③x·a＋y·b＝0(实数x，y满足x＋y＝0)；④若四边形ABCD是梯形，则与共线．【解析】 由①得10a－b＝0，故①对．②对．对于③当x＝y＝0时，a与b不一定共线，故③不对．若AB∥CD，则与共线，若AD∥BC，则与不共线，故④不对．【答案】 ①②8．如图4－1－3，在△ABC中，图4－1－3点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．【解析】 ∵O是BC的中点，∴＝(＋)又∵＝m，＝n，4\n∴＝＋.∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.则m＋n＝2.【答案】 2三、解答题图4－1－49．(2012·肇庆质检)如图4－1－4所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值．【解】 如题图所示，＝＋，∵P为BN上一点，则BP＝k，∴＝＋k＝＋k(－)又＝，即＝，因此＝(1－k)＋，所以1－k＝m，且＝，解得k＝，则m＝1－k＝.10．设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上？【解】 设＝a，＝tb，＝(a＋b)．若A，B，C三点共线，则有＝λ，∴－＝λ(－)，4\n∴tb－a＝λ[(a＋b)－a]．化简整理得，(λ－1)a＝(λ－t)b.∵a与b不共线，由平面向量基本定理得λ＝且t＝.故当t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一直线上．11．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)．求点P的轨迹，并判断点P的轨迹通过下述哪一个定点：①△ABC的外心；②△ABC的内心；③△ABC的重心；④△ABC的垂心．【解】 如图，记＝，＝，则，都是单位向量．∴||＝||，＝＋，则四边形AMQN是菱形．∴AQ平分∠BAC，∵＝＋，由条件知＝＋λ，∴＝λ(λ∈[0，＋∞))，∴点P的轨迹是射线AQ，且AQ通过△ABC的内心．4
