课时知能训练一、选择题1．下列关于星星的图案中星星个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A．an＝n2－n＋1 B．an＝C．an＝D．an＝【解析】 观察所给图案知，an＝1＋2＋3＋…＋n＝.【答案】 C2．(2012·梅州质检)在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是( )A.B.C.D.【解析】 当n＝2时，a2·a1＝a1＋(－1)2，∴a2＝2，当n＝3时，a3a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝，当n＝4时，a4a3＝a3＋(－1)4，∴a4＝3，当n＝5时，a5a4＝a4＋(－1)5，∴a5＝，∴＝.【答案】 C3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于( )A．4B．2C．1D．－2【解析】 ∵Sn＝2(an－1)，∴S1＝a1＝2(a1－1)，解得a1＝2，又S2＝a1＋a2＝2(a2－1)，解得a2＝a1＋2＝4.【答案】 A4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，则a10＝( )A．1024B．1023C．2048D．2047【解析】 ∵an＋1＝an＋2n，∴an－an－1＝2n－1(n≥2)，∴a10＝(a10－a9)＋(a9－a8)＋…＋(a2－a1)＋a1＝29＋28＋…＋2＋1＝210－1＝1023.【答案】 B5．(2011·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝( )A．1B．9-3-\nC．10D．55【解析】 ∵Sn＋Sm＝Sn＋m，∴令n＝9，m＝1，即得S9＋S1＝S10，S1＝S10－S9＝a10＝1，∴a10＝1.【答案】 A二、填空题6．(2012·湛江调研)已知a1＝2，an＋1－an＝2n＋1(n∈N*)，则an＝________.【解析】 ∵an＋1－an＝2n＋1，∴an－an－1＝2(n－1)＋1＝2n－1，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3＋2＝＋2＝n2＋1.【答案】 n2＋17．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值为________．【解析】 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10；当n＝1时，a1＝－8适合上式．∴an＝2n－10.∵5＜ak＜8，∴5＜2k－10＜8，∴＜k＜9，又∵k∈N*，∴k＝8.【答案】 88．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________.【解析】 由题意知：a1·a2·a3…an－1＝(n－1)2，∴an＝()2(n≥2)，∴a3＋a5＝()2＋()2＝.【答案】 三、解答题9．已知数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝1，S2＝2，且Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*且n≥2)，求该数列的通项公式．【解】 由S1＝1得a1＝1，又由S2＝2可知a2＝1.∵Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*且n≥2)，∴Sn＋1－Sn－2Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*且n≥2)，即(Sn＋1－Sn)－2(Sn－Sn－1)＝0(n∈N*且n≥2)．∴an＋1＝2an(n∈N*且n≥2)．故数列{an}从第2项起是以2为公比的等比数列．∴数列{an}的通项公式为an＝.10．(2012·邯郸模拟)已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的增减性．【解】 (1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．∴bn＝.-3-\n(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝＋＋…＋，∴cn＋1－cn＝＋－＜0，∴{cn}是递减数列．11．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式；(2)求n为何值时an最小．【解】 (1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6得，(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6，∴bn＋1－bn＝2n－6.当n≥2时，bn－bn－1＝2(n－1)－6，bn－1－bn－2＝2(n－2)－6，……b3－b2＝2×2－6，b2－b1＝2×1－6，累加得bn－b1＝2(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1)＝n(n－1)－6n＋6＝n2－7n＋6.∴bn＝n2－7n－8(n≥2)，n＝1时，b1＝a2－a1＝－14也适合此式．故bn＝n2－7n－8.(2)由bn＝(n－8)(n＋1)，得an＋1－an＝(n－8)(n＋1)，∴当n＜8时，an＋1＜an，当n＝8时，a9＝a8，当n＞8时，an＋1＞an.故当n＝8或n＝9时an的值最小．-3-
