课时知能训练一、选择题 1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为( )A.B.C.或D.或【解析】 由余弦定理，cosB＝，由a2＋c2－b2＝ac，∴cosB＝，又0＜B＜π，∴B＝.【答案】 A2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )A．75°B．60°C．45°D．30°【解析】 S△ABC＝×3×4sinC＝3，∴sinC＝.∵△ABC是锐角三角形，∴C＝60°.【答案】 B3．若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC( )A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．△ABC的形状不确定【解析】 由sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，得a∶b∶c＝5∶11∶13，不妨令a＝5，b＝11，c＝13.∵c2＝169，a2＋b2＝52＋112＝146，∴c2＞a2＋b2，根据余弦定理，易知△ABC为钝角三角形．【答案】 C图3－7－24．(2011·天津高考)如图3－7－2所示，△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为( )A.B.C.D.4\n【解析】 设AB＝a，∴AD＝a，BD＝a，BC＝2BD＝a，cosA＝＝＝，∴sinA＝＝.由正弦定理知sinC＝·sinA＝×＝.【答案】 D5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝a，则( )A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b大小不能确定【解析】 ∵∠C＝120°，c＝a，∴由余弦定理，(a)2＝a2＋b2－2abcos120°，因此ab＝a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0，∴a－b＞0，故a＞b.【答案】 A二、填空题6．(2011·北京高考)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sinA＝，则a＝________.【解析】 由正弦定理，＝，得a＝＝.【答案】 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．【解析】 ∵sinB＋cosB＝sin(B＋)＝，∴sin(B＋)＝1，∴B＝.又＝，得sinA＝，又∵a＜b，∴A＜B，∴A＝.【答案】 8．△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，若a＝2，A＝，则△ABC面积的最大值为________．【解析】 由余弦定理知，22＝b2＋c2－bc，即b2＋c2＝bc＋4，∴2bc≤bc＋4，∴bc≤4，∴△ABC的面积S＝bcsin＝bc≤.4\n【答案】 三、解答题9．(2011·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若sin(A＋)＝2cosA，求A的值；(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．【解】 (1)由题设知sinAcos＋cosAsin＝2cosA，从而sinA＝cosA，∴cosA≠0，tanA＝，又0＜A＜π，所以A＝.(2)由cosA＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝b2－c2.故△ABC是直角三角形，且B＝.所以sinC＝cosA＝.10．(2012·济南调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－.(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．【解】 (1)由cos2C＝－，得1－2sin2C＝－，∴sin2C＝，又0＜C＜π，∴sinC＝.(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理＝，得c＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－及0＜C＜π，得cosC＝±.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±b－12＝0，解得b＝或2.所以b＝，c＝4或b＝2，c＝4.11．(2011·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC.4\n(1)求cosA的值；(2)若a＝1，cosB＋cosC＝，求边c的值．【解】 (1)由3acosA＝c·cosB＋b·cosC及正弦定理，得3sinAcosA＝sinC·cosB＋sinB·cosC＝sin(B＋C)，∵B＋C＝π－A，且sinA≠0，∴3cosA·sinA＝sinA，则cosA＝.(2)由cosA＝得sinA＝，则cosB＝－cos(A＋C)＝－cosC＋sinC，代入cosB＋cosC＝，得cosC＋sinC＝，从而得sin(C＋φ)＝1，其中sinφ＝，cosφ＝，0＜φ＜，则C＋φ＝，于是sinC＝.由正弦定理得c＝＝.4
