课时知能训练一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证不等式( )A．1＋＜2B．1＋＋＜2C．1＋＋＜3D．1＋＋＋＜3【解析】 验证当n＝2时的不等式，即1＋＋＜2.【答案】 B2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )A．f(n)中有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋【解析】 项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.f(2)＝＋＋.【答案】 D3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立．现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得( )A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立【解析】 由题意知，若当n＝4时该命题成立，则可推得当n＝5时该命题也成立，与已知矛盾．故当n＝4时，该命题不成立．【答案】 C4．凸n多边形有f(n)条对角线．则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为( )A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2【解析】 f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.【答案】 C5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立-4-\nC．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立【解析】 选项A、B的答案与题设中不等号方向不同，故A、B错；选项C中，应该是k≥3时，均有f(k)≥k2成立；选项D符合题意．【答案】 D二、填空题6．设S(n)＝1＋＋＋＋…＋，则S(n＋1)－S(n)＝________________.【解析】 ∵Sn＋1＝1＋＋…＋＋＋…＋，Sn＝1＋＋＋＋…＋，∴Sn＋1－Sn＝＋＋…＋.【答案】 ＋＋＋…＋7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋1(n∈N*)，通过计算a1，a2，a3，a4，可猜想an＝________.【解析】 ∵a1＝1，∴a2＝a1＋1＝，a3＝a2＋1＝，a4＝a3＋1＝.猜想an＝.【答案】 8．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)．【解析】 f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)．【答案】 5 (n＋1)(n－2)三、解答题9．用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.【证明】 (1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·＝1，∴原等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1.-4-\n那么，当n＝k＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]＝(－1)k，∴n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意n∈N*有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.10．已知正数数列{an}中，前n项和Sn＝(an＋)(n∈N*)，求a1，a2，a3并推测出{an}的通项公式，用数学归纳法证明．【解】 由S1＝a1＝(a1＋)且a1>0，解得a1＝1.由S2＝a1＋a2＝(a2＋)且a2>0，解得a2＝－1.由S3＝a1＋a2＋a3＝(a3＋)且a3>0，解得a3＝－.推测an＝－.证明如下：(1)当n＝1时，等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，ak＝－.这时，Sk＝(ak＋)＝[(－)＋]＝.则由Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝(ak＋1＋)，∴＋ak＋1＝(ak＋1＋)，得a＋2·ak＋1－1＝0.解得ak＋1＝－(ak＋1＞0)．因此，当n＝k＋1时结论也成立，由(1)，(2)可知an＝－对一切正整数n都成立．11．(2012·阳江模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)．证明：对任意的n∈N*，不等式··…·＞成立．【解】 (1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r，-4-\n所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b＞0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝＝b，解得r＝－1.(2)证明 由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为··…·＞.①当n＝1时，左式＝，右式＝，左式＞右式，结论成立．②假设n＝k时，··…·＞，则当n＝k＋1时，··…··＞·＝，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证≥，即证≥，又＝≥成立，故≥成立，所以，当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，n∈N*时，不等式··…·＞成立． -4-
