第24讲 正弦定理与余弦定理 1.△ABC中，BC＝3，A＝30°，B＝60°，则AC等于( )A．3B.C.D．2 2.在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，若＝，则△ABC为( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形 3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于( )A.B．2C.D. 4.在△ABC中，a＝1，B＝45°，△ABC的面积S＝2，则△ABC的外接圆的直径为( )A．5B．5C．4D．4 5.(2022·山东省实验中学)在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则∠A＝________，AB＝________． 6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是________三角形． 7.(2022·辽宁卷)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a.(1)求；(2)若c2＝b2＋a2，求角B.5\n 1.(2022·湖南卷)在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )A.B.C.D. 2.(2022·广州高三六校联考)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝A＋60°，b＝2a，则A＝________． 3.(2022·江西卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC.(1)求cosA的值．(2)若a＝1，cosB＋cosC＝，求边c的值．第24讲巩固练习1．A 2.C 3.D4．B 解析：因为S△ABC＝acsinB＝2，所以×1×c×＝2，所以c＝4，所以由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－2×4×＝25，所以b＝5，5\n由正弦定理得，2R＝＝＝5.5．45° ＋1解析：如图，由正弦定理得＝⇒sinA＝×＝.又AC>BC⇒A<B＝60°，故A＝45°，C＝75°，由余弦定理得， AB＝＝＋1(或由正弦定理求解)．6．钝角解析：因为2c2＝2a2＋2b2＋ab，所以a2＋b2－c2＝－ab，所以cosC＝＝－<0，即90°<C<180°，故为钝角三角形．7．解析：(1)由正弦定理得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA.故sinB＝sinA，所以＝.(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cosB＝.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.可得cos2B＝，又cosB>0，故cosB＝，所以B＝45°.提升能力1．B 解析：设AB＝c，在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，5\n即7＝c2＋4－2×2×c×cos60°，c2－2c－3＝0，即(c－3)(c＋1)＝0.又c>0，所以c＝3.设BC边上的高等于h，由三角形面积公式S△ABC＝AB·BC·sinB＝BC·h，知×3×2×sin60°＝×2×h，解得h＝.2.解析：由B＝A＋60°，b＝2a，＝，得＝，所以sin(A＋60°)＝2sinA.因为sin(A＋60°)＝sinA＋cosA，所以2sinA＝sinA＋cosA，所以sinA＝cosA，即tanA＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.3．解析：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC，有ccosB＋bcosC＝a，代入已知条件得3acosA＝a，即cosA＝.(2)由cosA＝，得sinA＝，则cosB＝－cos(A＋C)＝－cosC＋sinC，代入cosB＋cosC＝，得cosC＋sinC＝，从而得sin(C＋φ)＝1，其中sinφ＝，cosφ＝(0＜φ＜)，则C＋φ＝，于是sinC＝.5\n由正弦定理得c＝＝.5
