第24讲 正弦定理与余弦定理 1.△ABC中,BC=3,A=30°,B=60°,则AC等于( )A.3B.C.D.2 2.在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,若=,则△ABC为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120°,则a等于( )A.B.2C.D. 4.在△ABC中,a=1,B=45°,△ABC的面积S=2,则△ABC的外接圆的直径为( )A.5B.5C.4D.4 5.(2022·山东省实验中学)在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则∠A=________,AB=________. 6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC是________三角形. 7.(2022·辽宁卷)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a.(1)求;(2)若c2=b2+a2,求角B.5\n 1.(2022·湖南卷)在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( )A.B.C.D. 2.(2022·广州高三六校联考)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=A+60°,b=2a,则A=________. 3.(2022·江西卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC.(1)求cosA的值.(2)若a=1,cosB+cosC=,求边c的值.第24讲巩固练习1.A 2.C 3.D4.B 解析:因为S△ABC=acsinB=2,所以×1×c×=2,所以c=4,所以由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB=1+32-2×4×=25,所以b=5,5\n由正弦定理得,2R===5.5.45° +1解析:如图,由正弦定理得=⇒sinA=×=.又AC>BC⇒A<B=60°,故A=45°,C=75°,由余弦定理得, AB==+1(或由正弦定理求解).6.钝角解析:因为2c2=2a2+2b2+ab,所以a2+b2-c2=-ab,所以cosC==-<0,即90°<C<180°,故为钝角三角形.7.解析:(1)由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=sinA.故sinB=sinA,所以=.(2)由余弦定理和c2=b2+a2,得cosB=.由(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2.可得cos2B=,又cosB>0,故cosB=,所以B=45°.提升能力1.B 解析:设AB=c,在△ABC中,由余弦定理知AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB,5\n即7=c2+4-2×2×c×cos60°,c2-2c-3=0,即(c-3)(c+1)=0.又c>0,所以c=3.设BC边上的高等于h,由三角形面积公式S△ABC=AB·BC·sinB=BC·h,知×3×2×sin60°=×2×h,解得h=.2.解析:由B=A+60°,b=2a,=,得=,所以sin(A+60°)=2sinA.因为sin(A+60°)=sinA+cosA,所以2sinA=sinA+cosA,所以sinA=cosA,即tanA=.因为A∈(0,π),所以A=.3.解析:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC,有ccosB+bcosC=a,代入已知条件得3acosA=a,即cosA=.(2)由cosA=,得sinA=,则cosB=-cos(A+C)=-cosC+sinC,代入cosB+cosC=,得cosC+sinC=,从而得sin(C+φ)=1,其中sinφ=,cosφ=(0<φ<),则C+φ=,于是sinC=.5\n由正弦定理得c==.5