课时提升作业(二十一)正弦定理和余弦定理一、选择题(每小题5分,共25分)1.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的长为( )A. B. C.1 D.【解析】选A.因为B=45°,C=60°,所以A=180°-(B+C)=75°,B<C<A.故最短的边为b,由正弦定理,得,所以b=2.在△ABC中,A=,BC=3,AB=,则C=( )【解题提示】把用大写字母表示的边长改为小写字母,再用正弦定理求解.【解析】选C.BC=a=3,AB=c=,由正弦定理,得sinC=又a=3,c=,所以a>c,即A>C,故C为锐角,所以C=.【误区警示】本题容易由sinC=得sinC=,没有利用a>c判断A>C,就得出C=或.从而导致增解.3.(2022·温州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=( )A.30°B.60°C.120°D.150°-10-\n【解析】选A.因为sinC=2sinB,所以由正弦定理得c=2b,因为a2-b2=bc,所以a2=b2+b·2b=7b2,即a=b,cosA=因为0°<A<180°,所以A=30°.【加固训练】(2022·唐山模拟)若△ABC的内角A,B,C满足6sinA=4sinB=3sinC,则cosB=( )【解析】选D.由6sinA=4sinB=3sinC,得sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4.设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由正弦定理知a∶b∶c=2∶3∶4,令a=2k,b=3k,c=4k(k>0),则cosB=4.(2022·海淀模拟)在△ABC中,a=3,b=4,sinA=,则sinC=( )A.1B.1或C.1或-D.1或【解题提示】先由正弦定理求sinB,再由内角和定理转化求sinC.【解析】选B.因为,所以sinB=,因为b>a,所以B>A,故A为锐角,B为锐角或钝角,所以cosA=当B为锐角时,cosB=此时sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB-10-\n==1.当B为钝角时,cosB=此时,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=故选B.【误区警示】解答本题易误选A.出错的原因是求出sinB的值后,没有根据a<b讨论B为钝角的情况.5.(2022·临沂模拟)在△ABC中,若sinB·sinC=cos2,且sin2B+sin2C=sin2A,则△ABC是( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【解题提示】把每个等式化简变形,逐一进行判断.【解析】选D.因为sinBsinC=cos2=,所以2sinBsinC=1+cos[π-(B+C)]=1-cos(B+C)=1-cosBcosC+sinBsinC,即cosBcosC+sinBsinC=1,所以cos(B-C)=1.因为B,C是△ABC的内角,所以B-C=0,即B=C,又因为sin2B+sin2C=sin2A,即b2+c2=a2.所以A=90°,故△ABC为等腰直角三角形.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,B=,c=2,则b= .【解析】由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=4+12-2×2×2cos=16-12=4,所以b=2.答案:2-10-\n【加固训练】若A=60°,a=7,b=5,则c= .【解题提示】直接用余弦定理列出关于c的方程求解.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以49=25+c2-2×5×c×cos60°,即c2-5c-24=0,解得c=8(c=-3舍去).答案:87.(2022·中山模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosA=bsinB,则sin2A+cos2B= .【解题提示】化边为角,把二倍角化为单角,利用整体代入的方法求值.【解析】由正弦定理,得sinAcosA=sin2B,sin2A+cos2B=2sinAcosA+2cos2B-1=2sin2B+2cos2B-1=2(sin2B+cos2B)-1=1.答案:18.已知锐角三角形的三边长分别为2,3,x,则x的取值范围是 .【解题提示】由较大的边对的角都是锐角,根据余弦定理列不等式组求解.【解析】因为2<3,所以只需即5<x2<13,又因为x>0,所以<x<.答案:(,)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2022·安徽高考)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值.(2)求sin(A+)的值.【解题提示】根据三角函数的和角、倍角公式及正、余弦定理解答.【解析】(1)因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB,由正、余弦定理得a=2b·,因为b=3,c=1,所以a2=12即a=2.-10-\n(2)由余弦定理得cosA=因为0<A<π,所以sinA=故sin(A+)=sinAcos+cosAsin=10.(2022·大连模拟)在△ABC中,a2+c2-b2=ac,(1)求角B的大小.(2)求sinAsinC的最大值.【解题提示】(1)由余弦定理求B的大小.(2)利用内角和定理消元,转化成关于C或A的三角函数,然后求函数的最大值.【解析】(1)在△ABC中,由已知和余弦定理,cosB=因为B∈(0,π),所以B=.(2)在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sin(A+)=sinA+cosA,所以sinAsinC=sinA(sinA+cosA)=(sin2A+sinAcosA)==sin(2A-)+,因为0<2A<,所以-<2A-<,故当A=时,sinAsinC有最大值.【加固训练】(2022·天津模拟)已知锐角△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,tanA=-10-\n(1)求A的大小.(2)求cosB+cosC的取值范围.【解析】(1)由余弦定理知b2+c2-a2=2bccosA,所以tanA=因为A∈(0,),所以A=.(2)因为△ABC为锐角三角形且B+C=,所以<B=-C<,cosB+cosC=cosB+cos(-B)=cosB+coscosB+sinsinB=cosB+sinB=sin(B+).因为<B+<,所以<sin(B+)≤1,即cosB+cosC的取值范围是(,1].(20分钟 40分)1.(5分)(2022·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( )A.10 B.9 C.8 D.5【解析】选D.因为23cos2A+cos2A=0,所以23cos2A+2cos2A-1=0,解得cos2A=,-10-\n因为△ABC为锐角三角形,所以cosA=,sinA=.由正弦定理得,sinC=,cosC=.又B=π-(A+C),所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=由正弦定理得,,解得b=5.【一题多解】本题还可如下解答选D.因为23cos2A+cos2A=0,所以23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,因为△ABC为锐角三角形,所以cosA=,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即49=b2+36-b,5b2-12b-65=0,解得b=5或b=-(舍去),故b=5.2.(5分)(2022·合肥模拟)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且cos2B+cosB+cos(A-C)=1,则( )A.a,b,c成等差数列B.a,b,c成等比数列C.a,c,b成等差数列D.a,c,b成等比数列【解析】选B.由cos2B+cosB+cos(A-C)=1变形得:cosB+cos(A-C)=1-cos2B,因为cosB=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C),cos2B=1-2sin2B,所以上式化简得:cos(A-C)-cos(A+C)=2sin2B,-10-\n所以2sinAsinC=2sin2B,即sinAsinC=sin2B,由正弦定理得:ac=b2,则a,b,c成等比数列.故选B.3.(5分)在△ABC中,若b=50,c=150,B=30°,则a= .【解题提示】先由正弦定理求角C,再求角A,最后求a.【解析】由=得sinC===.又b<c,所以C=60°或120°.当C=60°时,A=180°-(B+C)=90°.所以a===100,当C=120°时,A=B=30°,所以a=b=50.答案:50或100【易错警示】解答本题易只得一解a=100,出错的原因是由sinC=求角C时忽略其为钝角的情况.【提醒】本题也可用余弦定理解答,但是数据较大,解一元二次方程麻烦.4.(12分)(能力挑战题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b·cosA=c·cosA+a·cosC.(1)求角A的大小.(2)若a=,b+c=4,求bc的值.【解析】(1)由正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R为△ABC外接圆的半径),则已知等式可化为2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC,即2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,又sinB≠0,所以cosA=,A=60°.(2)(b+c)2=16,即b2+c2+2bc=16(*),又由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,可得b2+c2-bc=7,代入(*)式得bc=3.【方法技巧】判断三角形的形状的思路与依据(1)思路:必须从研究三角形的边与边的关系,或角的关系入手,充分利用正弦定理与余弦定理进行转化,即化边为角或化角为边,使边角统一.-10-\n(2)判断依据:①等腰三角形:a=b或A=B.②直角三角形:b2+c2=a2或A=90°.③钝角三角形:a2>b2+c2,A>90°.④锐角三角形:若a为最大边,且满足a2<b2+c2或A为最大角,且A<90°.5.(13分)(2022·湖南高考)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=.(1)求sin∠CED的值.(2)求BE的长.【解题提示】利用正余弦定理和三角变换公式求解.【解析】设∠CED=α,(1)在△CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC,于是由题设知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去).在△CDE中,由正弦定理,得=,于是,sinα===,即sin∠CED=.(2)由题设知,0<α<,于是由(1)知,cosα===,而∠AEB=-α,所以cos∠AEB=cos=coscosα+sinsinα=-cosα+sinα=-·+·=.-10-\n在Rt△EAB中,cos∠AEB==,所以BE===4.-10-
