2.3函数的奇偶性与周期性\n-2-知识梳理双基自测23411.函数的奇偶性f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)原点\n-3-知识梳理双基自测23412.奇(偶)函数的性质(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇函数±奇函数=奇函数,偶函数±偶函数=偶函数,奇函数×奇函数=偶函数,偶函数×偶函数=偶函数,奇函数×偶函数=奇函数.(4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.\n-4-知识梳理双基自测23413.函数的周期性(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:①T≠0;②对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫做它的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x)最小的正数最小正数\n-5-知识梳理双基自测23414.函数周期性的常用结论对函数f(x)的定义域内任一自变量的值x,(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a.(4)若f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则T=2a.(5)若f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则T=4a.(6)若函数的图象关于两条直线x=a,x=b对称,则T=2|a-b|.(7)若函数的图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则T=2|a-b|.(8)若函数的图象关于直线x=a和点M(b,0)对称,则T=4|a-b|.\n2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=x2是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.()(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()(4)若函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.()(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在区间(-∞,0)内是减函数,则f(x)在区间(0,+∞)内是增函数.()(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期.()××√√√×\n-7-知识梳理双基自测234152.已知f(x)=ax2+bx是定义在区间[a-1,2a]上的偶函数,则a+b的值是()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-8-知识梳理双基自测234153.下列函数为奇函数的是()答案解析解析关闭令y=f(x),选项A,定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以为非奇非偶函数;选项B,f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x),为偶函数;选项C,f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x),为偶函数;选项D,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),为奇函数.答案解析关闭D\n-9-知识梳理双基自测234154.已知f(x)满足对任意x∈R,f(-x)+f(x)=0,且当x≥0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln5)的值为()A.4B.-4C.6D.-6答案解析解析关闭由题意知函数f(x)是奇函数.因为f(0)=e0+m=1+m=0,解得m=-1,所以f(-ln5)=-f(ln5)=-eln5+1=-5+1=-4,故选B.答案解析关闭B\n-10-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P39T6)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则当x<0时,f(x)=.答案解析解析关闭当x<0时,-x>0,故f(-x)=(-x)(1-x).又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x),∴f(x)=x(1-x).答案解析关闭x(1-x)\n-11-考点1考点2考点3考点4例1判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x3-x;思考判断函数的奇偶性要注意什么?\n-12-考点1考点2考点3考点4解(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数.因为函数定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数.(3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);当x<0时,-x>0,此时f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x).即函数f(x)为奇函数.\n-13-考点1考点2考点3考点4解题心得判断函数奇偶性的方法:(1)定义法.利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式:=±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性.(2)图象法.利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性.(3)性质法.设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上,有下面结论:\n-14-考点1考点2考点3考点4对点训练1设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案解析解析关闭由题意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于A选项,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),f(x)g(x)为奇函数,故A错误;对于B选项,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)为偶函数,故B错误;对于C选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x)·|g(x)|,f(x)|g(x)|为奇函数,故C正确;对于D选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x)·g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.答案解析关闭C\n-15-考点1考点2考点3考点4例2(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点所构成的集合为()A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}(4)已知函数g(x)是定义在区间[-2,2]上的偶函数,当x≥0时,g(x)单调递减,若g(1-m)<g(m),求m的取值范围.思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?D12\n-16-考点1考点2考点3考点4经检验,a=1时,f(x)为偶函数\n-17-考点1考点2考点3考点4\n-18-考点1考点2考点3考点4解题心得函数奇偶性应用的类型及解法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.\n-19-考点1考点2考点3考点4(3)(2020山东,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是()A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]对点训练2(1)已知函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为()A.3B.0C.-1D.-2(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单BDD\n-20-考点1考点2考点3考点4(4)设a,b∈R,且a≠2,若定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg是奇函数,则a+b的取值范围为.\n-21-考点1考点2考点3考点4解析：(1)设F(x)=f(x)-1=x3+sinx,显然F(x)为奇函数,又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-1,从而f(-a)=0.故选B.\n-22-考点1考点2考点3考点4∵f(2)=0,∴f(-2)=0.∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.∵f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,∴f(x)在区间(0,+∞)上也单调递减.解得1≤x≤3或-1≤x≤0,∴满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选D.\n-23-考点1考点2考点3考点4(4)∵f(x)在(-b,b)上是奇函数,\n-24-考点1考点2考点3考点4例3(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)等于()A.336B.337C.1678D.2012(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=.思考函数的周期性主要的应用是什么?2.5B\n-25-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵f(x+6)=f(x),∴函数f(x)的周期T=6.∵当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1.又f(2017)=f(1)=1,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)=337.\n-26-考点1考点2考点3考点4∴函数f(x)的周期为4.∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).∵2≤2.5≤3,∴f(2.5)=2.5.∴f(105.5)=2.5.解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题进行求解.\n-27-考点1考点2考点3考点4对点训练3(1)已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+2)=-f(x),当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(2018)=.(2)已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2017)=.22\n-28-考点1考点2考点3考点4解析:(1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(2018)=f(4×504+2)=f(2).又2≤2≤3,所以f(2)=2,即f(2018)=2.(2)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.又对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),所以当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)=0,所以f(-3)=0,f(3)=0,所以f(x+6)=f(x),周期为6.故f(2017)=f(1)=2.\n-29-考点1考点2考点3考点4例4(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在区间[-1,0]上是减函数,则f(x)在区间[1,3]上是()A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数(2)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些?DC\n-30-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由f(x)在[-1,0]上是减函数,又f(x)是R上的偶函数,故f(x)在[0,1]上是增函数.由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x),故2是函数f(x)的一个周期.结合以上性质,画出f(x)的部分草图,如图所示.由图象可以观察出,f(x)在区间[1,2]上为减函数,在区间[2,3]上为增函数.故选D.\n-31-考点1考点2考点3考点4(2)∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期为4.∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.\n-32-考点1考点2考点3考点4解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略:(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.\n-33-考点1考点2考点3考点4对点训练4(1)已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2018)的值为()A.2B.0C.-2D.±2AD\n-34-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵g(-x)=f(-x-1),∴-g(x)=f(x+1).又g(x)=f(x-1),∴f(x+1)=-f(x-1).∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数,∴f(2018)=f(2)=2.\n-35-考点1考点2考点3考点4令f(x)=0,则x2-x+1=1,解得x=1.又函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(1.5)=f(-1.5+3)=f(-1.5)=-f(1.5),∴f(-1)=f(1)=f(0)=f(1.5)=f(-1.5)=0,又函数f(x)是周期为3的周期函数,∴函数f(x)在区间[0,6]上的零点为0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6,共9个,故选D.
