第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ\n第三讲 函数的奇偶性与周期性\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有_______________，那么函数f(x)是偶函数都有_________________，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于______对称关于_______对称f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y轴原点\n知识点二 函数的周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有________________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____________，那么这个___________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正数最小正数\n\n\n\n\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．()××√\n√×√\n②③⑤①0\n4．(必修1P85T1改编)若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图象上的是()A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a))[解析]∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．即点(－a，－f(a))一定在函数y＝f(x)的图象上．B\n5．(必修1P87T12改编)若奇函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则它在[－b，－a]上是_____函数；若偶函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则它在[－b，－a]上是_____函数．6．(必修1P86T11改编)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log4(x2＋3)，则f(2023)＝____.减减1\nB\n\n\n－4\n考点突破·互动探究\n例1考点一函数的奇偶性\n[分析]先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f(－x)，再判断f(－x)与f(x)之间的关系．抽象函数常用赋值法判断．\n\n(3)函数的定义域x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．\n\n(6)已知对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，不妨取x＝0，y＝0，则有2f(0)＝2[f(0)]2，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1.取x＝0，得f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(y)＝f(－y)．又y∈R，所以函数f(x)是偶函数．\n判断函数的奇偶性的方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)，据此得出结论．(2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称．\n(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)\n例2\n例3B\nA\n\n1．求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式；2．求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．\n〔变式训练1〕(1)(角度1)将例2中“函数f(x)在R上为奇函数”改为“函数f(x)为偶函数且定义域为{x∈R|x≠0}”，则f(x)的解析式为__________________.(2)(角度2)(2019·北京，13，5分)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝______.－1\n[解析](1)∵f(x)＝ex＋ae－x为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，即e－x＋aex＋ex＋ae－x＝0，∴(a＋1)(ex＋e－x)＝0，∴a＝－1.\n设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)求f(2)的值；(3)当x∈(2，4]时，求f(x)的解析式；(4)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)．例4考点二函数的周期性——自主练透\n[解析](1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0.(3)当x∈(－2，0]时，－x∈[0，2)，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.\n又当x∈(2，4]时，x－4∈(－2，0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.即当x∈(2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.\n(4)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2020)＋f(2021)＋f(2012)＋f(2023)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)＝0.[答案](1)证明见解析(2)0(3)f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4](4)0\n高考中对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围内进行求解．\n\n角度1奇偶性与单调性结合若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足f(x)≥0的取值范围是()A．(－∞，－2]B．[0，2]C．(－∞，－2]∪[0，2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)例5考点三函数性质的综合应用——多维探究C\n[解析]由已知得图象，故选C．\n[引申1]若将“奇函数”改为偶函数，则结果为____.[解析]如图．D\n[引申2]若将例5中不等式改为xf(x－1)≥0呢？结果为_______________________.[－1，0]∪[1，3]\n角度2奇偶性与周期性结合已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(2－x)＝－f(x)，则f(x)的周期为()A．－2B．1C．2D．3例6C\n[解析]∵f(2－x)＝－f(x)，∴f(x)的图象关于点(1，0)对称，∴f(－x)＝－f(x＋2)，又∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)．∴T＝2.\n角度3单调性、奇偶性和周期性结合已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)且在区间[0，2]上是增函数，则()A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)例7D\n[解析]因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．\n函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略1．函数单调性与奇偶性结合．注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．2．周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．3．周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．\nB\n(2)(角度2)(2018·课标全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50C\nD\n\n(2)∵f(x)是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(1－x)＝f(1＋x)＝－f(x－1)，f(0)＝0，则f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，∵f(1)＝2，∴f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2，故选C．\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例8①③\n[解析]解法1：①对于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，令x＝－3，则f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)，又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(3)＝0.所以f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期为6，又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x＋6)＝f(－x)，而f(x)的周期为6，所以f(x＋6)＝f(－6＋x)，f(－x)＝f(－x－6)，所以f(－6－x)＝f(－6＋x)，所以直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，故①正确．\n\n解法2：图象法\n函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．\n〔变式训练3〕已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0，3]时，f(x)＝2x＋1，则下列结论正确的是_________.(填序号)①f(x)为偶函数；②f(x)在[－6，－3]上单调递减；③f(x)关于直线x＝3对称；④f(100)＝5.①③④\n[解析]f(x)的图象关于直线x＝－3对称，则f(－x)＝f(x－6)，又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当x∈[0，3]时，f(x)＝2x＋1单调递增，∵T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故②不正确；f(x)关于直线x＝－3对称且T＝6，∴f(x)关于直线x＝3对称，故③正确；f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝5，故④正确．
