活页作业 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝( )A．－ B．－ C. D.解析：∵函数f(x)是周期为2的奇函数，∴f＝－f＝－f，又当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，因此f＝－f＝－2××＝－.答案：A2．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象大致为( )解析：函数f(x)＝ln(x＋1)的图象由f(x)＝lnx的图象向左平移1个单位得到，选取x>0的部分，然后作关于y轴的对称图形即得．答案：C3．对于函数f(x)＝asinx＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2解析：∵f(1)＝asin1＋b＋c，f(－1)＝－asin1－b＋c且c∈Z，∴f(1)＋f(－1)＝2c是偶数，只有D项中两数和为奇数，故不可能是D.答案：D5\n4．(2022·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝( )A．335 B．338 C．1678 D．2012解析：由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338，故选B.答案：B5．(理)(2022·滨州模拟)设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x)＝f的所有x之和为( )5．(文)(2022·金华模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)在区间[0,6]上的图象与x轴的交点个数为( )A．6 B．7 C．8 D．9解析：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点即为y＝f(x)的零点，先在区间[0,2)上讨论，令f(x)＝0，即x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1(x＝－1舍去)．又函数f(x)在R上以2为周期，则当x＝2，x＝4，x＝6或x＝3，x＝5时也有f(x)＝0，即在区间[0,6]上f(x)的图象与x轴的交点个数为7.答案：B6．设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}解析：当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)3－8＝－x3－8，5\n又f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－x3－8，∴f(x)＝∴f(x－2)＝，∴或，解得x>4或x<0.故选B.答案：B二、填空题8．(文)(2022·惠州模拟)奇函数f(x)在区间[2,9]上是增函数，在区间[3,8]上的最大值为9，最小值为2，则f(－8)－2f(－3)＝________.解析：因为f(x)在[2,9]上是增函数，所以f(x)在区间[3,8]上为增函数，由题知f(8)＝9，f(3)＝2，又f(x)为奇函数，所以f(－8)－2f(－3)＝－f(8)＋2f(3)＝－9＋4＝－5.答案：－59．已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：①f(2)＝0；5\n②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．10．(文)(2022·龙岩模拟)已知f(x)＝＋(a>0)是定义在R上的函数．那么是否存在实数a，使得f(x)为偶函数？如果存在，求出a的值，并讨论f(x)的单调性；如果不存在，说明理由．5\n5
