【高考领航】2022高考数学总复习2-3函数的奇偶性与周期性练习苏教版【A组】一、填空题1．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.解析：由f(x)是R上周期为5的奇函数知：f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)＝－1.答案：－12．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2011)＝________.解析：令x＝1，y＝0,4f(1)f(0)＝f(1＋0)＋f(1－0)＝2f(1)，∴f(0)＝.依题意将x变为x＋1，y变为1代入原式，则4f(x＋1)f(1)＝f(x＋2)＋f(x＋1－1)＝f(x＋2)＋f(x)，整理，得f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)，①同理可得f(x＋2)＝f(x＋3)＋f(x＋1)，②①＋②，得f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是以6为周期的函数，故f(2011)＝f(6×335＋1)＝f(1)＝.答案：3．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.解析：依题意得f＝－f＝－f＝7\n－f＝－2××＝－.答案：－4．(2022·高考安徽卷)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.解析：法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x＞0，则－x＜0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.答案：－35．(2022·高考湖南卷)已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.解析：∵g(－2)＝f(－2)＋9∴f(－2)＝3－9＝－6∴f(2)＝－f(－2)＝6.答案：66．(2022·高考广东卷)设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.解析：令g(x)＝f(x)－1＝x3cosx，∵g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cosx＝－g(x)，∴g(x)为定义R上的奇函数．又∵f(a)＝11，∴g(a)＝f(a)－1＝10，g(－a)＝－g(a)＝－10，又g(－a)＝f(－a)－1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－9.答案：－97．(2022·高考浙江卷)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.解析：由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.答案：0二、解答题8．设f(x)＝是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)＜3.求a、b、c的值．7\n解：∵f(x)＝是奇函数，∴f(－x)＝＝－f(x)＝－.∴b(－x)＋c＝－(bx＋c)≠0.∴c＝0.由f(1)＝2，f(2)＜3，得消去b，得＜3，解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴a＝0或a＝1.若a＝0时，b＝∉Z，若a＝1时，b＝1.∴a＝1，b＝1，c＝0.9．函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f＜0的解集．解：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝0.又∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，若f＜0＝f(1)，∴即0＜x＜1，解得＜x＜或＜x＜0.若f＜0＝f(－1)，∴由x＜－1，解得x∈∅.∴原不等式的解集是.【B组】一、填空题7\n1．(2022·高考重庆卷)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，f(x)＝x2－4x＋ax－4a，f(－x)＝x2＋4x－ax－4a，∴－4＋a＝4－a，∴a＝4.答案：42．(2022·高考上海卷)已知y＝f(x)是奇函数．若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.解析：由g(x)＝f(x)＋2，得f(x)＝g(x)－2，∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－[g(1)－2]＝1，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝3.答案：33．(2022·江苏泰州三模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)＝－f(2)．又当x＝2时，f(2)＝22－3＝1，∴f(－2)＝－1.答案：－14．(2022·江西盟校二联)设f(x)是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f(1－x)＋f(1＋x)＝0恒成立．如果实数m、n满足不等式组那么m2＋n2的取值范围是________．解析：考查函数单调性及对称性，举特殊函数是解决此类问题的一个重要方法．如：f(x)＝x－1，f(x＋1)＋f(1－x)＝0，所以f(x)的对称中心为(1,0)，∴不等式组由图可知OA最小，OA＝，OB最大，OB＝7，∴m2＋n2∈(13,49)．答案：(13,49)5．(2022·广东珠海5月模拟)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝________.7\n解析：由f(x)·f(x＋2)＝13得f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝f(x)．∴f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(99)＝f(25×4－1)＝f(－1)＝＝.答案：6．(2022·盐城期末)设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝，则a的取值范围是________．答案：7．(2022·江南十校联考)已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：①函数f(x)是周期函数；②函数f(x)的图象关于点对称；③函数f(x)为R上的偶函数；④函数f(x)为R上的单调函数．其中真命题的序号为________．答案：①②③二、解答题8．(2022·江苏南通三模)定义在R上的增函数y＝f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求f(0)；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.(2)证明：令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，7\n所以f(x)是奇函数．(3)因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数．所以f(k·3x)<－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)，所以k·3x<－3x＋9x＋2，即32x－(1＋k)·3x＋2>0对任意x∈R成立．令t＝3x>0，问题等价于t2－(1＋k)t＋2>0对任意t>0恒成立．令f(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其对称轴为t＝，当<0，即k<－1时，f(0)＝2>0，符合题意；当≥0，即k≥－1时，f(t)>0对任意t>0恒成立⇔解得－1≤k<－1＋2.综上所述，当k<－1＋2时，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立．9．(2022·淮安模拟)(1)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解析式；(2)设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数，求实数a的值；(3)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．解：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，当x<0时，－x>0，由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)．∴f(x)＝－x2－x＋1.∴f(x)＝(2)∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)在R上恒成立．即＋＝＋，(a2－1)(e2x－1)＝0，对任意的x恒成立，∴解得a＝1.(3)∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴有解得－1≤m≤.①7\n又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m>m2－1，即－2<m<1.②综合①②，可知－1≤m<1.7
