12-3不等式选讲基础巩固强化1.(2012·安徽“江南十校”联考)已知集合M＝{x||2x－1|<2}，N＝{x|<1}，则M∩N等于( )A．{x|1<x<} B．{x|<x<1}C．{x|－<x<}D．{x|－<x<，且x≠1}[答案] A[解析] 由|2x－1|<2得－2<2x－1<2，则－<x<；由<1得<0，即<0，则x>1.因此M∩N＝{x|1<x<}，选A.2．(2012·潍坊模拟)不等式|x－2|－|x－1|>0的解集为( )A．(－∞，)B．(－∞，－)C．(，＋∞)D．(－，＋∞)[答案] A[解析] 原不等式等价于|x－2|>|x－1|，则(x－2)2>(x－1)2，解得x<.3．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}．若A⊆B，则实数a、b必满足( )A．|a＋b|≤3B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3D．|a－b|≥3[答案] D[解析] 由题意可得集合A＝{x|a－1<x<a＋1}，集合B＝{x|x<b－2或x>b＋2}，又因为A⊆B，所以有a＋1≤b－2或b＋2≤a－1，即a－b≤－3或a－b≥3.因此选D.4．函数y＝(x≥0)的最小值为( )A．6B．7C.D．9[答案] B[解析] 原式变形为y＝10\n＝x＋2＋＋1，因为x≥0，所以x＋2>0，所以x＋2＋≥6，所以y≥7，当且仅当x＝1时取等号，所以ymin＝7(当且仅当x＝1时)5．(2012·济南二模)对于实数x、y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为( )A．5 B．4 C．8 D．7[答案] A[解析] 由题易得，|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋|2(y－2)|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.6．(2011·皖南八校联考)不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )A．[－1,4]B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[－2,5]D．(－∞，－1]∪[4，＋∞)[答案] A[解析] 由绝对值的几何意义易知：|x＋3|＋|x－1|的最小值为4，所以不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.7．(2012·江西)在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．[答案] {x|－≤x≤}[解析] 原不等式可化为或或解得－≤x≤，即原不等式的解集为{x|≤x≤}．8．(2012·陕西)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．[答案] －2≤a≤4[解析] |x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.9．若a>0，b>0，则p＝(ab)，q＝ab·ba的大小关系是________．[答案] p≥q10\n[解析] ∵a>0，b>0，∴p＝(ab)>0，q＝ab·ba>0，＝＝a·b＝.若a>b，则>1，>0，∴>1；若a<b，则0<<1，<0，∴>1；若a＝b，则＝1，＝0，∴＝1.∴≥1，即≥1.∵q>0，∴p≥q.[点评] 可运用特值法，令a＝1，b＝1，则p＝1，q＝1，有p＝q；令a＝2，b＝4，有p＝83＝512，q＝24×42＝256，∴p>q，故填p≥q.10．(文)(2011·开封市模拟)已知函数f(x)＝|x－7|－|x－3|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)当x<5时，不等式|x－8|－|x－a|>2恒成立，求a的取值范围．[解析] (1)∵f(x)＝图象如图所示：(2)∵x<5，∴|x－8|－|x－a|>2，即8－x－|x－a|>2，即|x－a|<6－x，对x<5恒成立．即x－6<x－a<6－x对x<5恒成立，∴对x<5恒成立．又∵x<5时，2x－6<4，∴4≤a<6.10\n∴a的取值范围为[4,6)．(理)(2012·山西大同调研)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)若对任意x∈R，f(x)≥a2－3a恒成立，求实数a的取值范围．[解析] (1)①当x≤－1时，f(x)＝－x－1－x＋3＝－2x＋2；②当－1<x<3时，f(x)＝x＋1＋3－x＝4；③当x≥3时，f(x)＝x＋1＋x－3＝2x－2.∴f(x)＝∴y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知f(x)的最小值为4，由题意可知a2－3a≤4，即a2－3a－4≤0，解得－1≤a≤4.故实数a的取值范围为[－1,4].能力拓展提升11.(2011·豫南九校联考)若a、b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝＋(x∈(0，))的最小值为________．[答案] 25[解析] 依据给出的结论可知f(x)＝＋≥＝25等号在＝，即x＝时成立．10\n12．不等式|x＋log3x|<|x|＋|log3x|的解集为________．[答案] {x|0<x<1}[解析] 由对数函数定义得x>0，又由绝对值不等式的性质知，|x＋log3x|≤|x|＋|log3x|，当且仅当x与log3x同号时等号成立，∵x>0，∴log3x>0，∴x>1，故原不等式的解集为{x|0<x<1}．13．(2012·乌鲁木齐地区二诊)已知函数f(x)＝|x＋1|.(1)求不等式f(x)≤2的解集；(2)若f(x)＋f(－x)≥a，求a的最大值．[解析] (1)不等式可化为：|x＋1|≤2，解得：－3≤x≤1.故不等式f(x)≤2的解集为{x|－3≤x≤1}；(2)f(x)＋f(－x)＝当x≥1时，f(x)＋f(－x)＝2x≥2，当－1<x<1时，f(x)＋f(－x)＝2，当x≤－1时，f(x)＋f(－x)＝－2x≥2，故f(x)＋f(－x)≥2(“＝”在－1≤x≤1时成立)．∴a≤2，即a的最大值为2.14．(文)设a、b、c、d都是正数，且x＝，y＝.求证：xy≥.[证明] ∵(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝(ad－bc)2≥0，∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，又a、b、c、d均为正数，∴·≥ac＋bd>0①同理·≥ad＋bc>0②①×②得：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)(ad＋bc)>0，∴≥，即xy≥.(理)(2012·包头市一模)设不等式|2x－1|<1的解集是M，a、b∈M.(1)试比较ab＋1与a＋b的大小；(2)设max表示数集A中的最大数．h＝max{，，}，求证：h≥2.[解析] 由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得0<x<1.所以M＝{x|0<x<1}．(1)由a、b∈M，得0<a<1,0<b<1，10\n所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.故ab＋1>a＋b.(2)由h＝max{，，}，得h≥，h≥，h≥，所以h3≥··＝≥8，故h≥2.15．若a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.[证明] 左边－右边＝＋－(＋)＝＋＝(a－b)·＝≥0，∴左边≥右边．即原不等式成立．16．(2011·福建质检)已知a、b为正实数．(1)求证：＋≥a＋b；(2)利用(1)的结论求函数y＝＋(0<x<1)的最小值．[解析] (1)证法一：∵a>0，b>0，∴(a＋b)(＋)＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.∴＋≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立．证法二：∵＋－(a＋b)＝＝＝＝.又∵a>0，b>0，∴≥0，10\n当且仅当a＝b时等号成立．∴＋≥a＋b.(2)解：∵0<x<1，∴1－x>0，由(1)的结论，函数y＝＋≥(1－x)＋x＝1.当且仅当1－x＝x即x＝时等号成立．∴函数y＝＋(0<x<1)的最小值为1.1．若不等式|ax＋2|<4的解集为(－1,3)，则实数a等于( )A．8 B．2 C．－4 D．－2[答案] D[解析] 由－4<ax＋2<4，得－6<ax<2.∴(ax－2)(ax＋6)<0，其解集为(－1,3)，∴a＝－2.[点评] 可用方程的根与不等式解集的关系求解．2．(2011·山东理，4)不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是( )A．[－5,7] B．[－4,6]C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)[答案] D[解析] 当x≤－3时，|x－5|＋|x＋3|＝5－x－x－3＝2－2x≥10，即x≤－4，∴x≤－4.当－3<x<5时，|x－5|＋|x＋3|＝5－x＋x＋3＝8≥10，不成立，∴无解．当x≥5时，|x－5|＋|x＋3|＝x－5＋x＋3＝2x－2≥10，即x≥6，∴x≥6.综上可知，不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)，故选D.[点评] 可用特值检验法，首先x＝0不是不等式的解，排除A、B；x＝6是不等式的解，排除C，故选D.3．设a、b、c为正数，且a＋2b＋3c＝13，则＋＋的最大值为( )A.B.C.D.[答案] C10\n[解析] (a＋2b＋3c)[()2＋12＋()2]≥(＋＋)2，∵a＋2b＋2c＝13，∴(＋＋)2≤，∴＋＋≤，当且仅当＝＝取等号，又∵a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝，c＝时，＋＋取最大值.4．设a、b、c∈R，且a2＋2b2＋3c2＝6，则a＋b＋c的最小值为( )A.B．－C．3D．11[答案] B[解析] (a＋b＋c)2＝(a×1＋b·＋c·)2≤(a2＋2b2＋3c2)＝11，∴－≤a＋b＋c≤等号成立时，＝＝，即a＝2b＝3c，∴或.5．(2011·陕西文，15)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．[答案] (－∞，3][分析] 欲使a≤f(x)恒成立，应有a≤f(x)的最小值．[解析] 令y＝|x＋1|＋|x－2|，由绝对值不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|知y＝|x＋1|＋|x－2|＝|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3.所以a≤3.6．已知x、y、z∈R，x2＋y2＋z2＝1，则x＋2y＋2z的最大值为________．[答案] 3[解析] 由柯西不等式，x＋2y＋2z≤＝3，等号在＝＝，即x＝，y＝z＝时成立．10\n7．已知a、b∈R＋，且a＋b＝1，则＋的最大值是________．[答案] 2[解析] ∵a、b∈R＋，a＋b＝1，∴＋≤＝2.当且仅当a＝b＝时取等号．8．设a、b为非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．[解析] ∵a、b是非负实数，∴a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)＝(－)(()5－()5)．当a≥b时，≥，从而()5≥()5，∴(－)(()5－()5)≥0；当a<b时，<，从而()5<()5，∴(－)(()5－()5)>0.∴a3＋b3≥(a2＋b2)．9．设a、b、c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.[分析] 三个正数a、b、c可排序，不妨设a≥b≥c>0，则0<≤≤，ab≥ac≥bc，再由排序原理证之．[证明] 不妨设a≥b≥c>0，∴ab≥ac≥bc，≥≥.由排序原理，知ab×＋ac×＋bc×≥ab×＋ac×＋bc×，即＋＋≥a＋b＋c.10．(2011·忻州市高三联考)(1)解关于x的不等式x＋|x－1|≤3；(2)若关于x的不等式x＋|x－1|≤a有解，求实数a的取值范围．[解析] 设f(x)＝x＋|x－1|，则f(x)＝(1)当x≥1时，2x－1≤3，∴1≤x≤2，又x<1时，不等式显然成立，∴原不等式的解集为{x|x≤2}．(2)由于x≥1时，函数y＝2x－1是增函数，其最小值为f(1)＝1；10\n当x<1时，f(x)＝1，∴f(x)的最小值为1.因为x＋|x－1|≤a有解，即f(x)≤a有解，所以a≥1.11．(2012·乌鲁木齐地区诊断)已知函数f(x)＝|x|.(1)解不等式f(x－1)≤2x；(2)若不等式f(x＋1)＋f(2x)≤＋对任意a∈(0,1)恒成立，求x的取值范围．[解析] (1)不等式可化为：|x－1|≤2x，解得：x≥.故不等式|x－1|≤2x的解集为{x|x≥}；(2)由f(x＋1)＋f(2x)≤＋得：|x＋1|＋|2x|≤＋.∵0<a<1，∴0<1－a<1，∴＋＝≥＝4.当且仅当a＝1－a，即a＝时取“＝”．∴原问题等价于|x＋1|＋|2x|≤4，∴或或∴－≤x≤1.∴x的取值范围是{x|－≤x≤1}．10
