10-4事件与概率基础巩固强化1.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测，数据如下：抽取台数501002003005001000优等品数4792192285478954则该厂生产的电视机是优等品的概率约为( )A．0.92 B．0.94 C．0.95 D．0.96[答案] C[解析] 由频率与概率关系知答案为C.2．(2011·安徽合肥模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A．0.7B．0.65C．0.35D．0.3[答案] C[解析] 事件“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.3．(2012·皖南八校第三次联考)某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.B.C.D.[答案] B[解析] 记4听合格的饮料分别为A1、A2、A3、A4,2听不合格的饮料分别为B1、B2，则从中随机抽取2听有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共9种，故所求概率为P＝＝，选B.4．(2012·安徽文，10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.B.11\nC.D.[答案] B[解析] 1个红球记作R,2个白球记作B1、B2,3个黑球记作H1、H2、H3，则从中任取2个球的所有方法种数有如下15种：RB1，RB2，RH1，RH2，RH3，B1B2，B1H1，B1H2，B1H3，B2H1，B2H2，B2H3，H1H2，H1H3，H2H3，而两球颜色为一黑一白的种数有如下6种：B1H1，B1H2，B1H3，B2H1，B2H2，B2H3，所以所求概率为＝.[点评] 准确求出古典概型概率公式p＝中的m、n是解题关键，通常有列举法、树状图法、坐标系法等．5．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有6×6＝36(对)，而相互垂直的有10对，故根据古典概型概率公式得P＝＝.6．(文)羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 将喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊依次编号为1、2、3、4、5，从中任取两个的所有可能取法为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中喜羊羊与美羊羊恰好只有一只被选中的有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)．∴所求概率P＝＝.(理)(2011·滨州月考)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P(m，n)落在直线x＋y＝5下方的概率为( )11\nA.B.C.D.[答案] A[解析] 试验是连续掷两次骰子．故共包含6×6＝36个基本事件．事件“点P(m，n)落在直线x＋y＝5下方”，包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)共6个基本事件，故P＝＝.7．(文)(2011·德州期末)现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．[答案] [解析] 共有取法5种，其中理科书为3种，∴P＝.(理)抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x、y，则为整数的概率是________．[答案] [解析] 将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x、y记作有序实数对(x，y)，共包含16个基本事件，其中为整数的有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8个基本事件，故所求概率为P＝＝.8．(2012·宁夏三市联考)将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．[答案] [解析] 圆心(2,0)到直线ax－by＝0的距离d＝，当d<时，直线与圆相交，解<得b>a，满足题意的b>a共有15种情况，又易知将一颗骰子投掷两次分别得到点数a、b的基本情况共有36种，因此直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为P＝＝.11\n9．(2011·广东高州模拟)某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛，甲、乙两队夺取冠军的概率分别是和，则该市足球队夺得全省足球冠军的概率是________．[答案] [解析] 设事件A：甲球队夺得全省足球冠军，B：乙球队夺得全省足球冠军，事件C：该市足球队夺得全省足球冠军．依题意P(A)＝，P(B)＝，且C＝A＋B，事件A、B互斥，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.10．(2012·河南六市模拟)某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[50,60)，第二组[60,70)，…，第五组[90,100]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；(2)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m－n|>10”的概率．[解析] (1)由直方图知，成绩在[60,80)内的人数为50×10×(0.018＋0.040)＝29，所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．(2)由直方图知，成绩在[50,60)的人数为50×10×0.004＝2，设成绩为x、y；成绩在[90,100]的人数为50×10×0.006＝3，设成绩为a、b、c，若m、n∈[50,60)，则只有xy一种情况．11\n若m、n∈[90,100]，则有ab、bc、ac三种情况，若m、n分别在[50,60)和[90,100]内，则有 a b cxxaxbxc 共6种情况．yyaybyc所以基本事件总数为10种，事件“|m－n|>10”所包含的基本事件有6种，∴P(|m－n|>10)＝＝.[点评] 1.在频率分布直方图中，组距是一个固定值，各矩形面积和为1；2.通过频率分布直方图的识读获取信息是解决这一类问题的关键.能力拓展提升11.(2012·河南质量调研)在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为( )A.B.C.D.[答案] A[解析] 由已知a、b在区间[0,1]上，所以f′(x)＝x2＋a≥0，函数f(x)在[－1,1]内是增函数，∵f(x)在[－1,1]上有且仅有一个零点，∴即在坐标平面aOb中，画出不等式组与不等式组表示的平面区域，易知，这两个不等式组表示的平面区域的公共区域的面积等于12－×(1－)×＝，而不等式组表示的平面区域的面积为1，因此所求的概率等于，选A.12．(文)从一个三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点中任取四点，这四点不共面的概率是( )A.B.C.D.[答案] D[解析] 从6个顶点中选4个，共有15种选法，其中共面的情况有三个侧面，∴概率P11\n＝＝.(理)(2012·山西联考)连续投掷两次骰子得到的点数分别为m、n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角记为α，则α∈(0，)的概率为( )A.B.C.D.[答案] B[解析] 依题意得，连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，可得到的向量a＝(m，n)共有6×6＝36个，由向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角α∈(0，)得n<m，向量a＝(m，n)可根据n的取值分类计数：当n＝1时，m有5个不同的取值；当n＝2时，m有4个不同的取值；当n＝3时，m有3个不同的取值；当n＝4时，m有2个不同的取值；当n＝5时，m有1个值，因此满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角α∈(0，)的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＝15个，所以所求的概率等于＝，选B.[点评] m＝n有6个，m>n与m<n的一样多，有(36－6)＝15个．或从1到6中任取两数，小的为n，共有C＝15种．13．(2012·龙岩质检)若在区间[－5,5]内随机地取出一个数a，则1∈{x|2x2＋ax－a2>0}的概率为________．[答案] 11\n[解析] ∵1∈{x|2x2＋ax－a2>0}，∴a2－a－2<0，∴－1<a<2，故所求概率为P＝.14．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx－y＝0，若m在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数，则双曲线的离心率大于3的概率是________．[答案] [解析] e>3，即>3，∴>9，∴>2，即m>2，∴m可取值3,4,5,6,7,8,9，∴p＝.15．一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一只球．(1)“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少？(2)“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件，它的概率是多少？[分析] 本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念及随机事件的概率公式和分析判断能力．[解析] (1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”不可能发生，因此，它是不可能事件，其概率为0.(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率为.(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球．因此，“取出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是1.16．(2012·山西太原测评)从某学校高一年级800名学生中随机抽取50名学生测量身高，据统计被抽取学生的身高全部介于155cm至195cm之间，现将样本数据分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．11\n(1)根据已知条件填写下面表格：组别12345678样本数(2)估计这所学校高一年级800名学生中身高在180cm以上(含180cm)的人数；(3)在样本中，第二组有1名男生，其余为女生；第七组有1名女生，其余为男生．若在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，则实验小组恰为一男一女的概率是多少？[解析] (1)由题图得第七组频率为1－(0.008×2＋0.016×2＋0.04×2＋0.06)×5＝0.06.组别12345678样本数24101015432(2)后三组频率和为0.08＋0.06＋0.04＝0.18.估计这所学校高三年级身高在180cm以上(含180cm)的人数为800×0.18＝144.(3)(文)第二组四人记为a、b、c、d，a为男生，b、c、d为女生，第七组三人记为1、2、3，其中，1、2为男生，3为女生．基本事件列表如下：abcd11a1b1c1d22a2b2c2d33a3b3c3d所以基本事件有12个，恰为一男一女的事件有1b,1c,1d,2b,2c,2d,3a，共7个．因此实验小组中，恰为一男一女的概率是.(理)第二小组选到男生，第七小组选到女生的选法有1种，第二小组选到女生，第七小组选到男生的选法有3×2＝6种，∴11\n实验小组恰为一男一女的方法数为1＋6＝7种，故所求概率为P＝＝.1．(2011·山东临沂质检)一个盒子中装有4张卡片，上面分别写着如下四个定义域为R的函数：f1(x)＝x3，f2(x)＝|x|，f3(x)＝sinx，f4(x)＝cosx，现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得函数为奇函数的概率是( )A.B.C.D.[答案] C[解析] f1(x)与f3(x)是奇函数，f2(x)与f4(x)是偶函数．奇函数与偶函数相乘是奇函数，故所得函数为奇函数的概率是P＝＝.2．(2011·北京西城一模)下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 甲＝＝90，乙＝.由甲>乙，得x<98，故被污损的数字可能是0,1，…，7，共8个数字，故甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为＝.11\n3．(2011·奉贤区检测(一))在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为( )A.B.C.D.[答案] D[解析] 因为文艺书只有2本，所以选取的3本书中必有科技书，这样问题就等价于求选取的3本书中有文艺书的概率．设4本不同的科技书为a，b，c，d,2本不同的文艺书为e，f，则从这6本书中任选3本的可能情况有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20种，记“选取的3本书中有文艺书”为事件A，则事件包含的可能情况有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)，共4种，故P(A)＝1－P()＝1－＝.4．若一元二次方程x2＋mx＋n＝0中m、n的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，则方程有实根的概率为( )A.B.C.D.[答案] A[解析] ∵方程有实根，∴m2－4n≥0，∴(m，n)的允许取值情形有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共19种，∴p＝.5．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( )A．0.45B．0.67C．0.64D．0.32[答案] D[解析] 摸出红球的概率为11\n＝0.45，因为摸出红球、白球和黑球是互斥事件，因此摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.6．(2011·浙江金华十校模拟)已知甲盒内有外形和质地相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有外形和质地相同的2个红球和2个黑球．现从甲、乙两个盒内各取1个球，则取出的2个球中恰有1个红球的概率是________．[答案] [解析] 从甲、乙两个盒内各取1个球，共有3×4＝12种不同的取法．其中，从甲盒内取1个红球，从乙盒内取1个黑球，有2种取法；从甲盒内取1个黑球，从乙盒内取1个红球，有4种取法．故取出的2个球中恰有1个红球的概率是P＝＝.7．有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1、2、3、4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具向下一面的点数，y表示第2颗正四面体玩具向下一面的点数．试写出：(1)试验的所有基本事件；(2)事件“向下一面点数之和大于3”；(3)事件“向下一面点数相等”．[解析] (1)这个试验的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)；(2)事件“向下一面点数之和大于3”包含以下13个基本事件(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“向下一面点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．11
