课时提升作业(五十四)随机事件的概率一、选择题(每小题5分,共25分)1.把颜色分别为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3人,每人分得1个球.事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”是( )A.对立事件 B.不可能事件C.互斥事件D.必然事件【解析】选C.由于甲、乙、丙3人都可能持有白球,故事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”不是对立事件.又事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”不可能同时发生,故两事件的关系是互斥事件.【加固训练】已知α,β,γ是不重合平面,a,b是不重合的直线,下列说法正确的是( )A.“若a∥b,a⊥α,则b⊥α”是随机事件B.“若a∥b,a⊂α,则b∥α”是必然事件C.“若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β”是必然事件D.“若a⊥α,a∩b=P,则b⊥α”是不可能事件【解析】选D.⇒b⊥α,故A错;⇒b∥α或b⊂α,故B错;当α⊥γ,β⊥γ时,α与β可能平行,也可能相交(包括垂直),故C错;如果两条直线垂直于同一个平面,则两直线必平行,故D正确.2.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶【解析】选D.射击两次有四种可能:(中,不中)、(不中,中)、(中,中)、(不中,不中),其中“至少有一次中靶”含有前三种情况,选项A,B,C中都有与其重叠的部分,只有选项D为其互斥事件.【加固训练】某入伍新兵在打靶练习中,连续射击两次,则事件“至少有1次中靶”的对立事件是( )A.至多有1次中靶B.两次都中靶C.两次都不中靶D.只有1次中靶-7-\n【解析】选C.事件“至少有1次中靶”包括“中靶1次”和“中靶两次”两种情况,由对立事件的定义,可知“两次都不中靶”与之对立.3.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以为概率的事件是( )A.都不是一等品B.恰有1件一等品C.至少有1件一等品D.至多有1件一等品【解析】选D.从5件产品中任取2件有10种取法,设3件一等品为1,2,3,2件二等品为4,5.这10种取法是(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),其中2件均为一等品的取法有(1,2),(1,3),(2,3),共3种.所以至多有1件一等品的概率.4.(2022·绍兴模拟)从1,2,…,9中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是( )A.① B.②④ C.③ D.①③【解析】选C.从9个数字中取两个数有三种取法:一奇一偶,两奇,两偶,故只有③中两事件是对立事件.5.(2022·厦门模拟)口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球,其中红球45个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为( )A.0.45B.0.67C.0.64D.0.32【解析】选D.摸出红球的概率为0.45,摸出白球的概率为0.23,故摸出黑球的概率P=1-0.45-0.23=0.32.二、填空题(每小题5分,共15分)6.给出下列命题:①对立事件一定是互斥事件;②若A,B是两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B满足P(A)+P(B)<1,则事件A,B是互斥但不对立事件.其中所有不正确命题的序号为 .【解析】对立一定互斥,但互斥未必对立,①正确;仅当A,B互斥时,②成立,故②-7-\n不正确;因为两两互斥的三个事件A,B,C,其概率和不一定等于1,也可能小于1,③不正确;对于④,两个事件A,B,满足P(A)+P(B)<1,不能推出A,B互斥,更不能说A,B对立,所以④错误.答案:②③④【加固训练】甲:A1,A2是互斥事件;乙:A1,A2是对立事件,那么甲是乙的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).【解析】两个事件是对立事件,则它们一定互斥,反之不一定成立.答案:必要不充分7.(2022·合肥模拟)在数学考试中,小明的成绩在90分以上的概率是0.18,在80～89分的概率是0.51,在70～79分的概率是0.15,在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07,小明考试及格(60分及以上)的概率为 .【解析】小明考试及格的概率是0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.答案:0.93【一题多解】本题还可用以下解法:小明考试不及格的概率是0.07,所以小明考试及格的概率是1-0.07=0.93.答案:0.938.某城市2022年的空气质量状况如表所示:其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100时,空气质量为良;100<T≤150时,空气质量为轻微污染,则该城市2022年空气质量达到良或优的概率为 .【解析】由题意可知2022年空气质量达到良或优的概率为.答案:三、解答题9.(10分)已知射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率.-7-\n(2)求甲射击一次,至少命中7环的概率.【解析】记“甲射击一次,命中7环以下”为事件A,则P(A)=1-0.56-0.22-0.12=0.1,“甲射击一次,命中7环”为事件B,则P(B)=0.12,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件,(1)“甲射击一次,命中不足8环”的事件为A+B,由互斥事件的概率加法公式,P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.12=0.22.答:甲射击一次,命中不足8环的概率是0.22.(2)记“甲射击一次,命中8环”为事件C,“甲射击一次,命中9环(含9环)以上”为事件D,则“甲射击一次,至少命中7环”的事件为B+C+D,所以P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.12+0.22+0.56=0.9.答:甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.【加固训练】袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,取到红球的概率为,取到黑球或黄球的概率是,取到黄球或绿球的概率也是,试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.【解析】从袋中任取一球,记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”“取到绿球”分别为A,B,C,D,则有P(A)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=,P(C∪D)=P(C)+P(D)=,P(B∪C∪D)=1-P(A)=1-=,解得P(B)=,P(C)=,P(D)=.故取到黑球、黄球、绿球的概率分别是,,.(20分钟 40分)1.(5分)(2022·广州模拟)某射手在一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别是0.2,0.3,0.1,则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )-7-\nA.0.4B.0.3C.0.6D.0.9【解析】选A.一次射击不够8环的概率为1-0.2-0.3-0.1=0.4.2.(5分)(2022·成都模拟)某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为 .【解析】记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A,B,C,则A,B,C彼此互斥,由题意可得P(B)=0.03,P(C)=0.01,所以P(A)=1-P(B+C)=1-P(B)-P(C)=1-0.03-0.01=0.96.答案:0.963.(5分)若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且分别为P(A)=2-a,P(B)=3a-4,则实数a的取值范围为 .【解题提示】由随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且分别为P(A)=2-a,P(B)=3a-4,知由此能求出实数a的取值范围.【解析】因为随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且分别为P(A)=2-a,P(B)=3a-4,答案:【方法技巧】互斥事件的概率的应用1.互斥事件的概率加法公式(1)求一个事件的概率问题:将一个事件分拆为若干个互斥事件,分别求出各事件的概率,然后用加法公式求出结果.(2)运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,且做到无重无漏.2.对立事件的概率公式(1)事件A,B互斥,A,B中必有一个发生,其中一个易求、另一个不易求时常用P(A)+P(B)=1解题.-7-\n(2)常适用于直接计算符合条件的事件个数较多时,可间接地先计算对立事件的概率,再由公式求出符合条件的事件的概率.(3)应用此公式时,一定要分清事件的对立事件到底是什么事件,不能重复或遗漏.该公式常用于“至多”“至少”型问题的探究.4.(12分)(2022·黄冈模拟)一盒中共装有除颜色外其余均相同的小球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1个球,求:(1)取出1球是红球或黑球的概率.(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.【解析】记事件A1={任取1球为红球},A2={任取1球为黑球},A3={任取1球为白球},A4={任取1球为绿球},则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=.据题意知事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得(1)取出1球是红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=.(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=.【一题多解】本题的第二问还可以用如下的方法解决:P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=5.(13分)(能力挑战题)黄种人人群中各种血型的人所占的比例见下表:已知同种血型的人可以互相输血,O型血的人可以给任一种血型的人输血,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若他因病需要输血,问(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?【解析】(1)对任一人,其血型为A,B,AB,O型血分别记为事件A′,B′,C′,D′,它们是互斥的.由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.-7-\n因为B,O型血可以输给B型血的人,故“任找一个人,其血可以输给小明”为事件B′∪D′,根据概率加法公式,得P(B′∪D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“任找一个人,其血不能输给小明”为事件A′∪C′,且P(A′∪C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.-7-
