课后限时集训(二十六) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式建议用时：40分钟一、选择题1．(多选)下列选项中，值为的是( )A．cos72°cos36°B．sinsinC．＋D．－cos215°AB [对于A，cos36°cos72°＝＝＝＝，故A正确；对于B，sinsin＝sincos＝×2sincos＝sin＝，故B正确；对于C，原式＝＝＝＝＝4，故C错误；对于D，－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos30°＝－，故D错误．故选AB.]2．(多选)已知cos＝，则sin＝( )A．－B．－\nC．D．AD [由cos＝，得sin＝±.所以sin＝2sincos＝±，即sin＝－sin＝－sin＝±.故选AD.]3．(多选)(2020·山东济南模拟)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则( )A．cosβ＝B．sinβ＝C．cos(α－β)＝D．sin(α－β)＝－AC [因为α∈，cosα＝，所以sinα＝，又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝＝，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－＋＝，A正确．sinβ＝，B错误．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，C正确．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝，D错误．]4．已知α满足sinα＝，则coscos＝( )A．B．C．－D．－\nA [coscos＝coscos＝sin·cos＝sin＝cos2α＝(1－2sin2α)＝＝，故选A.]5．若α∈(0，π)，且sinα＋2cosα＝2，则tan＝( )A．B．C．D．A [由二倍角公式，得sinα＋2cosα＝2sincos＋2＝2，化简可得2sincos＝4sin2，∵α∈(0，π)，∴∈，∴sin≠0，∴cos＝2sin，∴tan＝.]6．已知tan＝－2，则＝( )A．2B．C．－2D．－D [∵tanα＝tan＝＝＝3，∴＝＝＝＝＝－，故选D.]二、填空题7．已知sin＝，α∈，则cos的值为________．\n－ [由已知得cosα＝，sinα＝－，所以cos＝cosα＋sinα＝－.]8．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________.5 [因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sinαcosβ－cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，所以＝＝5.]9．化简：＝________.－1 [＝＝＝－1.]三、解答题10．(2020·杭州中学月考)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上．(1)求cos2α的值；(2)已知α∈，sin＝，－<β<0，求sin(α－2β)的值．[解] (1)由题意得，tanα＝2，∴cos2α＝＝＝＝－.(2)由且α∈，解得sinα＝，cosα＝.又sin＝，β＋∈，∴cos＝.\n∴cosβ＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，则cos2β＝2cos2β－1＝2×－1＝，sin2β＝－＝－.∴sin(α－2β)＝sinαcos2β－cosαsin2β＝×－×＝.11．已知α，β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．[解] (1)∵α，β∈，∴－＜α－β＜.又∵tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.∵α为锐角，且sinα＝，∴cosα＝.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.\n1．(2020·杭州模拟)如图，点A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x正半轴的交点是C，点B的坐标为，∠AOC＝α.若|AB|＝1，则sinα＝( )A.B．C.D．B [∵A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x正半轴的交点是C，点B的坐标为，由2＋2＝1知圆O的半径为1，∵∠AOC＝α，|AB|＝1，故△AOB为等边三角形，∠BOC＝60°－α，cos∠BOC＝cos(60°－α)＝，sin∠BOC＝sin(60°－α)＝.则sinα＝sin[60°－(60°－α)]＝sin60°cos(60°－α)－cos60°sin(60°－α)＝×－×＝，故选B.]2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则＝( )A．8B．4C．2D．1C [因为m＝2sin18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.所以＝＝＝＝＝2.故选C.]\n3．已知α∈，β∈，cos＝，cos＝.(1)求sin2α的值；(2)求cos(α＋β)的值．[解] (1)由cos＝，可得sin2α＝－cos2＝1－2cos2＝1－2×＝.(2)由α∈，β∈，可得α＋∈，β－∈，则sin＝＝＝；sin＝－＝－＝－，∴cos(α＋β)＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.
