第2课时 简单的三角恒等变换考点一 三角函数式的化简 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．1．化简：＝.2cosα [＝＝2cosα.]2．化简：＝.cos2x [原式＝＝\n＝＝＝cos2x.]3．化简：－2cos(α＋β)＝. [原式＝＝＝＝＝.]点评：(1)化简标准：函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等．(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用．考点二 三角函数式的求值 三角函数式求值的三种题型(1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．(2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．(3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：①已知正切函数值，选正切函数．②已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是，选正弦函数． 给角求值[典例1－1] [2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·＝. [原式＝·sin80°＝·cos10°＝2[sin50°·cos10°＋sin\n10°·cos(60°－10°)]＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.] 给值求值[典例1－2] (1)设α为锐角，若cos＝－，则sin的值为( )A．B．C．－D．(2)已知0＜x＜，sin＝，则＝.(1)B (2) [(1)由0＜α＜得＜α＋＜π，∴sin＝＝，∴sin＝2sincos＝－，cos＝2cos2－1＝2×－1＝－，∴sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝，故选B．(2)法一：(先化简后求值)＝＝(cosx＋sinx)＝2cos.由0＜x＜得0＜－x＜，∴cos＝＝＝，∴原式＝2×＝.法二：(先局部后整体)\ncos＝cos＝sin＝，由0＜x＜得0＜－x＜，∴cos＝＝＝，∴cos2x＝sin＝2sincos＝2××＝.∴＝×＝.]点评：(1)给值求值的关键是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来．(2)注意与互余，sin2＝cos2x，cos2＝sin2x的灵活应用． 给值求角[典例1－3] (1)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β的值是．(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β的值为．(1) (2)－π [(1)由0＜α＜，0＜β＜，得－＜α－β＜，∴cos(α－β)＝＝.又cosα＝，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.又∵角β是锐角，∴β＝.(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]\n＝＝＝＞0，∴0＜α＜.又∵tan2α＝＝＝＞0，∴0＜2α＜，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tanβ＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－.]点评：求角时，一定要注意所求角的范围，并在解题过程中根据三角函数值的正负进一步缩小有关角的范围，以保证所求角在最小的范围内．1.＋＝( )A．－4B．4C．－2D．2B [＋＝－＝＝＝＝4.]2．若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )A．B．C．或D．或\nA [因为α∈，且0＜sin2α＝＜，所以2α∈，所以α∈，cos2α＝－＝－.因为β∈，所以β－α∈，又sin(β－α)＝＞0，所以β－α∈，所以cos(β－α)＝－＝－.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－×＝.又α∈，β∈，所以α＋β∈，所以α＋β＝.故选A．]3．已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝.－ [由sinα＋cosβ＝1得sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1①，由cosα＋sinβ＝0得cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0②，①＋②得2＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，即2sin(α＋β)＝－1，∴sin(α＋β)＝－.]4．已知α－β＝，tanα－tanβ＝3，则cos(α＋β)＝.－ [由tanα－tanβ＝3得－＝＝＝＝3，∴cosαcosβ＝.又cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，\n∴sinαsinβ＝－，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－＝－.]
