函数的奇偶性与周期性[考试要求] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．(2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1.②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1.2．函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．1．函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．\n(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．(4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．2．周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)；(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．3．函数的图象的对称性(1)函数y＝f(x)，若其图象关于直线x＝a对称(a＝0时，f(x)为偶函数)，则①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a＋x)＝f(－x)；③f(2a－x)＝f(x)．(2)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a,0)中心对称(a＝0时，f(x)为奇函数)，则①f(a＋x)＝－f(a－x)；②f(2a＋x)＝－f(－x)；③f(2a－x)＝－f(x)．(3)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a，b)中心对称，则①f(a＋x)＋f(a－x)＝2b；②f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；③f(2a－x)＋f(x)＝2b.(4)函数f(x)与g(x)的图象关于直线x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)．(5)函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝a对称，则g(x)＝2a－f(x)．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( )(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√二、教材习题衍生1．下列函数中为偶函数的是( )A．y＝x3 B．y＝x2C．y＝|lnx|D．y＝2－xB [A为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B．]\n2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.－2 [f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.]3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________.1 [f＝f＝－4×＋2＝1.]4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．(－2,0)∪(2,5] [由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．]考点一 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：\n(3)性质法：在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．[典例1] (1)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数(2)判断下列函数的奇偶性：①f(x)＝＋；②f(x)＝；③f(x)＝(1)C [令F1(x)＝f(x)·g(x)，则F1(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F1(x)，∴f(x)g(x)为奇函数，故A错误．令F2(x)＝|f(x)|g(x)，则F2(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)＝F2(x)，∴F2(x)为偶函数，故B错误．令F3(x)＝f(x)|g(x)|，则F3(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F3(x)，∴F3(x)为奇函数，故C正确．令F4(x)＝|f(x)g(x)|，则F4(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|＝F4(x)，∴F4(x)为偶函数，故D错误．](2)[解] ①由得x2＝3，解得x＝±，即函数f(x)的定义域为{－，}，从而f(x)＝＋＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．②由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．③显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．\n∵当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．点评：(1)本例T(2)第②小题求出定义域后，利用定义域去掉绝对值号是解题的关键．(2)y＝ln，y＝lg(＋x)都是奇函数．1．下列函数既是奇函数又是增函数的是( )A．y＝－x2＋1B．y＝C．y＝－D．y＝x|x|D [对于A，f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝f(x)，函数f(x)是偶函数，不是奇函数，排除A．对于B，函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，函数为非奇非偶函数，排除B．对于C，函数是奇函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是增函数，排除C．对于D，f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，函数为奇函数，又y＝x|x|＝，则函数为增函数，故选D．]2．设函数f(x)＝，则下列结论错误的是( )A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数D [∵f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．]考点二 函数奇偶性的应用 已知函数奇偶性可以解决的三个问题\n 利用函数的奇偶性求值[典例2－1] (1)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝_________________________.(2)(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.(1)－3 (2)－2 [(1)法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，则f(ln2)＝e－aln2＝8，∴－aln2＝ln8＝3ln2，∴a＝－3.法二：由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln2)＝－f＝－(－e)＝8，∴aln＝ln8＝3ln2，∴a＝－3.(2)∵f(a)＋f(－a)＝ln(－a)＋1＋ln(＋a)＋1＝ln(1＋a2－a2)＋2＝2.∴f(－a)＝2－f(a)＝2－4＝－2.]点评：本例T(2)中含有奇函数的解析式，解答此类题目时可先求f(x)＋f(－x)的值，再求所求． 求函数解析式[典例2－2] (2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝( )A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1D [当x<0时，－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.故选D．]\n点评：先设x为待求区间上的任意量，然后将－x转化到已知区间上，从而求出f(－x)，然后利用奇偶性求f(x)． 利用奇偶性求参数的值[典例2－3] 若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.±1 [法一：(定义法)因为函数f(x)＝在定义域上为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－，化简得(k2－1)(22x＋1)＝0，即k2－1＝0，解得k＝±1，经检验k＝±1时，函数f(x)为奇函数．法二：(特值法)因为函数f(x)＝为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即＝－，即＝.整理得k2＝1，解得k＝±1.经检验，当k＝±1时，函数f(x)为奇函数．]点评：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函数)或f(－x)＝f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)＝0求解，偶函数一般利用f(－1)＝f(1)求解．用两种方法求得参数后，一定要注意验证．1．函数f(x)＝为定义在R上的奇函数，则f(log2)等于( )A．B．－9C．－8D．－C [由f(0)＝40＋t＝0得t＝－1.则f(log2)＝f(－log23)＝－f(log23)＝－(4－1)＝－2＋1＝－8.故选C．]2．已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________.0 [设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，显然F(x)为奇函数．又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.]3．函数f(x)＝＋log2为奇函数，则实数a＝____________.1 [∵函数f(x)＝＋log2为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0.即－＋log2＋＋log2＝0，\n即log2＝0.∴·＝＝1，则1－a2x2＝1－x2，∴a2＝1，即a＝±1.当a＝－1时，f(x)＝＋log2，则f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠1}，此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意；当a＝1时，f(x)＝＋log2，定义域为{x|－1＜x＜1且x≠0}，满足题意，∴a＝1.]考点三 函数的周期性、图象的对称性及应用 1.函数周期性的判断与应用2．函数图象的对称性的判断与应用[典例3] (1)(2020·南昌模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(4－x)＝f(x)，当0＜x＜2时，f(x)＝2x＋2－x，则f(5)＝( )A．3B．－3C．7D．－7(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋1)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2021)＝________.(1)D (2)1011 [(1)法一：(利用对称性)：由f(4－x)＝f(x)得函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(5)＝f(－1)，又函数f(x)是奇函数，则f(5)＝f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2－1)＝－7，故选D．法二：(利用等式转化)：由f(4－x)＝f(x)得f(5)＝f[4－(－1)]＝f(－1)＝－f(1)＝－(23－1)＝－7.故选D．\n(2)由f(x)＝－f(x＋1)得f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数，又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1.∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2020)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2021)＝1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2021)＝1011.]点评：当自变量较小时，可直接利用对称性或等式转化自变量，无需求出周期．1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2021)＋f(2019)的值为( )A．0B．－4C．－2D．2A [当x≥0时，f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．所以f(－2021)＝f(2021)＝f(1)＝log22＝1，f(2019)＝f(3)＝－＝－1，所以f(－2021)＋f(2019)＝0.故选A．]2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2021)＝( )A．2021B．0C．1D．－1C [由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)是奇函数．所以f(1)＝1，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(4)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2021)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＝1，故选C．]
